高校数学C 垂線の足と距離—内積から射影の係数を求めて最短の位置を示す｜武蔵野個別指導塾

線分への最短距離を内積で求めるとき、端点を選ぶ手がかりは垂足です。

よくあるのは、理系の高校生が射影の長さの符号をそのまま距離にする場面です。基準の向きと反対側に垂線の足があれば、向きを込めた射影は負になります。しかし、点から直線までの距離は垂直な線分の長さなので負にはなりません。さらに、直線上の垂足が線分の外にあるときは、その足を線分上の最短点にすることもできません。向きのある量と長さを区別し、最後に足がどこにあるかを調べます。

どの位置を求める問題か

垂線の足と距離を問う問題には、次のような違いがあります。どの集合の中で点を動かすのかを、計算より先に見ます。

• 直線に下ろした垂線の足と距離を求める型です。足を直線上に置き、垂直条件を内積で表します。
• 射影の符号や足の位置を読む型です。基準点から基準方向へ進む係数が正か負かを調べ、向きと長さを区別します。
• 線分までの最短距離を求める型です。直線上の垂足を求めた後、線分内に入るかを判定し、外側なら近い端点を選びます。

直線と線分は同じ2点で指定できますが、動ける範囲が違います。直線上では係数に制限がなく、線分上では係数が0以上1以下です。この違いを最後まで持ち続けると、式は同じでも答えの点が変わる理由が見えてきます。

射影の係数から垂足を定める

異なる2点 A、B を通る直線と、点 P を考えます。a をベクトル AB、v をベクトル AP とします。A と B が異なるので a は零ベクトルでなく、a・a は正です。直線上の点 H は、実数 t を使ってベクトル AH = t a と表せます。

図1のように、H が垂足になる条件は、直線の方向 a とベクトル HP が垂直であることです。ベクトル HP = v − t a なので、内積を使うと次のようになります。

(v - t a)・a = 0
v・a - t(a・a) = 0
t = (v・a)/(a・a)

分母は正なので、この t はただ1つに決まります。P が直線上にある場合も同じ式で H = P となり、距離は0です。このとき HP は零ベクトルなので、その向きや角度を定める必要はありません。上の内積の式は成り立ち、足は点 P 自身と考えられます。

基準方向を単位ベクトルにそろえたものを e = a/|a| とすると、v・e は A から H への、向き付きの射影の長さです。これは t|a| に等しく、H が A から見て B と反対側にあれば負です。線分 AH の長さは |t||a| であり、点 P から直線までの距離は |v − t a| です。これらは別の量です。射影が負であっても、長さや距離には負の値を付けません。

なぜ垂足が最短点なのでしょうか。直線上の別の点 X をベクトル AX = u a と表すと、ベクトル PX はベクトル PH とベクトル HX の和です。PH と HX は垂直なので、長さの二乗について次が成り立ちます。

PX² = PH² + HX²
    = PH² + (u - t)²|a|²
    ≧ PH²

PX、PH、HX はそれぞれ線分の長さを表します。等号は u = t、つまり X = H のときです。線分 AB に限定するなら u の範囲は 0 ≦ u ≦ 1 です。t がこの範囲内なら H が最短点、t < 0 なら A、t > 1 なら B が最短点になります。端の t = 0、1 は垂足と端点が重なる場合で、どちらも線分に含まれます。

基本例題：直線上の足を成分で求める

A(1, 1)、B(5, 3)、P(3, 5) とします。P から直線 AB に下ろした垂線の足 H の座標と、P と直線 AB の距離を求めてください。座標は整数または分数、距離は根号を使って表します。

図2のように、まず A を基準にして、直線の方向と P への移動を作ります。A と B は異なるので方向ベクトルは零ではありません。

a = ベクトル AB = (4, 2)
v = ベクトル AP = (2, 4)
a・a = 4² + 2² = 20
v・a = 2・4 + 4・2 = 16
t = 16/20 = 4/5

足 H は A から a の 4/5 倍だけ移動した点です。座標を1成分ずつ求めます。

H = (1, 1) + (4/5)(4, 2)
  = (1 + 16/5, 1 + 8/5)
  = (21/5, 13/5)

距離は P と H の差の大きさです。係数 4/5 や射影の長さを距離と取り違えないように、垂直方向の差を取り直します。

ベクトル HP = P - H = (-6/5, 12/5)
HP² = (-6/5)² + (12/5)²
    = 36/5
HP = 6√5/5

答えは H(21/5, 13/5)、距離 6√5/5 です。H = A + (4/5)a なので H は直線上にあります。また (-6/5, 12/5)・(4, 2) = 0 です。元の2条件に戻すことで、座標と垂直の両方を確かめられます。4/5 は0と1の間なので、この例では H は線分 AB 上にもあります。

別の確認として、AP² = 20、AH² = (4/5)²・20 = 64/5 です。直角三角形の関係から PH² = 20 − 64/5 = 36/5 となり、成分計算と一致します。二乗から距離を戻す際は、長さが非負であることを使います。

標準例題：延長上に足があるとき

A(2, 1)、B(5, 2)、P(-1, 3) とします。P から直線 AB への垂足 H と直線までの距離、さらに線分 AB までの最短距離を求めてください。座標は整数または分数、距離は根号を使って表します。

直線への足を先に求め、その係数で線分の範囲を判定する方針です。A と B は異なり、a = ベクトル AB = (3, 1) は非零です。v = ベクトル AP = (-3, 2) として内積を計算します。

a・a = 3² + 1² = 10
v・a = (-3)・3 + 2・1 = -7
t = -7/10
H = (2, 1) + (-7/10)(3, 1)
  = (-1/10, 3/10)

係数が負なので、H は A から B と反対側の延長上にあります。A から B へ向きを決めた射影の長さは -7/√10 ですが、これを距離にしてはいけません。垂足から P への差とその長さを求めます。

ベクトル HP = (-1, 3) - (-1/10, 3/10)
             = (-9/10, 27/10)
HP² = 81/100 + 729/100
    = 81/10
HP = 9√10/10

H は直線上にあり、(-9/10, 27/10)・(3, 1) = 0 です。直線への距離は 9√10/10 です。AP² = 13 と AH² = 49/10 からも PH² = 13 − 49/10 = 81/10 と求まり、同じ結果になります。

一方、線分上の点 X はベクトル AX = u a、0 ≦ u ≦ 1 で表されます。t = -7/10 に対して u − t = u + 7/10 は u = 0 のとき最小です。したがって線分上の最短点は A で、距離は次のようになります。

PA² = (-3)² + 2² = 13
PA = √13

A は線分の端点なので実際に選べます。直線までの距離と線分までの距離は異なります。たとえば B への距離の二乗は 6² + (-1)² = 37 で、端点を比較しても A のほうが近いと確かめられます。ただし端点の比較だけでは、垂足が線分内にある場合を見落とすため、まず t の範囲を調べます。

発展例題：動く点から線分までの距離

A(0, 0)、B(4, 0)、P(s, 3) とします。実数 s に対する P と線分 AB の最短距離を場合分けして求め、最短距離が 5 になる s をすべて求めてください。距離は根号を用い、s は整数で答えます。

線分の方向は a = (4, 0) で非零、v = (s, 3) です。直線への垂足の係数と座標を先に出します。

a・a = 16
v・a = 4s
t = 4s/16 = s/4
H = (0, 0) + (s/4)(4, 0)
  = (s, 0)

線分に対応するのは 0 ≦ t ≦ 1、つまり 0 ≦ s ≦ 4 です。P と H の距離は3なので、この範囲の最短距離は3です。s < 0 では H が A の外側にあり最短点は A、s > 4 では B の外側にあり最短点は B です。最短距離を d とすると、各場合は次のようになります。

s < 0      のとき d = √(s² + 9)
0 ≦ s ≦ 4 のとき d = 3
s > 4      のとき d = √((s - 4)² + 9)

境界の s = 0、4 は垂足と端点が一致し、距離は3です。どちらの隣の式に代入しても同じ値になります。これによって、境界で点を落としていないか確認できます。

次に d = 5 を各範囲で解きます。中央の範囲では d = 3 なので解はありません。両側の式は平方して求めた後、範囲を確認します。

s < 0 のとき
√(s² + 9) = 5
s² + 9 = 25
s² = 16
s = -4 または 4
範囲から s = -4

s > 4 のとき
√((s - 4)² + 9) = 5
(s - 4)² = 16
s - 4 = -4 または 4
s = 0 または 8
範囲から s = 8

答えは s = -4、8 です。s = -4 では最短点 A までの差が (4, -3)、s = 8 では最短点 B までの差が (-4, -3) となり、どちらも距離は5です。二乗した式の解が元の範囲と距離の条件を満たすことまで確認しました。

誤答を直す：負の射影は距離ではない

標準例題で射影の向きを見て、直線までの距離を -7/√10 と答える誤りを考えます。図3のように足 H は A より左側にあるので、A から B の向きに測る射影は負です。この負号は足の方向を示しており、P と直線の間の長さを示していません。

修正するときは、まず何の量かを名前で書きます。A から H への向き付きの射影は -7/√10、線分 AH の長さは 7/√10、P と H の距離は 9√10/10 です。後の2つは長さなので非負です。絶対値を射影に付けても AH の長さが得られるだけで、垂直方向の PH には変わりません。

もう1つの誤りは、H が直線上にあることだけを見て、線分までの最短点にも H を採用することです。係数 -7/10 は 0 ≦ t ≦ 1 を満たさず、H は線分上の候補ではありません。線分の条件へ戻し、A を最短点として PA = √13 を使います。零ベクトルを方向に選んだ場合も要注意です。A = B では直線 AB が定まらず、分母 a・a は0になります。線分が1点 A に縮んだ問題なら、別に距離 PA を求めます。

練習：足の位置と距離を選ぶ

各問で、座標と係数は整数または分数、距離は必要なら根号で表してください。直線を指定する2点は異なるものとします。

1. A(0, 1)、B(3, 1)、P(2, 5) について、P から直線 AB への垂足と距離を求めてください。
2. A(1, 2)、B(3, 3)、P(0, 4) について、垂足 H の係数 t と座標、P から直線 AB への距離を求めてください。
3. A(0, 0)、B(2, 2)、P(4, 0) について、P と線分 AB の最短距離と最短点を求めてください。
4. A(1, 0)、B(3, 0)、P(5, 2) について、P と線分 AB の最短距離と最短点を求めてください。
5. A(2, -1)、B(4, 0)、P(6, 1) について、P から直線 AB への垂足と距離を求めてください。

練習の答えと途中式

1. 横向きの直線

a = (3, 0)、v = (2, 4) とすると、a・a = 9、v・a = 6 です。

t = 6/9 = 2/3
H = (0, 1) + (2/3)(3, 0)
  = (2, 1)
HP = |(2, 5) - (2, 1)| = 4

H は A + (2/3)a と表され、HP の成分 (0, 4) は a と垂直です。よって答えは H(2, 1)、距離4です。H と P の y 座標の差も4なので、長さを別の見方で確かめられます。

2. 射影が0の位置

a = (2, 1)、v = (-1, 2) です。内積を計算して足の位置を決めます。

a・a = 5
v・a = (-1)・2 + 2・1 = 0
t = 0/5 = 0
H = (1, 2) + 0(2, 1) = (1, 2)
HP² = (-1)² + 2² = 5
HP = √5

答えは t = 0、H(1, 2)、距離 √5 です。H は A 自身で直線上にあり、ベクトル HP = (-1, 2) と a の内積は0です。射影の長さが0でも、P が直線上にあるとは限りません。

3. 足が端点に重なる場合

a = (2, 2)、v = (4, 0) より、次のようになります。

a・a = 8
v・a = 8
t = 8/8 = 1
H = (0, 0) + 1(2, 2) = (2, 2) = B
PB² = (4 - 2)² + (0 - 2)² = 8
PB = 2√2

足は線分の端点 B に含まれます。ベクトル BP = (2, -2) と a の内積は0なので、最短点は B、距離は 2√2 です。二乗が8、長さが非負であることも確かめます。

4. 足が B の外側にある場合

a = (2, 0)、v = (4, 2) として係数を求めます。

a・a = 4
v・a = 8
t = 8/4 = 2
H = (1, 0) + 2(2, 0) = (5, 0)

H は直線上で、ベクトル HP = (0, 2) は a と垂直です。しかし t > 1 なので H は線分の外側です。線分の最短点は B です。

PB² = (5 - 3)² + (2 - 0)²
    = 8
PB = 2√2

答えの B は指定された線分の端点で、P と B の座標差から距離が戻ります。直線への距離2とは区別します。

5. 点 P が直線上にある場合

a = (2, 1)、v = (4, 2) なので、a は非零かつ v = 2a です。

a・a = 5
v・a = 10
t = 10/5 = 2
H = (2, -1) + 2(2, 1)
  = (6, 1) = P
HP = 0

答えは H(6, 1)、距離0です。P = A + 2a で直線上にあることを直接確かめられます。HP は零ベクトルで内積も0ですが、零ベクトルの向きや角度を持ち出さずに判定します。

足と距離の要点

• 方向 a は非零と確かめ、t = (v・a)/(a・a) で垂足を決めます。
• 射影の符号は基準方向に対する位置を示し、距離は非負です。
• 線分では 0 ≦ t ≦ 1 なら垂足、それ以外なら近い端点が最短点です。
• 答えを直線上の条件と内積0に戻し、距離も座標差から確かめます。

どこで止まったかを見分ける

係数は出たのに足の座標が違う場合、t a を位置そのものとしていないか確かめます。t a は A からの移動なので、座標には A を加えます。足は正しいのに距離が負の場合は、射影と垂直方向の長さを別々に書き出します。

線分の問題で直線への距離をそのまま使った場合は、求めた t を数直線の 0 と 1 に照らします。個別指導で式を確かめるなら、「その点を線分上の点として選べるか」「内積0はどの2つのベクトルに付けるか」を声に出して説明します。垂足の位置を判定してから距離を測る順序が、答えの意味を支えます。