高校数学III 方程式の解の存在と一意性—連続性と単調性を別の根拠にして示す｜武蔵野個別指導塾

指数・対数方程式について、連続性と端点の異符号で解の存在を示し、定義域全体の厳密な単調性から一意性を導きます。

よくあるのは、理系高3の演習で、関数が単調だから方程式の解が必ず1つあると結論する場面です。グラフが一方向に進むことは、同じ高さを2回通らない根拠にはなります。しかし、求める高さに届くかどうかは別の問いです。解をはさむ2点を見つけ、その間を切れ目なく動くことも確かめましょう。

学習指導要領で扱う導関数と関数の増減を使い、ここでは方程式の実数解の存在と一意性を調べます。解の小数近似や、文字の値に応じた解の個数の詳しい分類には進みません。

解があることと、重ならないこと

問いの形は主に3つあります。第1は、指定された区間に解があることを示し、その区間の中で一意であることまで示す形です。区間の両端で関数値の符号を比べ、導関数で区間内の増減を調べます。

第2は、実数全体や正の範囲で解がただ1つと示す形です。解をはさむ小さな区間で存在を示しても、そこから外に別の解がないとは限りません。一意性を示す単調性は、問題が求める範囲全体で調べます。

第3は、解が存在しない条件や、条件不足を見分ける形です。符号が変わらない場合は中間値の定理による通常の挟み方が使えませんが、それだけで解がないとは決まりません。別の区間を探すか、増減や値域を調べ直します。

2つの根拠を分ける

方程式の両辺の差をf(x)と置くと、求めるのはf(x) = 0となる点です。関数fが閉区間[a, b]で連続で、f(a)とf(b)の符号が異なるとき、中間値の定理によりa < c < bを満たすあるcでf(c) = 0です。端点の値が0なら、その端点自体が解ですが、開区間の解を求める場合には端点を含められません。

一方、ある区間でfが厳密に増加するとは、任意の2点x₁ < x₂に対してf(x₁) < f(x₂)が成り立つことです。厳密に減少する場合は不等号が逆です。いずれも異なる2点で値が等しくならないので、f(x) = 0の解はその区間に高々1つです。区間の内側で微分可能で、そこでf′(x) > 0なら厳密に増加し、f′(x) < 0なら厳密に減少します。端点を含む区間では、その端点での連続性も確かめます。

図1のように、符号の違いと単調性は別々の矢印から結論へ進みます。存在は「少なくとも1つ」、一意性は「高々1つ」です。2つを合わせたときに初めて「ちょうど1つ」と言えます。

導関数が0となる点があっても、ただちに厳密な単調性が失われるわけではありません。例えばx³の導関数はx = 0で0ですが、xが増えればx³は厳密に増えます。逆に、単にf′(x) ≥ 0と書くだけでは、一定の区間を持つ可能性を排除できません。符号の区間ごとに増減を説明しましょう。

連続性の確認も省略しないでください。両端で符号が違っても途中に切れ目があれば、0を飛び越えることがあります。式に分母や対数があれば、閉区間全体が定義域に入っているかを先に調べます。

基本例題：指数関数と直線

方程式 eˣ + x = 2 は実数解をただ1つ持つことを示し、その解が0と1の間にあることを示してください。解の小数表示は不要です。

まず左辺から右辺を引きます。

f(x) = eˣ + x - 2
f(0) = 1 + 0 - 2 = -1
f(1) = e + 1 - 2 = e - 1 > 0

指数関数と一次式は実数全体で連続なので、fは閉区間[0, 1]で連続です。e > 1に注意すると両端の値は異符号です。中間値の定理により、0 < c < 1でf(c) = 0となるcが存在します。

図2のように、存在を示す区間は0から1までです。実数解がほかにないことを示すには、実数全体に目を戻します。

f′(x) = eˣ + 1
f′(x) > 0  （すべての実数x）

eˣは常に正なので、fは実数全体で厳密に増加します。したがって実数解は高々1つです。すでに(0, 1)に解があるので、実数解はちょうど1つです。f(c) = 0を元の式に戻せばeᶜ + c = 2となり、差を0とする条件が確かに元の方程式と一致します。

端点の符号を調べた後、導関数を0 < x < 1だけで確かめて終えると、区間外の解は除けません。逆に導関数だけで終えると、解の存在が未確認です。2つの確認範囲を答案に明記することが、短い証明の土台です。

標準例題：対数の定義域を守る

方程式 log x + x = 3が正の実数解をただ1つ持つことを示し、その解が1と3の間にあることを示してください。logは自然対数とします。

左辺と右辺の差を置く前に、真数条件からx > 0です。この範囲で次の関数を考えます。

f(x) = log x + x - 3
f(1) = 0 + 1 - 3 = -2
f(3) = log 3 + 3 - 3 = log 3 > 0

対数関数と一次式は正の範囲で連続です。閉区間[1, 3]はその範囲に含まれるため、fはこの閉区間で連続です。端点の値が異符号なので、中間値の定理により1 < c < 3でf(c) = 0となるcが存在します。

次に、定義域の全体で導関数を調べます。

f′(x) = 1/x + 1
f′(x) = (1 + x)/x
f′(x) > 0  （x > 0）

分母も分子も正なので、fは(0, ∞)で厳密に増加します。正の範囲の解は高々1つであり、先ほど存在を示したcが唯一の解です。f(c) = 0はlog c + c = 3と同値で、c > 0という元の真数条件も満たしています。

例えば0を左端に選んでf(0)を計算する方法は使えません。対数がそこで定義されないからです。正の範囲に収まる計算しやすい2点を選べば、端の極限を使わなくても存在を示せます。適当な2点で符号が変わらなかった場合は、その区間の外を調べ直します。

発展例題：途中で導関数が0になる場合

方程式 x³ + 3x² + 3x = 7が実数解をただ1つ持つことを示し、解を整数で求めてください。

差をf(x)と置き、実数全体での連続性と符号を確かめます。

f(x) = x³ + 3x² + 3x - 7
f(1) = 1 + 3 + 3 - 7 = 0

多項式は実数全体で連続です。今回は端点の異符号を探すまでもなく、x = 1を代入して解の存在を直接示せます。元の方程式でも左辺は1 + 3 + 3 = 7となります。

一意性について導関数を調べると、次のようになります。

f′(x) = 3x² + 6x + 3
f′(x) = 3(x + 1)²
f′(x) > 0  （x < -1 または x > -1）
f′(-1) = 0

x = -1で導関数が0なので、実数全体でf′(x) > 0とは書けません。しかしfは(-∞, -1]と[-1, ∞)のそれぞれで厳密に増加します。-1をはさんでx₁ < -1 < x₂なら、f(x₁) < f(-1) < f(x₂)です。端点が-1に等しい場合も同じく大小は厳密です。よって実数全体でfは厳密に増加し、解は高々1つです。

別の確認として、元の式の左辺に1を加えると(x + 1)³です。右辺にも1を加えると8なので、(x + 1)³ = 8からx = 1と求まります。直接変形で得た候補も、元の式に代入して成立を確かめます。導関数が0になる1点を見ただけで単調性の判定を中止せず、左右の区間をつなぐことが要点です。

誤答を直す：単調でも零に届くとは限らない

「eˣは実数全体で厳密に増加する。よってeˣ = 0は実数解をただ1つ持つ」という答案を考えます。前半は正しいものの、後半の存在が導かれません。eˣ > 0はすべての実数xで成り立つので、実際には解はありません。

図3のように、曲線は横軸へ近づいても有限のxで横軸に達しません。左側で値が0に近づくことと、0になる点があることは異なります。導関数eˣが正であることから言えるのは、解があるとしても高々1つということです。

直すには「eˣ > 0より解はない」とします。存在を主張したい別の問題なら、連続な閉区間を選び、両端で符号が異なることを示します。値が異符号でも、区間の途中で不連続なら中間値の定理は使えません。例えばx < 0で-1、x ≥ 0で1となる関数は、-1と1の間で符号を変えますが0になりません。切れ目の確認が必要な理由です。

また、端点が同符号なら解がないという判断も誤りです。例えば(x − 1)²は0と2で正ですが、間の1で0です。異符号は存在を保証する便利な条件であって、解があるための唯一の形ではありません。符号が変わらないときは、接する点や別の区間を調べます。

練習問題

次の5問は解の個数と指定範囲を示し、求められるものは指定の形で答えてください。logは自然対数です。

1. 方程式 eˣ + x = 4が実数解をただ1つ持ち、その解が1と2の間にあることを示してください。小数表示は不要です。
2. 方程式 log x + 2x = 4が正の実数解をただ1つ持ち、その解が1と2の間にあることを示してください。小数表示は不要です。
3. 方程式 x³ − 3x² + 3x = 9の実数解がただ1つであることを示し、解を整数で求めてください。
4. 方程式 eˣ + 2 = 0の実数解の個数を整数で答え、理由を示してください。
5. 関数g(x) = (x − 2)²について、閉区間[1, 3]の両端の値と、g(x) = 0の同区間における解を整数で求めてください。端点の符号が同じ場合について何が言えるかも答えてください。

練習問題の答えと道筋

1

f(x) = eˣ + x − 4と置きます。fは実数全体で連続かつ微分可能です。

f(1) = e - 3 < 0
f(2) = e² - 2 > 0
f′(x) = eˣ + 1 > 0

ここで2 < e < 3を使いました。よってf(2) > 0も成り立ちます。中間値の定理で(1, 2)に解が存在し、実数全体の厳密な増加から高々1つです。解cは元の式eᶜ + c = 4を満たします。挟んだ区間と一意性の範囲を区別して結論します。

2

真数条件はx > 0です。f(x) = log x + 2x − 4は正の範囲で連続かつ微分可能です。

f(1) = -2
f(2) = log 2 > 0
f′(x) = 1/x + 2 > 0  （x > 0）

閉区間[1, 2]で連続で端点値が異符号なので、(1, 2)に解が存在します。定義域全体で厳密に増加するため、正の実数解はそれ以外にありません。得られたcは正で、log c + 2c = 4を満たします。

3

左辺を変形すると、次のようになります。

x³ - 3x² + 3x = (x - 1)³ + 1
(x - 1)³ + 1 = 9
(x - 1)³ = 8
x - 1 = 2
x = 3

立方は実数全体で厳密に増加するので、同じ値8を与えるx − 1は高々1つです。x = 3を元の左辺に戻すと27 − 27 + 9 = 9です。したがって実数解は3のちょうど1つです。

4

eˣ > 0なのでeˣ + 2 > 2です。左辺は0にならず、実数解の個数は0です。左辺が厳密に増加するという事実も成り立ちますが、それだけでは解が存在するとは言えません。

5

g(1) = (1 - 2)² = 1
g(3) = (3 - 2)² = 1
(x - 2)² = 0
x = 2

2は[1, 3]に含まれ、元の式に戻すとg(2) = 0です。両端がともに正でも、その間に解がある場合があります。端点が異符号であることは存在を示す十分な条件であり、必要な条件ではありません。

手元に残す要点

連続な閉区間の端点で異符号なら、内部に解が存在します。 厳密な単調性は、その範囲に解が高々1つである根拠です。 存在を示す区間と、一意性を示す範囲を区別します。 定義域、端点、導関数が0となる点を落とさず調べます。

どこで止まったかを診断する

「単調だから1つ」と書いたら、まず存在を示す行に印を付けてみましょう。印が付かなければ、定義域に収まる2点を選び、連続性と符号を確認します。2点で異符号にならなければ、別の2点を探すか、直接代入や値域で存在を調べます。

「区間内に1つ」と示した後は、問題が実数全体を尋ねていないか読み直します。個別指導で答案を確かめるなら、f′の符号を書いた範囲と、方程式の定義域を指で追って比べると、区間外の見落としを発見できます。解の存在と一意性は、別の根拠をそろえて初めて結び付きます。