高校数学III 図形量の最適化—長さの制約を定義域へ戻して最大最小を決める｜武蔵野個別指導塾

長方形の面積、箱の体積、曲線上の点までの距離を一変数で表し、端点と実現条件から図形量の最適化に迫ります。

よくあるのは、理系高3の演習で、面積の式の解だけを見て元の長さの制約を忘れる場面です。計算で得た数が正しくても、その数では図形が作れなければ答えにはなりません。長さを文字で置いた瞬間に動ける範囲を書き、最後に図形へ戻す習慣をつけましょう。数学IIIで学ぶ導関数による増減を、図形の最大値や最小値を決める道具として使います。

図形から式へ移る3つの型

1つ目は、周の長さなどが決まった図形の面積です。横を決めると縦も決まるので、面積は横の長さの関数になります。辺の長さが正であることから、文字の範囲が決まります。

2つ目は、紙を切って作る箱の体積です。切り取る長さを大きくすれば高さは増えますが、底面は狭くなります。高さと底面の辺が同時に正になる範囲が必要です。切り取る長さが0の場合や、底面がつぶれる場合を含むかどうかは問題の言葉で決めます。

3つ目は、曲線上の点と定点の距離です。距離には平方根が現れますが、距離は負でないため、距離の2乗が最小になる点と距離が最小になる点は一致します。最後に平方根を取って距離へ戻します。ここでは図形を初等的な面積や体積で表し、積分による面積計算は扱いません。

変数の範囲が図形を守る

最適化では、実現可能な図形の中で、目的とする量が最大または最小となるものを探します。最大値とは、その範囲のどの値以上でもある実際に取られる値です。最小値も同様に、どの値以下でもある実際に取られる値です。近づくだけの値と、実際に取られる値を区別します。

例えば、長方形の横をx、縦をa − xとし、aを正の定数とします。長方形の両辺は正なので、0 < x < aです。面積はS = x(a − x)と表せます。図1のように、式を作る前に両辺の正の条件を範囲へ移します。両端では一辺が0になるので、通常の長方形としては採用しません。

図1のように、xの範囲は図形が成立する範囲です。式を全実数で微分して求めた候補は、この範囲と照合して初めて図形の候補になります。また、0やaに近づくと面積は0に近づきますが、両端を除くなら0は最小値ではありません。

連続な関数は閉区間で最大値と最小値を取ります。そのうえで、内点で微分可能な関数の最大値や最小値が内点で取られるなら、そこで導関数は0です。実際には導関数の符号から増減を調べ、許される端点があればその値も比べます。開区間では端の極限だけで最大値や最小値の存在を決めず、値が実際に取られるかを確認します。

基本例題：辺の和が決まった長方形

周の長さが20 cmの長方形について、面積の最大値を整数で求め、そのときの縦と横の長さを整数で答えてください。

横をx cm、縦をy cmとすると、周の条件と辺の正の条件から次を得ます。

2x + 2y = 20
y = 10 - x
x > 0, 10 - x > 0
0 < x < 10

面積をS cm²とします。Sはこの範囲で連続かつ微分可能です。

S = x(10 - x)
S = 10x - x²
S′ = 10 - 2x
S′ = 0 のとき x = 5

0 < x < 5ではS′ > 0、5 < x < 10ではS′ < 0です。したがってSはx = 5まで増加し、その後減少します。x = 5は定義域内なので、そこで最大値を取ります。

y = 10 - 5 = 5
S = 5・5 = 25

最大面積は25 cm²、そのとき両辺は5 cmです。図2のように正方形が実際に作れ、周は2・5 + 2・5 = 20 cmに戻ります。増減によって範囲全体を比較しているため、導関数が0という事実だけで最大と決めてはいません。

図2のように、周の条件を満たす辺の組へ答えを戻すと、面積と制約の両方を検算できます。なお、xを0に近づけると面積は0に近づきますが、正の辺を持つ長方形の面積は0より大きいので最小値はありません。

標準例題：紙から作る箱

縦18 cm、横24 cmの長方形の紙の四隅から、一辺x cmの正方形を切り取り、残りを折ってふたのない直方体の箱を作ります。体積の最大値を根号を含む正確な式で求め、そのときのxも同じ形で答えてください。紙の厚さは考えません。

高さはx cm、底面の辺は18 − 2x cmと24 − 2x cmです。3つとも正でなければ箱にならないので、0 < x < 9です。体積をV cm³とすると、次のようになります。

V = x(18 - 2x)(24 - 2x)
V = 4x(9 - x)(12 - x)
V = 4x³ - 84x² + 432x
V′ = 12x² - 168x + 432
V′ = 12(x² - 14x + 36)
V′ = 12((x - 7)² - 13)

Vは0 < x < 9で微分可能です。V′ = 0の解は7 − √13と7 + √13です。7 − √13は0と9の間にありますが、7 + √13は9より大きく、底面の短い辺が正になりません。後者は箱の候補から除きます。

区間内では、V′は7 − √13より左で正、右で負です。よってVはそこで最大になります。t = √13と置いて元の寸法へ戻すと、

x = 7 - t
18 - 2x = 4 + 2t
24 - 2x = 10 + 2t
V = (7 - t)(4 + 2t)(10 + 2t)
V = (7 - t)(40 + 28t + 4t²)
V = 280 + 156t - 4t³
V = 280 + 104t

最大体積は280 + 104√13 cm³、切り取る長さは7 − √13 cmです。元の紙では、底の短辺に切り取った2辺を足すと(4 + 2√13) + 2(7 − √13) = 18、長辺でも(10 + 2√13) + 2(7 − √13) = 24です。両方とも正で、元の寸法に戻ります。積の形と展開後の値が一致するかを確かめると、計算の途中で生じた誤りも見つけられます。切り取った正方形の一辺は高さに等しく、底面の辺から引く長さは両端の2枚分です。

発展例題：曲線上の点までの距離

放物線y = x²上の点Pのうち、点A(0, 3)からの距離が最小となる点をすべて求め、その最小距離を根号を含む正確な式で答えてください。

Pを(t, t²)と置きます。tは任意の実数で、Pは必ず放物線上にあります。距離をdとすると、三平方の定理から、

d² = t² + (t² - 3)²
d² = t⁴ - 5t² + 9
F(t) = t⁴ - 5t² + 9
F′(t) = 4t³ - 10t
F′(t) = 2t(2t² - 5)

Fは全実数で連続かつ微分可能です。導関数の零点は-√10/2、0、√10/2です。それぞれの間の符号は順に負、正、負、正です。したがって左右の2点で極小となり、0では極大となります。さらに外側の区間では左から右へそれぞれ減少、増加するので、2つの極小値を比べれば全実数での最小値が決まります。

t² = 5/2
F(t) = (5/2)² - 5・(5/2) + 9
F(t) = 25/4 - 50/4 + 36/4
F(t) = 11/4
d = √11/2

求める点は(√10/2, 5/2)と(-√10/2, 5/2)、最小距離は√11/2です。両点とも横座標の2乗が5/2なので放物線上にあります。Aとの差は横方向に±√10/2、縦方向に-1/2で、距離の2乗は10/4 + 1/4 = 11/4です。距離は非負なので、2乗の比較から元の距離の比較へ戻せます。対称な2点を1点に減らさないことも必要です。

誤答を直す：端の値は実現するか

基本例題で「S = x(10 − x)はx = 0のとき0だから、最小面積は0」とする答案を考えます。式に0を代入した計算自体は正しいものの、x = 0では横の辺がなく、長方形の条件を満たしません。図3のように、端に近づける操作と端を取る操作は異なります。

図3のように、xは0にいくらでも近づけますが、0そのものにはなれません。実際、どの長方形でもS > 0です。また、どんな正の数εに対しても、0 < x < min(10, ε/10)とすればS = x(10 − x) < 10x < εです。よって正の最小値も存在せず、正しい結論は「最小値はない」です。

反対に、問題がつぶれた図形を許すと明記して0 ≤ x ≤ 10とした場合は、両端で面積0を取ります。式は同じでも、許す図形が変われば答えが変わります。先に範囲を確認すると、この違いを計算前に見通せます。

箱の問題では、導関数のもう一方の零点が正であっても採用できません。正という条件は高さにしか対応せず、底面の各辺が正である条件まで満たす必要があるからです。距離の問題では、候補が2点あることと、距離の値が1種類であることを分けて記録します。求められたものが点なのか数値なのかを読み直せば、対称な点の書き落としを防げます。

練習問題

次の5問では長さの単位をcmとし、答えは整数、分数または根号を用いた正確な式で示してください。図形の辺は正とします。

1. 周の長さが28の長方形の面積の最大値と、そのときの辺の長さを求めてください。
2. 縦12、横20の長方形の紙の四隅から一辺xの正方形を切り取ってふたのない箱を作ります。体積の最大値と、そのときのxを求めてください。
3. 放物線y = x²上の点と点(0, 1)との距離の最小値と、それを与える点をすべて求めてください。
4. 長さがそれぞれ6、8の2辺の間の角をθとする三角形の面積の最大値と、そのときのθを求めてください。ただし0 < θ < πとします。
5. 横と縦の和が8である長方形の対角線の長さの最小値と、そのときの辺の長さを求めてください。

練習問題の答えと道筋

1. 横をxとすると縦は14 − x、範囲は0 < x < 14です。面積S = x(14 − x)についてS′ = 14 − 2xなので、x = 7の前で増加し後で減少します。最大値は49 cm²、辺はともに7 cmです。周は2・7 + 2・7 = 28 cmに戻ります。端では辺が0になり、長方形にはなりません。

2. 底面の辺は12 − 2x、20 − 2x、高さはxなので0 < x < 6です。体積V = 4x(6 − x)(10 − x)はこの範囲で微分可能で、V′ = 12x² − 128x + 240 = 4(3x² − 32x + 60)です。零点は(16 ± 2√19)/3で、範囲内にあるのは(16 − 2√19)/3です。導関数はその前で正、後で負です。これをaとすると最大体積は4a(6 − a)(10 − a) cm³です。底面の辺にそれぞれ2aを足すと12、20となり、高さaも正です。もう一方の零点は6より大きく、箱を作れません。

3. 点を(t, t²)と置くと距離の2乗はF = t² + (t² − 1)² = t⁴ − t² + 1です。F′ = 2t(2t² − 1)の符号は零点-√2/2、0、√2/2で順に負、正、負、正と変わります。最小値はF = 3/4なので、距離の最小値は√3/2 cmです。点は(±√2/2, 1/2)の2点です。横座標の2乗は1/2で、元の放物線上にあります。定点との差の2乗の和も1/2 + 1/4 = 3/4です。

4. 面積はS = 24 sin θです。S′ = 24 cos θで、0 < θ < π/2では正、π/2 < θ < πでは負です。最大値は24 cm²、角はπ/2です。2辺が直角に交わる三角形が実現し、その面積は6・8/2 = 24 cm²です。端の角0、πでは三角形がつぶれるので含めません。

5. 横をx、縦を8 − xとすると0 < x < 8です。対角線の2乗をDとすればD = x² + (8 − x)²、D′ = 4x − 16です。Dはx = 4まで減少し、その後増加します。辺はともに4 cmで、対角線の最小値は√(16 + 16) = 4√2 cmです。辺の和は4 + 4 = 8 cmで、条件を満たします。

要点

図形が成立する条件を文字の範囲に直します。 目的の量を1変数で表し、増減と端を調べます。 候補を元の長さに戻し、値が実際に取られるか確かめます。 距離は非負なので、2乗の最小化を利用できます。

どこで止まったかを見分ける

式が作れないときは、変数を1つ決めた後に残る長さを図に書き込み、与えられた周や辺の和に戻してみます。微分後に候補が複数あるときは、各候補で辺が正かを個別に確かめます。個別指導では、端点を含めた理由と、導関数の符号が変わる区間を答案の横に書いて説明できるかを確かめます。答えの数値だけでなく、その図形が実際に作れることまで示せれば、図形量の最適化は筋道を持って完成します。