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高校数学C 三角形の内部を表す条件—二つの係数の不等式から境界と領域を読む｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学C 平面ベクトルを掘り下げる

係数の和が1を超える点を調べ、辺や頂点の扱いまで三角形の領域を読み解きます。

よくあるのは、理系の高校生が三角形の中の点を係数で表すとき、2つの係数をそれぞれ0から1の間にすれば十分だと考える場面です。その条件では、三角形の外側にも点が現れます。辺の上を含めるか、頂点を含めるかによって不等号も変わります。係数と図形の対応を一つずつたどり、最後に逆向きも確かめましょう。

係数から領域へ、領域から係数へ

問われ方は大きく3つあります。1つ目は、与えられた係数の範囲から点の動く領域を描く問題です。係数の片方を固定すると、もう片方の変化は辺に平行な移動になるので、境界を描いてから内側を判定します。

2つ目は、図形を指定されて係数の条件を書く問題です。三角形の内部と周を合わせるのか、内部のみかを読み分けます。境界を含む場合は等号が必要です。内部のみなら、3辺に対応する3つの不等式をすべて厳密にします。

3つ目は、点の係数に文字を含む場合に、その文字の範囲を求める問題です。3条件をそれぞれ解いて共通範囲を取ります。1条件を満たさない点があるとき、その点がどの辺の外側にあるかを図に戻せば、式の誤りも見つけやすくなります。

三角形の3辺を式にする

A、B、Cは一直線上にない3点とします。a、bはそれぞれベクトル AB、ベクトル ACです。平行でないa、bを使い、点Pを次のように表します。

ベクトル AP = s a + t b

s、tは実数です。a、bが平行でないので、この表し方の係数は一意に定まります。A、B、Cに対応する係数は順に(0, 0)、(1, 0)、(0, 1)です。以下、係数の組を(s, t)と書きます。

図1のように、t = 0でsが0から1まで動くと辺AB、s = 0でtが0から1まで動くと辺ACになります。残る辺BCはs + t = 1、s ≧ 0、t ≧ 0です。実際、ベクトル AP = s a + (1 − s)bはCからBへの線分を表し、sが0から1まで動きます。

図1の3辺に囲まれた部分は、辺と頂点を含めて次の条件で表せます。

s ≧ 0
 t ≧ 0
s + t ≦ 1

十分性も確かめます。s + t = 0なら、非負性からs = t = 0でPはAです。s + t > 0なら、辺BC上の点Qを次で定めます。

ベクトル AQ = s/(s + t) a + t/(s + t) b
ベクトル AP = (s + t) ベクトル AQ

Qの2係数は非負で和が1ですから、Qは辺BC上です。また0 < s + t ≦ 1なのでPは線分AQ上にあります。よって条件を満たす点は三角形の内部または周上です。

逆に、三角形内または周上の点PはAと辺BC上のある点Qを結ぶ線分上にあります。Qの係数を(u, 1 − u)、Pの位置をベクトル AP = v ベクトル AQとすると、0 ≦ u ≦ 1、0 ≦ v ≦ 1です。したがってs = vu、t = v(1 − u)は非負で、和はv ≦ 1です。これで必要性も示せました。

内部のみならs > 0、t > 0、s + t < 1です。等号が成立する3本の辺を除くからです。例えばs = 0でもtが0と1の間なら点は辺AC上なので、内部には入りません。頂点も辺に含まれるため、厳密な不等式では除かれます。

領域の判定では、不等式を満たさなかったときの扱いにも意味があります。例えばs < 0なら、和がどんな値でも三角形の条件には入らず、直線ACのBと反対側にあります。t < 0なら直線ABのCと反対側です。s、tが非負でも和が1を超えるなら、直線BCをAと反対側へ越えています。この3つは外部に出る経路を区別する見方です。

一方、条件が矛盾して解がない場合、計算が失敗したと決めつける必要はありません。各不等式を数直線に示し、共通する点があるかを確認します。端がちょうど一致するときも、両方が等号を許すなら1点が残ります。片方でも厳密な不等号ならその点は除かれます。線分や頂点を答えに含めるかという図形の指示が、文字の範囲にも反映されます。

基準となるA、B、Cが一直線上にある場合には、この議論をそのまま使えません。aとbが平行になり、同じ点を複数の係数の組で表せることがあるからです。最初に三角形がつぶれていないかを確かめてから、係数を比較してください。

基本例題：係数の和で点を仕分ける

一直線上にないA、B、Cについて、aをベクトル AB、bをベクトル ACとします。次の3点について、三角形ABCの内部、周上、外部のいずれかを答え、周上なら該当する辺も答えてください。

ベクトル AP = (1/4)a + (1/2)b
ベクトル AQ = (3/4)a + (1/4)b
ベクトル AR = (3/4)a + (1/2)b

図2のように、まず各係数を読み、次に和を調べます。係数が非負でも、和が1を超えると辺BCを越えます。

Pについては次の通りです。

s = 1/4 > 0
 t = 1/2 > 0
s + t = 1/4 + 1/2 = 3/4 < 1

したがってPは内部です。Aの係数を1 − s − tと考えると1/4で、3頂点の係数がいずれも正です。

Qについては次のようになります。

s = 3/4 > 0
 t = 1/4 > 0
s + t = 3/4 + 1/4 = 1

Qは辺BC上です。さらに両係数が正なのでB、Cのどちらとも一致しません。実際、CからBへ3/4進んだ点であり、BQ : QC = 1 : 3です。

Rについても同様に計算します。

s = 3/4 > 0
 t = 1/2 > 0
s + t = 3/4 + 1/2 = 5/4 > 1

Rは外部です。逆に条件に戻すと、Pは3つの厳密な不等式、Qは非負条件と和の等号、Rは和の上限の否定を満たします。数を係数と取り違えず、3点を別々に判定することが要点です。

標準例題：文字の範囲を共通部分で決める

一直線上にないA、B、Cに対し、aをベクトル AB、bをベクトル ACとします。実数kによって点Xを次で定めます。Xが三角形ABCの内部または周上にあるkの範囲を、不等式で求めてください。

ベクトル AX = (2k - 1)a + (3 - k)b/2

係数の条件がそのままkの一次不等式になるので、図を細かく描く前に3条件を立てます。bの係数は(3 − k)/2です。

2k - 1 ≧ 0
(3 - k)/2 ≧ 0
(2k - 1) + (3 - k)/2 ≦ 1

各条件を解きます。

k ≧ 1/2
k ≦ 3
(3k + 1)/2 ≦ 1
3k + 1 ≦ 2
k ≦ 1/3

k ≧ 1/2とk ≦ 1/3を同時に満たせないため、求めるkは存在しません。範囲が空になることも答えです。無理に端点を並べて区間を作ってはいけません。

元の場面でも確かめます。aの係数が非負になるにはk ≧ 1/2です。このとき係数和は(3k + 1)/2 ≧ 5/4で、1より大きくなります。したがって非負の2係数を持つ場合でさえ、辺BCの外側です。k < 1/2ならaの係数が負なので、別の条件により外部です。どちらの場合も内部や周上には到達しません。

発展例題：変換された三角形の境界を戻す

一直線上にないA、B、Cを取り、aをベクトル AB、bをベクトル ACとします。点D、Eをベクトル AD = (1/2)a、ベクトル AE = (1/3)bで定めます。点Pはベクトル AP = s a + t bを満たします。Pが三角形ADEの内部または周上にあるためのs、tの条件を求めてください。また、辺DEの両端を除いた部分の条件も求めてください。

DとEはそれぞれ異なる辺の途中にあり、A、D、Eは一直線上にありません。そこでベクトル AD、ベクトル AEを新たな基準に使えます。Pを次の係数u、vで表します。

ベクトル AP = u ベクトル AD + v ベクトル AE
ベクトル AP = (u/2)a + (v/3)b

a、bは平行でないため係数比較ができます。

s = u/2
 t = v/3
u = 2s
v = 3t

三角形ADEの内部または周上の条件はu ≧ 0、v ≧ 0、u + v ≦ 1です。よって求める条件は次です。

s ≧ 0
 t ≧ 0
2s + 3t ≦ 1

逆にこの条件が成り立てば、u = 2s、v = 3tは非負で和が1以下です。したがってPは確かに三角形ADEの内部または周上にあります。式変形が必要条件だけで終わっていないことを確認できます。

辺DE上ではu + v = 1です。両端D、Eを除くにはu > 0、v > 0とします。元の係数に戻した答えは次の通りです。

s > 0
 t > 0
2s + 3t = 1

例えばs = 1/4、t = 1/6ならu = v = 1/2で、PはDEの中点です。一方、s = 1/2、t = 0はDであり、等式を満たしても厳密な不等式を満たしません。端点を除く指示は、等式だけでは表せないことに注意します。

誤答を図で直す

「0 ≦ s ≦ 1、0 ≦ t ≦ 1だから、Pは三角形ABCに入る」という判断を考えます。2つの範囲はそれぞれ正しい必要条件ですが、合わせても十分ではありません。図3のように、両係数が独立に動くと平行四辺形ABDCの全体が現れます。Dはベクトル AD = a + bで定まります。

例えばDではs = 1、t = 1です。各係数は指定範囲に入りますが、和は2なので三角形の条件s + t ≦ 1を満たしません。DはBとCのどちらでもなく、辺BCのAと反対側にあります。

修正するときは、まずs + t = 1という境界を引きます。次にAでは和が0なので、Aを含む側がs + t ≦ 1だと判定します。その側とs ≧ 0、t ≧ 0の共通部分が求める三角形です。境界線を引くだけでどちら側を取るか決めないと、反対側を塗る失敗が残ります。点Aを代入して向きを確かめてください。

練習：境界と到達範囲を分ける

どの問題でもA、B、Cは一直線上にない点、aはベクトル AB、bはベクトル ACとします。答えは位置の分類または不等式で示してください。

ベクトル AP = (1/5)a + (2/5)bのとき、Pを内部、周上、外部に分類してください。
ベクトル AQ = (2/5)a + (3/5)bのとき、Qを同様に分類し、周上なら辺を答えてください。
ベクトル AR = (-1/4)a + (1/2)bのとき、Rを同様に分類してください。
ベクトル AS = k a + (1/4)bのとき、Sが内部にある実数kの範囲を求めてください。
ベクトル AT = (2h)a + (h + 1)bのとき、Tが内部または周上にある実数hの範囲を求めてください。

練習の答えと戻し方

係数はともに正で、和は3/5です。

1/5 > 0
2/5 > 0
1/5 + 2/5 = 3/5 < 1

答えは内部です。Aの係数1 − 3/5 = 2/5も正なので、3辺のいずれにも乗りません。

係数はともに正で、和が1です。

2/5 + 3/5 = 1

答えは辺BC上です。CからBへの比率が2/5なので、BQ : QC = 3 : 2となり、辺上の端点以外に戻ります。

aの係数が負です。

-1/4 < 0

答えは外部です。和が1/4で上限以下でも、非負条件を満たしません。ACを境界としてBと反対側にあります。

内部の条件を代入します。

k > 0
1/4 > 0
k + 1/4 < 1
k < 3/4

答えは0 < k < 3/4です。k = 0では辺AC、k = 3/4では辺BCに乗るので、どちらの端も除きます。区間の中では3条件がすべて成り立つため、余計な解はありません。

3条件をそれぞれ解きます。

2h ≧ 0
h + 1 ≧ 0
2h + h + 1 ≦ 1
h ≧ 0
h ≧ -1
h ≦ 0

共通部分はh = 0です。この値を元の式に戻すとベクトル AT = bで、Tは頂点Cです。Cは周に含まれるため、答えに残ります。内部だけを求める場合は、この値も除かれて解がありません。

手元に残す3条件

三角形の内部と周はs ≧ 0、t ≧ 0、s + t ≦ 1です。内部のみなら3つとも等号を除きます。各係数を0以上1以下とする条件は平行四辺形を表します。文字の範囲は3条件の共通部分を取り、端点を元の図に戻します。

どこで止まったかを見る

図を描けないときは、まずA、B、Cの係数をそれぞれ書き、辺BCで係数の和がどうなるかを説明してみてください。式は立つのに範囲を誤るときは、各不等式を別々に解いた後、数直線上で共通部分を調べます。個別指導で確かめるなら、端点を含む場合と除く場合を同じ図で言葉にし、頂点Cが条件に入るかを代入して確かめると、等号の理解を見分けられます。係数の和を見ることで、三角形の境界は式の中にも現れます。