高校数学III 定積分の部分積分—境界項と残った積分を分けて評価する｜武蔵野個別指導塾

境界項の下端と残った積分を括弧で分け、指数・対数・三角関数との積で負号の出どころを確かめましょう。

よくあるのは、部分積分の公式を書けたのに、境界項の下端の負号を忘れる場面です。上端を入れた値と下端を入れた値を別々に計算し、引き算の括弧を残すと、途中で符号が変わる理由を追えます。さらに、どちらを微分するかを端点の値まで見て選べば、残る積分も扱いやすくなります。ここでは有限の区間で連続な関数を扱い、面積や体積には進みません。

数学IIIの学習範囲には積分の基本性質と置換・部分積分による方法の考察が含まれます。

まず積のどこを見るか

出方の1つ目は、整式と指数関数の積です。整式を微分すると次数が下がり、指数関数は積分しても同じ形が残ります。端点が0でない場合も、境界項は上端と下端をそれぞれ計算してから引きます。下端の値が負なら、下端全体を引くことで正の項が現れます。

2つ目は、対数関数と整式の積です。対数を微分すると逆数になるため、整式の因子と約分できる場合があります。対数の定義域を最初に調べ、積分区間の全体で使える式か確かめます。たとえば正の区間のlog xは連続で微分可能ですが、0を含む区間にそのまま同じ公式を適用できません。

3つ目は、三角関数との積で端点の値を生かす型です。sinやcosを積分した後、端点で0になる因子があれば境界項は短くなります。ただし、0になると決めつけず、両端で積全体の値を計算します。因子の選択は、残りの積分の簡単さと境界項の計算しやすさを合わせて判断します。

積の微分から境界項へ

u(x)、v(x)が閉区間[a, b]で連続な導関数を持つとします。積の微分は(u v)′=u′v+uv′です。両辺をaからbまで積分し、積の原始関数の差を使うと、次の公式が得られます。

∫[a→b] u(x)v′(x) dx
= u(b)v(b) - u(a)v(a) - ∫[a→b] u′(x)v(x) dx

最初の2項を境界項と呼び、[u(x)v(x)]（aからb）とまとめて表すことがあります。この括弧は、積uvの上端の値から下端の値を引くという指示です。残った積分の前の負号は、積の微分の式を移項したことから生まれます。境界項の下端を引く負号とは別の役割なので、2つを一度に処理しないようにします。

図1のように、元の積の片方をu、もう片方をv′と決め、微分したu′と積分したvを対にします。選んだvを微分して元のv′に戻ることが、選択の確認です。vに定数を加えても境界項の増分と残った積分の増分は打ち消し合いますが、計算を短くするため通常は定数を0とした原始関数を選びます。

境界項を先に計算するときは、u(b)v(b)とu(a)v(a)を各々書きます。例えば下端の値が-3なら、境界項は上端の値から(-3)を引きます。これは残った積分を引く操作とは別です。途中で行が増えても、括弧を保てば誤りの場所を特定できます。

基本例題：下端が0でない指数関数

次の定積分を、eを含む正確な式で求めてください。

I = ∫[1→2] x eˣ dx

xとeˣは区間[1, 2]で連続な導関数を持ちます。xを微分すると1になり、eˣは積分してもeˣなので、u=x、v′=eˣとします。するとu′=1、v=eˣです。図2のように、端点を境界項へ入れた結果と残った積分を分けます。

I = [x eˣ]（1から2） - ∫[1→2] eˣ dx
  = (2e² - e) - [eˣ]（1から2）
  = (2e² - e) - (e² - e)
  = e²

1行目は部分積分の公式です。2行目では境界項に上端2と下端1を入れ、残った積分はeˣを原始関数としました。3行目は残った積分の端点の差です。括弧を外すときに後ろの2項の符号が両方変わり、-eと+eが消えます。

答えを元の条件に戻して確かめます。部分積分で得られる原始関数を(x-1)eˣとすると、その導関数はeˣ+(x-1)eˣ=x eˣです。上端2でe²、下端1で0なので差はe²です。元の被積分関数は区間内で正であり、正の答えとも整合します。正であることだけでは値の証明にはなりませんが、符号の点検には役立ちます。

標準例題：対数を微分する

次の定積分を、自然対数を用いた正確な式で求めてください。

J = ∫[1→3] x log x dx

区間[1, 3]は正の範囲にあり、log xとその導関数1/xは連続です。u=log x、v′=xとすると、u′=1/x、v=x²/2です。微分した逆数とvのx²が約分できるため、残りは整式になります。

J = [(x²/2) log x]（1から3） - ∫[1→3] (x²/2)(1/x) dx
  = (9/2) log 3 - 0 - (1/2)∫[1→3] x dx
  = (9/2) log 3 - (1/2)[x²/2]（1から3）
  = (9/2) log 3 - (1/2)(9/2 - 1/2)
  = (9/2) log 3 - 2

下端の境界項が0なのはlog 1=0だからです。下端が1であれば常に0になるわけではなく、選んだ積の値を代入して判断します。また、残った積分の下端1/2にも引き算が必要です。境界項が0だったことと、残った積分の下端が0であることは別です。

原始関数を(x²/2) log x − x²/4と見れば、導関数はx log x + x/2 − x/2=x log xです。上端と下端の差は(9/2) log 3 − 9/4 − (0 − 1/4)となり、同じ答えに戻ります。区間は問題の1から3のままです。

発展例題：端点で消える因子を利用する

次の定積分をπを含む正確な式で求めてください。角は弧度法です。

K = ∫[0→π] x(π-x) sin x dx

各因子は区間[0, π]で連続な導関数を持ちます。u=x(π-x)、v′=sin xと選ぶと、u′=π-2x、v=-cos xです。uは両端で0なので、境界項は実際に代入すると消えます。

K = [-x(π-x) cos x]（0からπ） + ∫[0→π] (π-2x) cos x dx
  = 0 + ∫[0→π] (π-2x) cos x dx

残った積にも部分積分を使います。u=π-2x、v′=cos xとすると、u′=-2、v=sin xです。上端と下端でsin xはともに0です。

K = [(π-2x) sin x]（0からπ） + 2∫[0→π] sin x dx
  = 0 + 2[-cos x]（0からπ）
  = 2(1 - (-1))
  = 4

最初の境界項が0でも、残った積分が0とは限りません。実際、2回目に残るsin xの積分は2です。元の式の原始関数として、-x(π-x) cos x + (π-2x) sin x − 2 cos xを微分すると、積の微分で現れる余分な項が相殺され、x(π-x) sin xに戻ります。端点での値は上端2、下端-2なので差は4です。区間の内部では各因子が非負であり、答えの正負も合います。

符号を落とした式を直す

基本例題で、境界項を2e² + eと書いてしまう場合を考えます。上端の積は2e²、下端の積はeです。境界項は上端から下端を引くので、正しくは2e² − eです。下端の値をそのまま足してはいけません。

図3のように、下端の値をいったん枠に入れてから、その枠全体を引きます。もし下端の値が負なら、引く数が負になるので結果として加算になります。下端が正か負かと、公式で下端を引くことを混同しないのが修正の要点です。

別の誤りは、残った積分の前の負号を境界項の中に混ぜることです。基本例題では(2e² − e) − (e² − e)と2組の括弧を残します。下端の符号を直しても、後ろの括弧を外すときに-eをそのまま残せば別の誤答になります。境界項、残った積分、その差の順に検算すれば、それぞれ独立に見直せます。

さらに、公式を使う前の条件も点検します。例えばlog xを含む式で区間が0を含むときは、端点で関数が定義されず、ここで述べた閉区間の公式の条件を満たしません。端点を形式的に代入して答えを出さず、問題の定義を確認してください。積分した因子を微分して元に戻らない場合も、境界項に進む前に原始関数を選び直します。

練習：端点と因子を選ぶ

次の5問は、いずれも指定した正確な式で答えてください。積分区間を変えず、境界項と残った積分を別々に書きましょう。

1. ∫[0→1] (x+2)eˣ dx をeを用いて求める。
2. ∫[1→2] x² log x dx をlog 2を用いて求める。
3. ∫[0→π/2] x cos x dx をπを用いて求める。
4. ∫[1→2] (2x+1)eˣ dx をeを用いて求める。
5. ∫[0→π] x sin x dx をπを用いて求める。

練習の解答と確かめ

1. 一次式と指数関数

区間内で両因子は連続な導関数を持ちます。u=x+2、v′=eˣとするとu′=1、v=eˣです。

∫[0→1] (x+2)eˣ dx
= [(x+2)eˣ]（0から1） - ∫[0→1] eˣ dx
= (3e - 2) - (e - 1)
= 2e - 1

原始関数(x+1)eˣを微分すると(x+2)eˣに戻ります。上端で2e、下端で1ですから、差も2e − 1です。下端0でも、積の値が0とは限らないことに注意します。

2. 対数と二次式

区間[1, 2]は正なのでlog xを微分できます。u=log x、v′=x²とするとu′=1/x、v=x³/3です。

∫[1→2] x² log x dx
= [(x³/3) log x]（1から2） - (1/3)∫[1→2] x² dx
= (8/3) log 2 - 0 - (1/3)[x³/3]（1から2）
= (8/3) log 2 - (1/3)(8/3 - 1/3)
= (8/3) log 2 - 7/9

(x³/3) log x − x³/9の導関数はx² log x + x²/3 − x²/3です。元の被積分関数に戻り、上端と下端の差も上の答えです。下端の境界項はlog 1=0で消えますが、残った積分の下端は消えません。

3. 余弦との積

u=x、v′=cos xと選ぶと、u′=1、v=sin xです。両関数は区間[0, π/2]で条件を満たします。

∫[0→π/2] x cos x dx
= [x sin x]（0からπ/2） - ∫[0→π/2] sin x dx
= π/2 - [-cos x]（0からπ/2）
= π/2 - (0 - (-1))
= π/2 - 1

x sin x + cos xを微分するとsin x + x cos x − sin x=x cos xです。上端はπ/2、下端は1なので差はπ/2 − 1です。残った積分では下端の-cos 0が負になるため、括弧が役立ちます。

4. 係数のある一次式

u=2x+1、v′=eˣとするとu′=2、v=eˣです。区間[1, 2]でどちらも連続な導関数を持ちます。

∫[1→2] (2x+1)eˣ dx
= [(2x+1)eˣ]（1から2） - 2∫[1→2] eˣ dx
= (5e² - 3e) - 2(e² - e)
= 3e² - e

(2x-1)eˣを微分すると2eˣ+(2x-1)eˣ=(2x+1)eˣです。上端で3e²、下端でeとなり、差は3e² − eです。微分後の係数2を残りの積分に引き継いだかも確認します。

5. 正弦との積

u=x、v′=sin xとするとu′=1、v=-cos xです。関数と導関数は区間[0, π]で連続です。

∫[0→π] x sin x dx
= [-x cos x]（0からπ） + ∫[0→π] cos x dx
= (π - 0) + [sin x]（0からπ）
= π + (0 - 0)
= π

原始関数-x cos x + sin xの導関数は-cos x + x sin x + cos xで、元の式です。上端の値はπ、下端は0です。vの負号が公式の負号と重なって、残った積分が正になる点を追います。

手元に残す要点

部分積分は積の微分を積分して得る公式です。区間での連続性と微分可能性を確かめます。 境界項は上端の積から下端の積全体を引きます。 残った積分の前の負号は別に保ち、端点の差にも括弧を付けます。 選んだ原始関数を微分し、答えを元の区間と被積分関数に戻して確かめます。

途中式から見えるつまずき

計算が合わないときは、最初にuとv′の選択、次にvの微分、最後に2種類の引き算を見ると原因を絞れます。境界項だけ合わないなら、上下端の積をそれぞれ独立した数として書き直します。残った積分だけ合わないなら、u′の係数と公式の負号を確認します。

個別指導では、本人に下端の値を指さしてもらい、その値をどの括弧ごと引いたかを式で説明してもらいます。選択が遠回りに見えるときは、別の選び方で何が残るかまで比べます。端点の代入と残った積分が区別できれば、符号の判断を次の問題にも持ち運べます。