高校数学III 媒介変数曲線の面積—座標の増減と端点から変数を置き換える｜武蔵野個別指導塾

横座標が増える弧と減る弧を比べ、軸の下側では高さも直して、媒介変数による面積の積分を組めるようにします。

よくあるのは、理系の高3が演習で、曲線の高さyをtの式に直したのに、積分の最後にdxを残してしまう場面です。式の中にはtとxが混在し、どの量をどの範囲で足すのかが見えなくなります。媒介変数の式は、高さだけでなく横の位置も決めています。横幅がtの変化に対してどう変わるかを一緒に書けば、面積の積分は一つの変数にそろいます。

面積を求める前に見る場所

x = f(t)、y = g(t)で表された弧とx軸、端点を通る縦線で囲む面積を考えます。端点が軸上にあるときは、その縦線が長さ0になる場合もあります。まず、指定されたtの範囲を端点の座標に直し、どちらが左かを決めます。次に、弧が軸の上と下のどちらにあるかを調べます。

出題には、左から右へ進む弧、右から左へ進む弧、軸の下にある弧があります。見かけは似ていても、積分の向きと高さの符号は別々に判定します。たとえば右から左に進みながら軸の上を描く場合、tの小さい方から大きい方へ積分した値は負です。面積が負になったからといって、高さそのものを負にする必要はありません。

ここで扱うのは横座標が単調に変わり、各xに対して高さが一つに定まる弧です。途中で横方向に折り返す弧や同じ領域を重ねて描く場合は、枝を分けて重なりを調べる必要があります。曲線の名前を分類することは目的にせず、与えられた範囲と座標の関係から領域を決めます。

横幅をtの変化に対応させる

fとgが閉区間で連続で、fが連続な導関数を持つとします。さらに、その区間でfが狭義単調なら、弧は各横座標に一つの高さを対応させます。増加の場合、t = aでx = f(a)、t = bでx = f(b)です。弧が軸の上にあるなら、置換積分の公式から面積Sは次のようになります。

S = ∫[f(a)→f(b)] y dx
  = ∫[a→b] g(t)f′(t) dt

式のdx = f′(t)dtは、横幅をtの変化に対応させる記号です。高さg(t)と横幅の因子f′(t)を掛け、端点もtの値へ置き換えます。f′(t)が端点で0になっても、fが区間全体で狭義単調なら、この置換は使えます。導関数が0となる点を見つけたときは、その点だけで増減を決めず、前後の符号と端点を調べます。

図1のように、弧が右から左に進む場合は、左端から右端へ積分するためにtの端点の順を逆にします。f′(t)が負であっても、積分区間も逆向きになるので、軸より上の面積は正になります。

軸より下にある弧では、高さをyそのものではなく、軸からの距離-yとします。一般に高さの符号が変わる場合は、g(t) = 0となる点で区間を分け、それぞれの距離を足します。軸に対する上下と、横座標の進行方向は独立した2つの確認事項です。

基本例題：増える横座標

曲線 x = t²、y = 3 − t（0 ≦ t ≦ 1）とx軸、および両端を通る縦線で囲まれた部分の面積を、分数の厳密値で求めます。

両座標は連続で、xの導関数は2tです。区間内でx = t²は狭義増加し、yは2以上なので弧は軸より上です。端点は(0, 3)、(1, 2)であり、左端から右端へtも0から1へ進みます。図2の塗られた部分が求める領域です。

図2の縦の細い帯は、高さが3 − t、横幅がtの変化に対応する部分です。dxを2t dtに置き換え、端点も0と1にそろえます。

S = ∫[0→1] y dx
  = ∫[0→1] (3 - t)2t dt
  = ∫[0→1] (6t - 2t²) dt
  = [3t² - (2/3)t³]₀¹
  = 3 - 2/3
  = 7/3

答えは7/3です。端点で導関数が0でも、区間全体のxの増加は失われません。答えを領域に戻すと、横幅は1、高さは2から3の間ですから、面積は2以上3以下です。7/3はこの範囲にあり、面積としての符号も正です。

もしyだけを3 − tと変えてdxを残すと、tがxのどの値に対応するかが積分式に反映されません。逆にx = t²からt = √xとして、0 ≦ x ≦ 1でy = 3 − √xと直す方法もあります。この方法でも同じ面積になりますが、媒介変数の表示が複雑な場合は、逆に解かずに微分係数を使う方が進めやすいことがあります。

標準例題：右から左へ進む弧

曲線 x = 4 − t²、y = t + 1（1 ≦ t ≦ 2）とx軸、両端を通る縦線で囲まれた面積を、分数の厳密値で求めます。

座標は連続で、dx/dt = -2tは指定区間で負です。したがってxは狭義減少し、t = 1で(3, 2)、t = 2で(0, 3)となります。弧は軸より上です。面積の積分はx = 0から3へ進むので、tの積分区間は2から1になります。

S = ∫[0→3] y dx
  = ∫[2→1] (t + 1)(-2t) dt
  = ∫[1→2] (2t² + 2t) dt
  = [(2/3)t³ + t²]₁²
  = (16/3 + 4) - (2/3 + 1)
  = 23/3

答えは23/3です。tの順序を1から2のまま使う場合は、右から左への符号付き積分を取るので、その値に負号を付けます。区間を逆にしたうえでさらに負号を付けると、向きを二度直してしまいます。どちらか一方の方法でそろえます。

この領域の幅は3、高さは2から3の間です。面積は6以上9以下で、23/3はその中にあります。端点を座標に戻して左端が0、右端が3であることも、積分の向きを決めた根拠になります。

発展例題：軸の下と逆向きが重なる場合

曲線 x = 9 − t²、y = t − 4（1 ≦ t ≦ 3）とx軸、両端を通る縦線で囲まれた面積を、分数の厳密値で求めます。

両座標は連続で、dx/dt = -2t < 0です。横座標は8から0へ狭義減少します。またyは-3から-1へ変わり、弧は軸より下にあります。左端はt = 3、右端はt = 1です。各縦の帯の高さは0 − y = 4 − tですから、次のように立式します。

S = ∫[0→8] (4 - t) dx
  = ∫[3→1] (4 - t)(-2t) dt
  = ∫[1→3] (8t - 2t²) dt
  = [4t² - (2/3)t³]₁³
  = (36 - 18) - (4 - 2/3)
  = 44/3

答えは44/3です。積分の順序と高さの符号を別々に決めることで、2つの負号がどこから来たかを追えます。

別の立式は、tを1から3へ進め、正の横幅に対応する -dx/dt = 2tを使う方法です。高さ4 − tに2tを掛ければ、上の最後の積分と一致します。幅は8、高さは1以上3以下なので、面積は8以上24以下です。44/3はこの範囲に入り、端点の座標(8, -3)、(0, -1)とも矛盾しません。

誤答を図から直す

基本例題で次の式を書く誤りを考えます。

S = ∫[0→1] (3 - t) dt = 5/2

この式では、高さは置き換わっていますが、横幅をdtとみなしています。図3のように同じtの増分でも、x = t²の横幅は場所によって異なります。たとえばtが0から1/2へ進むとxは0から1/4へ、tが1/2から1へ進むとxは1/4から1へ進みます。どちらもtの幅は1/2ですが、横幅はそれぞれ1/4と3/4です。

直すには、まずx = t²を微分してdx/dt = 2tを求めます。次に、元の面積の式のdxを2t dtに置き換えます。図3の横幅の違いを式に反映したものが、この2tです。高さと幅の両方がtで表され、最後のdtと積分区間も一致します。

別の失敗は、xが減る場合に端点を入れ替えず、結果が負になったあと理由なく絶対値を付けることです。単調な一つの弧で高さの符号が一定なら絶対値で数値が合う場合もあります。しかし符号が変わる領域では正負が打ち消し合うため、最後に一度絶対値を付けても面積になりません。軸との交点で分け、各部分の高さと左右を決め直します。

練習問題

いずれも指定範囲の弧、x軸、両端を通る縦線で囲まれた面積を、分数の厳密値で求めます。各式の連続性とxの増減を調べてから立式してください。

1. x = t²、y = 4 − t、0 ≦ t ≦ 2。
2. x = 5 − t、y = t² + 1、0 ≦ t ≦ 2。
3. x = t³、y = -2 − t、0 ≦ t ≦ 1。
4. x = 4 − t²、y = t − 3、0 ≦ t ≦ 2。
5. x = t + 1、y = t − 1、0 ≦ t ≦ 3。軸との交点で領域を分けます。

練習の答えと道筋

1. xは0から4へ狭義増加し、yは4から2へ減ります。dx = 2t dtより、

S = ∫[0→2] (4 - t)2t dt
  = [4t² - (2/3)t³]₀²
  = 32/3

幅4、高さ2以上4以下の領域なので、面積は8以上16以下です。32/3はこの条件を満たします。

2. xは5から3へ狭義減少し、yは正です。左端から右端への順で積分すると、

S = ∫[2→0] (t² + 1)(-1) dt
  = [t³/3 + t]₀²
  = 14/3

t = 2で左端(3, 5)、t = 0で右端(5, 1)です。幅2、高さ1以上5以下に対し、14/3は2以上10以下にあります。

3. x = t³は狭義増加し、yは負です。軸からの高さは2 + t、dx = 3t² dtです。

S = ∫[0→1] (2 + t)3t² dt
  = [2t³ + (3/4)t⁴]₀¹
  = 11/4

弧の端は(0, -2)、(1, -3)です。幅1、高さ2以上3以下の領域に11/4は収まります。

4. xは4から0へ狭義減少し、yは-3から-1まで負です。高さは3 − tであり、左から右へ積分します。

S = ∫[2→0] (3 - t)(-2t) dt
  = [3t² - (2/3)t³]₀²
  = 20/3

幅4、高さ1以上3以下なので、答えは4以上12以下です。20/3はその範囲にあり、両端(4, -3)、(0, -1)の位置にも合います。

5. xは1から4へ狭義増加し、dx = dtです。y = 0はt = 1、つまりx = 2で起こります。0 ≦ t ≦ 1では高さが1 − t、1 ≦ t ≦ 3では高さがt − 1です。

S = ∫[0→1] (1 - t) dt + ∫[1→3] (t - 1) dt
  = [t - t²/2]₀¹ + [t²/2 - t]₁³
  = 1/2 + 2
  = 5/2

元の座標では交点が(2, 0)、両端が(1, -1)、(4, 2)です。左右の部分はそれぞれ底辺1、高さ1と底辺2、高さ2の三角形なので、1/2と2となり、合計も5/2です。符号付き積分を一度に計算すると小さい部分が打ち消されるため、この確認が役立ちます。

練習5で積分を分ける位置は、図の印象ではなくy = t − 1 = 0から決めました。x = t + 1に戻してx = 2とすれば、元の座標でも分割位置を確認できます。もし途中で符号付き積分の結果だけを面積とすると、下側の三角形が負に数えられます。各部分を軸からの距離で表した後に加えることが必要です。

また、横座標の増減を判定するときは、導関数が端点で0になることと、区間内で向きが変わることを区別します。たとえば練習3では3t²は端点で0ですが、0より大きい範囲では正です。実際にtが増えればt³も増えるため、各横座標に対応する点は一つに決まります。

面積の見積もりは答えの検査として有効ですが、それだけで積分式の正しさを証明することはできません。端点、単調性、高さを確かめた立式と組み合わせて使います。

手元に残す要点

• 端点を座標に戻し、左端と右端を決めます。
• xの単調性と弧が軸の上下どちらにあるかを別々に調べます。
• 高さ、dxの因子、積分区間を同じ変数にそろえます。
• 符号が変わるところでは領域を分け、正の面積を足します。

途中の一行からつまずきを探す

式が合わないときは、最終値だけでなく、端点の座標、dx/dt、軸からの高さを順に見直します。端点が逆なら積分の向き、微分係数が抜けていれば横幅の対応、負の面積なら上下の判定に原因があるかもしれません。各段階で図に矢印や高さを書き加えると、どの判断からやり直すべきかが見えます。

個別指導で確かめるなら、生徒が左端を選んだ理由を図と式の両方で説明できるか、またdtに掛かる因子を横幅と結びつけられるかを見ます。符号が変わる練習では、交点の前後で高さの式を口に出し、それぞれの面積を元の図へ戻します。座標の動きと積分の向きが対応すれば、媒介変数の面積は式の形だけに頼らず判断できます。