高校数学III 増減を表す微分方程式の利用—自作の量と時間の条件から定数を決める｜武蔵野個別指導塾

正の量の増減を指数関数で表し、2時点の値から比例定数を求めます。到達時刻と平均量を計算し、時間の単位と変化率の符号まで確認します。

よくあるのは、理系の高3が演習で、時間とともに減る量を見ながら、その変化率に正の比例定数を付けてしまう場面です。式の形を覚えていても、増える向きと符号を結び付けなければ、初期値には合ってもその後の条件に合わない式になります。量の単位と時間の単位を添えて、式を場面へ戻すところまで考えましょう。

何を条件から決めるか

時間 t における正の量を Q(t) とします。量の変化率がその時点の量に一定の割合で比例するという条件は、dQ/dt = kQ と表せます。k は時間によらない定数です。初期量と後の時刻の量が与えられれば、まず初期量を式に入れ、次に後の条件を使って k を求めます。

問いには、初期量と比例定数から後の量を求める型、2時点の量から比例定数を求める型、ある量に達する時刻や一定時間の平均量を求める型があります。後の量が初期量より小さければ、正の量に対して変化率は負であり、k も負です。逆に後の量が大きければ k は正です。同じ期間に同じ量を加える一次関数とは異なり、このモデルでは同じ期間に同じ倍率が掛かります。

以下の量や時間は計算のために設定した条件です。式は指定された時間の範囲で用います。現実の量がいつまでも同じ割合で変化すると主張するものではありません。単位を変えると k の数値も変わるので、求めた数値だけを別の時間単位に移してはいけません。

比例の式と時間の単位

Q が微分可能で dQ/dt = kQ を満たし、Q(0) = Q₀ とします。Q₀ は正とします。指数関数を使って Q(t) = Q₀eᵏᵗ と予想すると、微分によって Q′(t) = kQ₀eᵏᵗ = kQ(t) となり、t = 0 では Q₀ に戻ります。

これ以外の解を見落としていないことも確かめましょう。Q(t)e⁻ᵏᵗ を積の微分法で微分すると、Q′(t)e⁻ᵏᵗ − kQ(t)e⁻ᵏᵗ = 0 です。したがって、この積は考える区間で一定です。初期条件から一定値は Q₀ ですから、Q(t) = Q₀eᵏᵗ と決まります。この方法では Q で割らないので、途中で割る量が0になるかどうかに頼りません。Q₀ > 0 なら指数関数が正なので、その解は有限の時刻で正です。

図1のように、正の量に掛ける k の符号が変化率の符号を決めます。k = 0 なら量は一定です。図1は符号と増減の対応を示し、特定の測定値を示すグラフではありません。

量の単位が g、時間が分なら、変化率の単位は g/分です。右辺の Q に掛ける k の単位は 1/分となります。時間を時間単位に替える場合、1時間は60分なので、1時間当たりの定数は1分当たりの定数の60倍です。指数の中の kt は単位を持たない数になります。

時刻 a から b までの量の積分は、連続な Q に対して ∫[a→b] Q(t) dt です。これを b − a で割ると、その区間の平均量になります。積分そのものは量と時間を掛けた単位を持ち、時刻 b の量ではありません。正の連続関数を有限区間で積分するため、ここで扱う積分は通常の定積分です。

時間の始点を取り直す場合も、倍率は経過時間で決まります。時刻 a の量が Q(a) なら、時刻 b の量は Q(a)eᵏ⁽ᵇ⁻ᵃ⁾ です。実際、Q₀eᵏᵇ を Q₀eᵏᵃ で割ればこの倍率が得られます。初期時刻が0でない問題では、b 自体と b − a を混同しないようにします。二つの時刻の差が同じなら倍率も同じですが、増減する量の差は一般に同じではありません。

条件から k を求めるときには、後の量と初期量がともに正であるため、その比の対数を取れます。もし与えられた後の量が0以下なら、正の初期量を持つこの指数モデルとは両立しません。負の比例定数にしても有限時刻で0にはならないことを、式の正の指数因子から判断できます。計算前に条件の整合性を確認すれば、存在しない定数を探さずに済みます。

基本：減少の速さから量を出す

例題1。あるモデルでは、0分から4分までの量 Q g の変化率は、その時点の量の -1/2 倍 g/分です。初めに 12 g あるとします。4分後の量と、0分から4分までの平均量を厳密値で求めてください。

比例定数は k = -1/2、単位は 1/分です。減るという条件と負の符号が一致します。初期条件 Q(0) = 12 を使うと、

Q′(t) = -(1/2)Q(t)
Q(t) = 12e⁻ᵗᐟ²
Q(4) = 12e⁻²

図2のように、4分後の高さは初期値より低く、正のままです。平均を求めるには、曲線の下の面積に当たる定積分を時間の長さ4で割ります。

∫[0→4] 12e⁻ᵗᐟ² dt = [-24e⁻ᵗᐟ²]₀⁴
                         = 24(1 - e⁻²)
平均量 = 24(1 - e⁻²)/4
       = 6(1 - e⁻²) g

元の条件へ戻すと Q(0) = 12、Q′(t) = -6e⁻ᵗᐟ² = -Q(t)/2 です。4分後は正で12より小さく、平均量も初期量より小さくなります。積分値 24(1 − e⁻²) の単位は g・分です。平均量の単位が g に戻ることも確かめます。

標準：2時点から倍率をつなぐ

例題2。ある量 P g は0時間から6時間まで P′(t) = kP(t) に従い、P(0) = 5、P(3) = 20 です。比例定数 k と6時間後の量を厳密値で求めてください。対数は自然対数とします。

一般の形に初期値を入れると P(t) = 5eᵏᵗ です。3時間後の値から、

20 = 5e³ᵏ
e³ᵏ = 4
3k = log 4
k = (log 4)/3

k の単位は 1/時間です。4 > 1 なので log 4 > 0 となり、増加と符号が合います。この式を使うと、

P(6) = 5e⁶ᵏ
     = 5(e³ᵏ)²
     = 5・4²
     = 80 g

別の見方では、3時間ごとの倍率が e³ᵏ = 4 と一定です。初めの5 gを3時間で4倍し、さらに3時間で4倍すると80 gです。倍率の方法は等しい時間の間隔で比較すると短くなります。時刻が等間隔でないときは、指数式に時刻を代入する方法が確実です。

検算では P(0) = 5、P(3) = 5・4 = 20、P′(t) = kP(t) を確認します。後の条件が初期値の4倍であることと、6時間後がそのさらに4倍であることが場面に戻ります。単に 20 + 15 = 35 とすると、同じ増加量を仮定しており、比例モデルの条件とは異なります。

発展：指定量に達する時刻と平均

例題3。ある量 R mg は0時間から、次の条件で求める時刻まで R′(t) = kR(t) に従います。初めは 81 mg、2時間後は 27 mg です。9 mg に達する時刻と、その時刻までの平均量を厳密値で求めてください。

まず2時間の倍率は 27/81 = 1/3 です。初期値を入れた R(t) = 81eᵏᵗ に2時間後の条件を代入します。

27 = 81e²ᵏ
e²ᵏ = 1/3
2k = log(1/3)
k = -(log 3)/2

log 3 > 0 なので k < 0 です。求める時刻を T 時間とすると、

9 = 81eᵏᵀ
eᵏᵀ = 1/9
kT = -2 log 3
T = 4

これは2時間ごとに1/3倍となることからも確認できます。81 mgから2時間後に27 mg、さらに2時間後に9 mgです。k < 0 かつ R(t) > 0 なので R′(t) < 0 です。したがってこの区間で厳密に減少し、9 mg に達する時刻は4時間です。

平均は積分して求めます。k ≠ 0 を確認したうえで指数関数を積分すると、

∫[0→4] R(t) dt = [81eᵏᵗ/k]₀⁴
                    = (9 - 81)/k
                    = 144/(log 3)
平均量 = 36/(log 3) mg

R(0) = 81、R(2) = 27、R(4) = 9 であり、微分も R′ = kR を満たします。9と81の間に平均量があることも、減少する正の量として自然です。もし k = 0 なら上の k による除算はできません。その場合は量が一定なので、平均量は初期量そのものです。条件によって方法の分岐を明示することが、式の適用範囲を守ります。

符号を取り違えた式を直す

減少の例題1で Q′ = Q/2 と置くと、初期条件から Q = 12eᵗᐟ² になります。初めの12 gは満たすため、そこだけを代入しても誤りを見つけられません。しかし微分すると Q′ = 6eᵗᐟ² > 0 で、量は増えています。4分後も 12e² となり、減少の条件と矛盾します。

図3のように、正の量に正の定数を掛ければ変化率は正です。減少を表すには Q′ = -Q/2 と直します。図3では矢印が変化率の符号から増減に向かいます。定数の符号を変えるだけでなく、導関数と元の言葉の両方で確かめましょう。

もう一つの誤りは「毎分半分になる」と「変化率が量の -1/2 倍」を同じとすることです。後者の1分間の倍率は e⁻¹ᐟ² で、1/2ではありません。前者なら eᵏ = 1/2 から k = -log 2 です。変化率はある瞬間の変化の割合であり、有限の時間に掛かる倍率とは区別します。時間の単位が変わったときは、指数 kt が同じになるように換算します。

練習問題

各問題では示された時間範囲で比例モデルが成り立ちます。答えは自然対数と指数関数を用いた厳密値とし、単位も付けてください。

1. 量 A g は A′ = 2A、A(0) = 3 です。0分から2分のモデルで、2分後の量を求めてください。
2. 量 B mg は B′ = kB、B(0) = 40、B(2) = 10 です。0時間から4時間のモデルで、k と4時間後の量を求めてください。
3. 量 C g は C′ = kC、C(0) = 7、C(5) = 7e です。0分から10分のモデルで、k と 7e² g に達する時刻を求めてください。
4. 量 D mg は D′ = -D、D(0) = 8 です。0時間から1時間までの平均量を求めてください。
5. 量 E g は E′ = kE、E(0) = 6、E(3) = 6 です。0分から6分のモデルで、k と6分後の量を求めてください。

練習の答えと戻し方

1. A(t) = 3e²ᵗ なので A(2) = 3e⁴ g です。A(0) = 3、A′ = 6e²ᵗ = 2A です。量が正で増えることも条件に合います。2分後の式に初期量を再び掛ける必要はありません。

2. B(t) = 40eᵏᵗ に B(2) = 10 を代入すると e²ᵏ = 1/4、k = -log 2 です。単位は 1/時間です。4時間後は B(4) = 40・(1/4)² = 5/2 mg です。2時間ごとに1/4倍なので、40、10、5/2 と条件へ戻ります。微分しても B′ = kB です。

3. C(t) = 7eᵏᵗ、e⁵ᵏ = e より k = 1/5 で、単位は 1/分です。7e² = 7eᵗᐟ⁵ から t = 10分です。C(5) = 7e、C(10) = 7e² と与えた値と求める値へ戻り、導関数も C/5 です。量が正で k も正なので、この範囲で増加します。

4. D(t) = 8e⁻ᵗ です。積分は ∫[0→1] 8e⁻ᵗ dt = 8(1 − e⁻¹) mg・時間です。時間幅が1時間なので平均は 8(1 − e⁻¹) mg です。D(0) = 8、D′ = -D と元の条件に戻ります。平均は終点 8e⁻¹ と初期値8の間にあります。

5. E(t) = 6eᵏᵗ に3分後の条件を代入すると e³ᵏ = 1 です。指数関数の単調性から k = 0、単位は 1/分です。したがって E(t) = 6、6分後も 6 g です。E′ = 0 = kE であり、初期量と3分後の量も両方6に戻ります。量が同じという条件は、定数 k の比例モデルの中で一定を意味します。

持ち帰る4行

正の量では k の符号が増減を決めます。 初期量と後の量から指数の条件を作ります。 時刻の単位をそろえ、平均では積分を時間幅で割ります。 解を微分し、初期値と後の条件へ戻します。

どこで手が止まったかを見分ける

式が立たないときは、まず量、時刻、変化率の単位を横に書きます。量の減少と負の導関数を結べるかを口に出して確かめると、定数の符号の誤りを見分けられます。式が立っても答えが合わない場合は、後の量を初期量で割り、何時間の倍率かを図に添えます。倍率を時刻の差に対応させると、指数に入れる時間を確認できます。

個別指導で確認するなら、初期値を入れた式、2時点の倍率、導関数の符号を順に説明してもらいます。平均量では積分の単位と割る時間幅も確認します。計算結果を図の増減と元の条件に戻せば、比例モデルの式は場面の言葉と結び付きます。