高校数学III 方程式の実数解の個数—水平線と曲線の交点を境界値ごとに数える｜武蔵野個別指導塾

指数・対数方程式を水平線との交点に直し、極値で重なる点と漸近値に届かない枝を区別して、境界ごとの実数解を数えます。

よくあるのは、理系高3の演習で、水平な漸近線の高さに水平線を引き、その上にも交点があるように数える場面です。グラフが限りなく近づく高さと、実際に関数が取る値は同じとは限りません。文字を含む方程式では、この違いが境界の個数を変えます。まず文字を水平線の高さに移し、曲線がその高さをどの区間で何回取るかを調べます。

高さを動かして数える

1つ目の型は、極大値や極小値を境に個数が変わるものです。極値より少し下で2回交わる曲線も、極値の高さでは接点1個になります。接するという見た目だけで2個と数えず、異なるxの値を数えます。

2つ目は、無限遠で近づく高さが境になるものです。水平線が漸近線と重なっても、有限のxで交わるかは元の式で別に確かめます。極限値は個数を分ける目印ですが、それ自体は解ではありません。

3つ目は、対数の真数などにより定義域が制限されるものです。変形後の式が定義域外で成り立っても、元の方程式の解にはなりません。曲線を描く前に、許されるxの範囲を最初に書きます。

増減の区間と端の値

方程式を f(x) = a の形にすることを定数分離と呼びます。ここではaを実数の定数とし、fを文字aに依存しない関数とします。実数解の個数は、定義域内の曲線 y = f(x) と直線 y = a の異なる交点の個数です。xが同じ交点を、隣り合う区間から重複して数えないことも必要です。

図1のように、曲線の増加部分と減少部分を分けると、それぞれで同じ高さを取る回数を判断しやすくなります。各部分で連続かつ狭い意味で単調なら、両端の値の間にある高さはその部分でちょうど1回取ります。存在は連続性から、重複しないことは単調性から判断します。端が無限遠なら、端の値は極限であって関数値とは限りません。

図1では極大点の高さをM、左端で近づく高さを0としています。Mの高さでは極大点を1回数えます。0の高さでは、左端に近づく枝が実際に0を取るかを式で調べます。図の枝は0を取らないため、左側に交点を付けません。

導関数の正負が正から負に変わる点では、そこで極大になります。ただし導関数が0という条件だけでは極値とは決まりません。また、端点を定義域に含む場合は、その点も実際の交点になりえます。端点の有無、極値、無限遠の極限を別々の欄に整理すると、等号をどこに付けるかが明確になります。

基本例題：指数関数と直線の積

実数aに対し、方程式 (2 − x)eˣ = a の異なる実数解の個数を求めます。個数はaの範囲ごとに整数で答えます。

f(x) = (2 − x)eˣ と置きます。fは実数全体で連続かつ微分可能で、eˣは常に正です。積の微分から次を得ます。

f′(x) = -eˣ + (2 - x)eˣ
      = (1 - x)eˣ

したがってx < 1で増加し、x > 1で減少します。x = 1では極大値 f(1) = e を取ります。また f(2) = 0 です。左端では (2 − x)eˣ → 0、右端では (2 − x)eˣ → -∞ です。左端の極限が0であることは、t = -xと置き、正のtについて eᵗ ≥ t²/2 を用いれば (2 + t)/eᵗ → 0 と確かめられます。

図2のように、左の増加部分は0より大きくeまで、右の減少部分はeから負の方向へ動きます。左側では常に2 − x > 0なので、極限値0を取らない点に注意します。

a > e       : 0個
a = e       : 1個
0 < a < e   : 2個
a = 0       : 1個
a < 0       : 1個

各区間の連続性と単調性により、表の個数以外の交点はありません。a = eではx = 1を元の式に戻すと e = e です。a = 0ではeˣが正なのでx = 2に限られ、代入して0になります。a = 0の左側にもう1個あるとすると、正の2 − xと正のeˣの積が0になるため矛盾します。

高さを少しずつ下げると、eの直下で極大点の両側に交点が分かれます。さらに0に近づくと左側の交点は左へ遠ざかりますが、a = 0で有限の点に残るわけではありません。極値と漸近値は、ともに境界でありながら、等号での扱いが違います。

標準例題：対数の定義域を先に置く

実数aに対し、方程式 log x − x = a の異なる実数解の個数を求めます。logは自然対数とし、個数はaの範囲ごとに整数で答えます。

真数条件からx > 0です。g(x) = log x − x はこの範囲で連続かつ微分可能です。導関数とその符号は次のようになります。

g′(x) = 1/x - 1
      = (1 - x)/x

分母は正なので、0 < x < 1で増加し、x > 1で減少します。極大値は g(1) = -1 です。さらに x → 0+ でg(x) → -∞、x → ∞でもg(x) → -∞です。後者は、例えばx ≥ 4で1/x ≤ 1/4であることから、gの減少が続き上に戻らないことに加え、log x ≤ x/2となる十分大きなxを取って確かめられます。

a > -1   : 0個
a = -1   : 1個
a < -1   : 2個

a < -1では、両側の連続な単調区間に各1個あります。a = -1ではx = 1を左右から重複して数えません。元の式にも log 1 − 1 = -1 と戻ります。負のxに曲線を延ばして交点を追加することはできません。対数の式が定義されないからです。

発展例題：変数を置き換えて範囲を残す

実数aに対し、方程式 e²ˣ − 4eˣ + 3 = a の異なる実数解の個数を求めます。個数はaの範囲ごとに整数で答えます。

t = eˣ と置くと、tは正です。逆に任意のt > 0に対してx = log tがただ1つ対応するため、正のtの解の個数と実数xの解の個数は一致します。t = 0はどんな有限のxからも生じません。

t² - 4t + 3 = a
(t - 2)² - 1 = a

h(t) = (t − 2)² − 1 はt > 0で連続かつ微分可能です。h′(t) = 2(t − 2)なので、0 < t < 2で減少し、t > 2で増加します。t = 2で最小値-1を取り、t → 0+で3に近づき、t → ∞で∞に向かいます。左端の3はこの左側の区間では取られません。

a < -1       : 0個
a = -1       : 1個
-1 < a < 3  : 2個
a = 3        : 1個
a > 3        : 1個

a = -1ではt = 2、したがってx = log 2です。元の左辺は4 − 8 + 3 = -1です。a = 3では t(t − 4) = 0 ですが、t = 0は除外し、t = 4からx = log 4を得ます。元の左辺は16 − 16 + 3 = 3です。二次方程式の判別式で実数のtを数えるだけでは、正という条件を落とします。

誤答を点検する：近づく点を解にしない

基本例題のa = 0について「左端でf(x)が0に近づき、x = 2でも0になるので2個」と答えたとします。図3のように、左端に有限の交点を置くことが誤りです。極限は、xを負の方向へ大きく動かしたときの関数値の振る舞いを述べています。ある実数xで0になるという主張ではありません。

図3の左側では曲線と高さ0の間に常に正の差があります。正しくは元の式 (2 − x)eˣ = 0 に戻し、eˣ > 0から2 − x = 0、つまりx = 2と求めます。極限だけで交点を追加せず、等号が成り立つ有限の値を探すことが修正の要点です。

同様に、極大点で左右の枝が出会う場合も、左右それぞれ1個として足すと同じxを2回数えます。区間の端を開くか閉じるかを決め、共通の端点を最後に1回数えます。定義域外の値、無限遠、重複する端点という3種類の失敗は、いずれも元の方程式に戻して点検できます。

練習問題

各問のaは実数です。異なる実数解の個数をaの範囲ごとに整数で答えてください。logは自然対数です。

1. (3 − x)eˣ = a
2. log x − 2x = a
3. e²ˣ − 6eˣ + 5 = a
4. (x + 1)e⁻ˣ = a
5. log x + x = a

練習問題の答えと解き方

1. f(x) = (3 − x)eˣは実数全体で連続かつ微分可能です。f′(x) = (2 − x)eˣよりx = 2で極大値e²を取り、左端で0に正の側から近づき、右端で-∞に向かいます。よってa > e²で0個、a = e²で1個、0 < a < e²で2個、a ≤ 0で1個です。境界a = 0の解x = 3を戻すと (3 − 3)e³ = 0です。

2. 定義域はx > 0です。g′(x) = 1/x − 2 = (1 − 2x)/xより、x = 1/2で極大値 -log 2 − 1を取ります。両端の極限は-∞です。したがってa > -log 2 − 1で0個、等しいとき1個、それより小さいとき2個です。等号でx = 1/2を元の式に入れると log(1/2) − 1 = -log 2 − 1です。

3. t = eˣ > 0と置けば t² − 6t + 5 = (t − 3)² − 4です。t = 3で最小値-4を取り、t → 0+で5に近づきます。よってa < -4で0個、a = -4で1個、-4 < a < 5で2個、a ≥ 5で1個です。a = 5ではt = 0または6ですが、正の条件によりt = 6だけです。x = log 6を戻すと36 − 36 + 5 = 5です。

4. f(x) = (x + 1)e⁻ˣは実数全体で連続かつ微分可能で、f′(x) = -xe⁻ˣです。x = 0で極大値1を取り、左端で-∞、右端で0に正の側から近づきます。したがってa > 1で0個、a = 1で1個、0 < a < 1で2個、a ≤ 0で1個です。a = 0ではx = -1が解で、元の左辺は0です。右端の極限0は別の解を与えません。

5. 定義域x > 0で、f′(x) = 1/x + 1 > 0です。連続で狭い意味で増加し、左端で-∞、右端で∞に向かうので、どの実数aでも1個です。例えばa = 1ではx = 1が解で、log 1 + 1 = 1と戻ります。単調性だけでなく両端の振る舞いも確認して、存在を示しています。

要点

定義域を決めてから定数分離します。 連続性と単調性で各枝の交点を数えます。 極値の接点は1回、漸近値は実際に取るか別に判定します。 置換では新しい文字の範囲と元の解との対応を確認します。

つまずいた箇所を見分ける

境界以外が合って境界だけ違うなら、極値の点と無限遠の極限を同じ印で表していないか確かめます。各枝の値域の端に、実際に取る値かどうかを書き添えると原因が見えます。個別に式を見直すときは、定義域、導関数の符号、端の極限、元の式への代入を順に問い直します。解の個数は、有限の実数が元の条件を満たす回数です。

計算が途中で止まった場合にも、判断の順番を切り分けられます。例えば導関数の符号が決まらなければ、その段階で交点数を断定せず、常に正の指数因子と符号が変わる因子を分けます。極限の値がまだ求まらない場合は、増減表の端を空欄のまま残し、境界の高さを確定する前に補います。概形を先に描いても、空欄を見た目で埋めてはいけません。

変形が複雑で定数分離がうまく進まない場合は、等式の両辺を文字aを含む部分と含まない部分に分け直します。ただし、文字を含む式で割ると、その式が0の場合を失うことがあります。割る前に0の場合を調べ、元の方程式へ戻すと、分類から漏れた場合がないか点検できます。置換が使える場合も、置換後の式の実数解がすべて元に戻るとは限りません。対応する範囲と1対1の関係を先に書いてから個数を数えます。

時間が足りず全範囲の表が完成しない場合でも、定義域と極値の高さ、各端の極限を先に記せば、残っている判断が明確です。境界に等しい場合はそれぞれ元の式に代入し、極値点なら1個か、極限値なら実際に取るかを調べます。表の一行を空けたまま推測で埋めるより、どの区間の存在が未確認かを示す方が、解答の検討につながります。

電卓や描画の結果が得られない場合も、数値の近似や画面上の交点に頼らずに進められます。導関数の符号による単調性、連続性による存在、端の極限による値域を順に使います。逆に画面に曲線が見える場合も、画面外で近づく様子や接点を読み違えることがあります。図は数え方を整理する道具とし、根拠は式と条件に戻して残します。

解が2個と判定されたとき、2個の具体的な値が初等的な式で書けるとは限りません。個数を問う問題では、それぞれの単調区間で存在と一意性が示されれば十分です。一方、解の値を求める指示があれば、個数だけでは答えになりません。求められているものを読み、個数の表と具体的な解の計算を区別します。