高校数学III 逆関数を用いる面積—対称な領域と長方形の差から積分を減らす｜武蔵野個別指導塾

端点と符号を手掛かりに、長方形の差で求めるのが逆関数の面積です。

理系の高3が演習で、曲線の式から逆関数を求めようとして手が止まる場面があります。3次式を解くことに時間を使った末、面積を求めるためには逆関数の式そのものが必要なかったと気づくこともあります。対応する点と長方形を先に描けば、元の関数の積分で答えにたどり着けます。

問題文から領域を決める

逆関数を含む面積には、いくつかの出方があります。逆関数の曲線と軸、2本の直線で囲まれる領域を求める問題では、元の関数の曲線の下の面積に移し替えます。元の関数と逆関数のグラフの間を求める問題では、直線 y = x に関する対称性が役立ちます。端点が原点でない問題では、幅と高さを取り違えないことが特に大切です。

いずれも、まず元の関数が指定区間で連続かつ狭い意味で単調に増加していることを確かめます。その区間の値の範囲で逆関数が一意に定まり、逆関数も連続です。単調減少の場合にも領域の対応は考えられますが、端点の順やどちら側を引くかが変わるので、ここでは増加する場合に絞ります。

逆関数を解く前に、求めたい領域の境界が何かを言葉にしてください。積分する変数と上下端が決まれば、図形として移すか、長方形から引くかを選べます。式を短くすることよりも、移した面積が元の領域と本当に同じかを確かめることが先です。

対応する点と長方形

連続で狭い意味で単調増加する関数 f を区間 a ≦ x ≦ b で考え、a < b、f(a) = c、f(b) = d とします。このとき c < d で、逆関数を g とおけば、g(c) = a、g(d) = b です。f のグラフ上の点 (x, y) は、座標を入れ替えた点 (y, x) として g のグラフ上に移ります。この操作は直線 y = x に関する対称移動ですから、面積は変わりません。

図1のように、横の範囲が a から b、縦の範囲が c から d の長方形を考えます。f の曲線と直線 y = d の間の部分を直線 y = x で折り返すと、g の曲線と直線 y = a の間の部分に移ります。図では座標が入れ替わることを見やすくするため、同じ縮尺を使っています。

長方形の面積は (b − a)(d − c) です。一方、曲線 y = f(x) より上、直線 y = d より下にある部分は ∫[a→b] (d − f(x)) dx です。これと曲線 y = g(x) の下、直線 y = a より上にある部分 ∫[c→d] (g(x) − a) dx は対称移動で対応します。したがって次の式が成り立ちます。

∫[c→d] (g(x) - a) dx = ∫[a→b] (d - f(x)) dx
∫[c→d] g(x) dx = bd - ac - ∫[a→b] f(x) dx

右辺の bd − ac を、いつも長方形の面積そのものと見なしてはいけません。a と c がともに 0 のときだけ、bd が原点から作る長方形の面積になります。一般の場合は上下の基準線を引いてから元に戻すことで、この形が得られます。a や c が負でも、上の式は符号付きの定積分として成立します。面積として読むときは、基準線との差が非負かを改めて確認します。

もう一つの見方は、元の曲線の上側と下側が、長方形を重ならずに埋めるというものです。境界線上の点を両方に含めても面積は変わりません。したがって、片方が求められれば、全体から引いてもう片方が求まります。逆関数を微分できることまでは、この図形による説明には必要ありません。

基本例題：逆関数を解かずに積分する

区間 0 ≦ x ≦ 2 で f(x) = x² + x とし、その逆関数を g とします。曲線 y = g(x)、x軸、直線 x = 0、x = 6 で囲まれる面積を分数で求めてください。

f は多項式なので連続です。0 ≦ x ≦ 2 では f′(x) = 2x + 1 > 0 ですから狭い意味で単調増加し、逆関数が定まります。端点は f(0) = 0、f(2) = 6 です。よって g は 0 ≦ x ≦ 6 で連続かつ非負で、求める面積は ∫[0→6] g(x) dx です。

図2の青い部分を直線 y = x で折り返すと、横 2、縦 6 の長方形の中で f の曲線より上にある部分になります。横 2 と縦 6 の積から、元の曲線の下を引きます。

S = 2・6 - ∫[0→2] (x² + x) dx
  = 12 - [x³/3 + x²/2]₀²
  = 12 - (8/3 + 2)
  = 22/3

元の曲線の下の面積は 14/3 で、求めた 22/3 と合わせると長方形の面積 12 に戻ります。また g の値は 0 から 2 の間なので、答えは 0 と 12 の間です。求めた分数はこの範囲にあります。逆関数を平方根で表すことも可能ですが、ここではその計算をしなくても境界と面積が定まります。

この方法で省いたのは逆関数の式を解く手順です。単調性、値の範囲、どの領域を引いたかという確認まで省くわけではありません。特に x = 6 は元の関数の入力ではなく出力であり、対応する入力が 2 だと端点で確かめます。

標準例題：2つの曲線の間を対称性で見る

区間 0 ≦ x ≦ 2 の f(x) = x²/2 の逆関数を g とします。曲線 y = f(x) と y = g(x) で囲まれる部分の面積を分数で求めてください。

f は連続で、0 ≦ u < v ≦ 2 なら v² − u² = (v − u)(v + u) > 0 です。端点で導関数が 0 でも、この差を用いれば狭い意味で単調増加すると確認できます。f(0) = 0、f(2) = 2 なので g の定義域も 0 ≦ x ≦ 2 です。

この区間では f(x) ≦ x です。逆関数の増加性を使って f(x) ≦ x の両辺に g を適用すれば、x ≦ g(x) です。したがって上下の順は g、直線 y = x、f です。等号は x = 0、2 で成立し、0 < x < 2 では不等号が厳密です。2つの曲線は端点以外で交わりません。

直線 y = x の上下にある2つの領域は対称移動で重なります。下側の面積を2倍すると、間の面積が得られます。

S = 2∫[0→2] (x - x²/2) dx
  = 2[x²/2 - x³/6]₀²
  = 2(2 - 4/3)
  = 4/3

別の計算では、∫[0→2] g(x) dx = 4 − ∫[0→2] f(x) dx = 8/3 とします。元の曲線の下は 4/3 なので、差も 4/3 です。2つの曲線が両端で接するのではなく交わることと、間に高さが正の領域があることは、不等式から確認しています。

対称性を使うには、折り返した領域が求める領域のもう半分に一致しなければなりません。積分区間が途中で切られていたり、交点をまたいで上下が入れ替わったりする場合には、図と端点を調べて区間を分けます。

発展例題：原点を含まない区間

区間 1 ≦ x ≦ 2 で f(x) = x³ + x とし、その逆関数を g とします。曲線 y = g(x)、x軸、直線 x = 2、x = 10 に囲まれる面積を分数で求めてください。

f は連続で、f′(x) = 3x² + 1 > 0 です。f(1) = 2、f(2) = 10 から、g の定義域は 2 ≦ x ≦ 10、その値の範囲は 1 ≦ g(x) ≦ 2 です。逆関数の値は正なので、面積 S は次の定積分で表されます。

S = ∫[2→10] g(x) dx

ここで幅 8、高さ 1 の長方形を先に取り出します。その上の部分を対称移動すると、1 ≦ x ≦ 2、f(x) ≦ y ≦ 10 の領域です。よって幅 8 の長方形と、幅 1、高さ 10 の長方形から元の曲線の下を引いたものを足します。

S = 8・1 + ∫[1→2] (10 - x³ - x) dx
  = 8 + 10 - [x⁴/4 + x²/2]₁²
  = 18 - ((4 + 2) - (1/4 + 1/2))
  = 18 - 21/4
  = 51/4

公式で計算しても、bd − ac = 2・10 − 1・2 = 18 となり同じです。8 ≦ S ≦ 16 という高さの上下から得られる範囲にも入ります。さらに、取り出した面積 8 と曲線上側の面積 19/4 を足すと 51/4 です。差し引いた面積 21/4 と 19/4 を足せば、幅 1、高さ 10 の長方形 10 に戻ります。

もし 2・10 から元の積分だけを引くと、出発点 (1, 2) に対応する長方形の分 2 を余計に数えます。原点から始まる基本例題の形をそのまま使う前に、a、b、c、d の4つを並べてください。

間違いを図から直す

基本例題について、次の計算をしたとします。

誤り: S = ∫[0→2] (x² + x) dx = 14/3

図3で元の曲線の下側と上側を見比べると、14/3 は長方形の下側の面積です。欲しい逆関数の下側に対応するのは、長方形の上側です。2つは境界の曲線をはさんで補い合うので、面積が同じとは限りません。

正しくは 12 − 14/3 = 22/3 です。足して 12 に戻るかを確かめれば、どの部分を計算したかが明確になります。図3では横が 2、縦が 6 です。直線 y = x の対称移動後に軸が入れ替わる点も、答えを図へ戻すときの目印になります。

単調性を確認しないまま逆関数を使うのも別の失敗です。例えば f(x) = x² を -2 ≦ x ≦ 2 で考えると、異なる入力 -1 と 1 が同じ値 1 に移ります。値 1 に対する入力を1つに決められず、この区間全体の逆関数は関数になりません。0 ≦ x ≦ 2 のように区間を制限してから考える必要があります。

また、定積分をそのまま面積とする前に高さの符号を見ます。逆関数の値が負の区間では、x軸までの距離は g(x) ではなく -g(x) です。軸を横切るなら、その点で分けて距離を積分します。公式が返す符号付きの値と、図形の広さを混同しないことが修正の出発点です。

練習問題

どの問題も答えは分数または整数の厳密値で求めてください。必要な逆関数は、それぞれ指定された区間で定めます。

1. 0 ≦ x ≦ 1 の f(x) = x² + x の逆関数を g とします。∫[0→2] g(x) dx を求めてください。
2. 0 ≦ x ≦ 2 の f(x) = x³ + 2x の逆関数を g とします。曲線 y = g(x)、x軸、直線 x = 0、x = 12 に囲まれる面積を求めてください。
3. 0 ≦ x ≦ 3 の f(x) = x²/3 の逆関数を g とします。曲線 y = f(x) と y = g(x) に囲まれる部分の面積を求めてください。
4. 0 ≦ x ≦ 1 の f(x) = x³ + x の逆関数を g とします。0 ≦ x ≦ 2 で、直線 y = 2 と曲線 y = g(x) の間の面積を求めてください。
5. -2 ≦ x ≦ 2 の f(x) = x² は、その区間全体で逆関数を持ちますか。持たない場合は 0 ≦ x ≦ 2 に制限した逆関数を g として、∫[0→4] g(x) dx を求めてください。

練習の答えと考え方

1. f′(x) = 2x + 1 > 0 で、f(0) = 0、f(1) = 2 です。長方形は幅 1、高さ 2 です。

∫[0→2] g(x) dx = 1・2 - ∫[0→1] (x² + x) dx
                  = 2 - (1/3 + 1/2)
                  = 7/6

元の曲線の下 5/6 と答えの和は 2 です。g の値は 0 から 1 なので、答えは面積の上限 2 以下です。

2. f′(x) = 3x² + 2 > 0 で、f(0) = 0、f(2) = 12 です。g は非負なので積分が面積です。

S = 2・12 - ∫[0→2] (x³ + 2x) dx
  = 24 - [x⁴/4 + x²]₀²
  = 24 - 8
  = 16

元の曲線の下の 8 と合わせると 24 に戻ります。幅 12、高さ 2 の長方形より小さいことも確かめられます。

3. f は指定区間で連続かつ狭い意味で単調増加し、両端は 0 と 3 に対応します。0 < x < 3 では f(x) < x < g(x) なので、直線 y = x を境にした対称な2部分の和です。

S = 2∫[0→3] (x - x²/3) dx
  = 2[x²/2 - x³/9]₀³
  = 2(9/2 - 3)
  = 3

別に、元の曲線の下は 3、逆関数の下は 9 − 3 = 6 です。上下の差も 3 となり、交点 0 と 3 の間で面積が正になる条件に合います。

4. f′(x) = 3x² + 1 > 0 で、f(0) = 0、f(1) = 2 です。g の値は 0 から 1 なので直線 y = 2 は常に曲線より上です。

∫[0→2] g(x) dx = 2 - [x⁴/4 + x²/2]₀¹
                  = 2 - 3/4
                  = 5/4
S = 2・2 - 5/4
  = 11/4

求めた面積と曲線の下の 5/4 を足すと、幅 2、高さ 2 の長方形 4 に戻ります。

5. f(-1) = f(1) = 1 なので、区間全体では逆関数を持ちません。制限後は連続で狭い意味で単調増加し、端点の対応は 0 から 0、2 から 4 です。

∫[0→4] g(x) dx = 2・4 - ∫[0→2] x² dx
                  = 8 - 8/3
                  = 16/3

元の曲線の下 8/3 と合わせて長方形 8 に戻ります。区間を制限したことで、値 1 に対応する入力も 1 に決まります。

手元に残す要点

• 元の関数の連続性と狭い意味の単調増加を確かめ、逆関数の定義域を端点から決めます。
• 座標を入れ替える対称移動で、対応する領域の面積は等しくなります。
• ∫[c→d] g(x) dx = bd − ac − ∫[a→b] f(x) dx は f(a) = c、f(b) = d のもとで使います。
• 面積にする際は基準線との差の符号と、必要な区間分割を確かめます。

つまずいた箇所を見つけるには

式が進まないときは、まず曲線上の両端を座標で書き、逆関数側へ入れ替えられるかを確かめます。次に、求める部分を図に塗り、長方形のどの部分を引くのかを声に出して説明します。式だけ合っていても、塗った部分が違えば別の面積を求めています。

個別指導で答案を見るときも、単調性を示す行、端点の対応、図の上下関係、引き算後に長方形へ戻る検算を順に確認します。逆関数の式を求める計算に時間がかかった場合は、その式が本当に必要だったかを図に戻って考えます。境界を取り違えずに領域を移すことが、逆関数の面積を解く鍵です。