高校数学III 変曲点の判定—第二次導関数の零点から凹凸の変化を確かめる｜武蔵野個別指導塾

第二次導関数の符号表と定義域を照らし、零点から座標へ進む際の焦点は変曲点です。

よくあるのは、理系高3の演習で第二次導関数が0になった点を、左右を調べないまますべて変曲点にする場面です。計算した数が正しくても、そこで曲線の曲がり方が切り替わらなければ結論は変わります。さらに、横座標を求めただけでは曲線上の点の答えにはなりません。候補を見つける作業と、候補を採用する判定を分けて進めましょう。

学習指導要領では、導関数を用いた関数の凹凸とグラフの概形を扱います。ここではそのうち変曲点の判定に焦点を当て、概形全体の詳しい作図には立ち入りません。

どこで判定が分かれるか

出方の1つは、第二次導関数を因数分解できる問題です。零点を並べたら、各区間の符号を比べます。因数が2乗で現れると、そこを通過しても符号が変わらない場合があります。計算の終点を方程式の解にせず、左右の区間まで延ばすことが必要です。

もう1つは、分数や対数を含み、定義域に切れ目がある問題です。分母を0にする数や対数の真数を0以下にする数は、曲線上の点になりません。左右で符号が違って見えても、曲線に含まれない場所を変曲点として数えないようにします。式を整理するときも、元の定義域を先に控えます。

さらに、文字の値によって零点が重なる問題があります。異なる候補が重なった境界では、重なった因数の符号変化を改めて調べます。一般の場合の表を境界にそのまま当てはめると、存在しない変曲点を残すことがあります。

凹凸の切り替わりを読む

曲線 y = f(x) がある点を境に上に凸から下に凸へ、または下に凸から上に凸へ変わるとき、その境目の曲線上の点を変曲点といいます。ここで下に凸は、弦が曲線の上側にくる向き、上に凸はその逆の向きです。図の形を想像するときは、谷型が下に凸、山型が上に凸です。

区間内で f が2回微分可能で、f″(x) > 0 ならその区間で下に凸、f″(x) < 0 なら上に凸です。したがって、候補の左右それぞれでこの条件を確認し、符号が変わるときに凹凸の変化を判定できます。候補の点自体が曲線上にあり、その近くで曲線がつながっていることも確認します。

図1のように、負から正への変化は上に凸から下に凸への変化に対応します。反対に正から負なら向きは逆です。符号が正から正、または負から負のままであれば、この符号表から凹凸の切り替わりは生じません。零点そのものの欄に0を書くことと、その左右に異なる符号を書くことは別の操作です。

f″(a) = 0 は、aが定義域内の候補であることを示しますが、それだけでは十分ではありません。逆に、第二次導関数がその点で存在しなくても、曲線がつながり左右の凹凸が変わることはありえます。したがって「零点を全部探したから必ず候補は尽くした」とは言わず、定義域内で f″ が存在しない点も問題の関数に応じて調べます。

解答の順番は、定義域、f″ の式、零点と存在しない点、各区間の符号、元の関数への代入です。最後に (a, f(a)) の形にします。導関数に代入して縦座標を出すのではなく、もとの曲線の高さに戻すことが要点です。

基本例題：因数の符号から判定する

関数 f(x) = x⁵ − 5x⁴ + 10x³ について、変曲点をすべて求め、座標を整数で答えてください。

多項式なので定義域は実数全体で、各点で2回微分可能です。順に微分し、第二次導関数を因数分解します。

f′(x) = 5x⁴ - 20x³ + 30x²
f″(x) = 20x³ - 60x² + 60x
       = 20x(x² - 3x + 3)

ここで x² − 3x + 3 = (x − 3/2)² + 3/4 > 0 です。よって f″ の符号は x の符号と一致します。零点は x = 0 で、その左で負、右で正です。曲線は連続で、上に凸から下に凸へ変わります。

f(0) = 0
変曲点 (0, 0)

図2のように、符号表の左右を比べてから元の式に戻ります。二次式に実数の零点がない理由を平方完成で示したため、他の候補を見落としていないことも確認できます。なお、f′(0) = 0 ですが、それは接線の傾きについての情報です。変曲点の判定には f″ の符号を使います。

たとえば f″ = 0 の解を出す前に、二次式の判別式が負だと確認しても同じ結論です。その際、先頭係数が正であることまで述べれば、二次式が常に正である理由が明確になります。候補の数と区間の数を対応させると、表に空欄が残りにくくなります。

標準例題：定義域の切れ目を除く

関数 f(x) = x² + 2/x（x ≠ 0）の変曲点を、座標を整数または根号を含む正確な式で求めてください。

元の式から x = 0 は定義域に入りません。定義域の各区間で2回微分可能なので、次の計算をそれぞれの区間で使えます。

f′(x) = 2x - 2/x²
f″(x) = 2 + 4/x³
       = 2(x³ + 2)/x³

f″(x) = 0 は x³ + 2 = 0 です。実数の立方根を用いて a = -∛2 と置くと、候補は x = a です。a < 0 なので、符号を調べる区間は x < a、a < x < 0、0 < x の3つです。x³は実数全体で増加するので、x³ + 2 は a の左で負、右で正です。一方、x³ は負の範囲で負、正の範囲で正です。

x < a       : f″(x) > 0
 a < x < 0  : f″(x) < 0
0 < x       : f″(x) > 0

x = a では正から負へ変わり、曲線もその点を含むので変曲点です。x = 0 を挟んでも符号は異なりますが、元の関数はそこで定義されません。曲線上の点がないため、0は変曲点ではありません。

縦座標は a³ = -2 を利用します。

f(a) = a² + 2/a
     = a² - a²
     = 0

したがって答えは (-∛2, 0) です。戻して確かめると、a³ = -2 から 2/a = -a² となり、元の式の値は確かに0です。分母の符号を落とすと a と0の間を誤判定するので、分子と分母を別々に見てから合わせます。

発展例題：重なった候補を調べ直す

実数 t に対し、f(x) = x⁴ − 4tx³ + 6t²x² + x とします。tの値によって変曲点を分類し、座標を t を用いた正確な式で答えてください。

任意の t について多項式であり、実数全体で2回微分可能です。まず微分して、候補の重なり方を見ます。

f′(x) = 4x³ - 12tx² + 12t²x + 1
f″(x) = 12x² - 24tx + 12t²
       = 12(x - t)²

候補は x = t です。しかし x ≠ t では常に f″(x) > 0 で、左右とも下に凸です。tが正、負、0のいずれでも同じ理由が成り立ちます。したがって、どの実数 t に対しても変曲点はありません。

ここでは候補が1つ見つかっても座標の代入には進みません。実際には f(t) = 3t⁴ + t ですが、点 (t, 3t⁴ + t) は凹凸の切り替わりを伴わないため答えになりません。この値を元の式から出すと t⁴ − 4t⁴ + 6t⁴ + t です。候補の座標と求める点を区別すると、計算結果をそのまま解答欄に写す誤りを防げます。

同じ因数が2回現れると、x − t 自体の符号は左右で変わりますが、その2乗は正のままです。因数分解後に各因数の符号を追うとき、重複した因数を1回しか数えない方法は使えません。重なりのある方程式では、解の個数と符号変化の個数も同じとは限りません。

誤答を直す：零点と変曲点を同一視しない

g(x) = (x − 1)⁴ とします。実数全体で2回微分可能で、g″(x) = 12(x − 1)² です。次の答えはどこが間違っているでしょうか。

「g″(1) = 0 だから、変曲点は (1, 0) です。」

図3のように、x = 1 の左右で g″ はともに正です。点 (1, 0) は曲線上にありますが、左右とも下に凸なので変曲点ではありません。零点であることと点が存在することは満たしていますが、凹凸の変化という条件が欠けています。

修正するときは、まず候補の両側に区間を作ります。次に各区間で因数が正か負かを判断し、同じ符号なら変曲点から除外します。図の見た目が平らに見えることも、符号変化の代わりにはなりません。逆に、候補が定義域外なら左右の符号が違っていても点を作れないため除外します。失敗の理由を「符号が同じ」と「元の点がない」に分けると、次の問題で修正する位置が明確になります。

練習問題

次の各問では、変曲点をすべて求め、座標は整数、分数または指定された正確な式で答えてください。存在しない場合はその旨を答えてください。

1. f(x) = x³ − 6x² + 4x + 1。
2. f(x) = x⁴ + 2x² − 3。
3. f(x) = x³ + 3/x（x ≠ 0）。定義域の各区間で凹凸を調べ、変曲点の有無を答えてください。
4. f(x) = x⁵ − 10x³。根号を含む式で答える。
5. f(x) = x − 4 ln x（x > 0）。

練習問題の答えと考え方

1

多項式は実数全体で2回微分可能です。

f′(x) = 3x² - 12x + 4
f″(x) = 6x - 12
       = 6(x - 2)

x = 2 の左で負、右で正なので、そこで凹凸が変わります。元の式へ代入すると f(2) = 8 − 24 + 8 + 1 = -7 です。答えは (2, -7) です。座標を元の式に戻すと縦座標は確かに -7 で、他に第二次導関数の零点はありません。

2

実数全体で2回微分可能です。

f′(x) = 4x³ + 4x
f″(x) = 12x² + 4

任意の実数 x で f″(x) > 0 です。全域で下に凸なので変曲点はありません。x = 0 で f′(0) = 0 となっても、これは傾きの情報です。f″(0) = 4 であることを元の導関数に戻して確認すると、零点として誤採用せずに済みます。

3

x ≠ 0 の各区間で2回微分可能です。

f′(x) = 3x² - 3/x²
f″(x) = 6x + 6/x³
       = 6(x⁴ + 1)/x³

x⁴ + 1 は常に正です。したがって f″ は x < 0 で負、x > 0 で正ですが、0は定義域外です。各区間内に符号変化はなく、変曲点はありません。分子の方程式 x⁴ + 1 = 0 に実数解はないため、立方根を使う候補も生じません。0を元の式へ戻すと分母が0になり、点として採れないことが確かめられます。

4

実数全体で2回微分可能です。

f′(x) = 5x⁴ - 30x²
f″(x) = 20x³ - 60x
       = 20x(x² - 3)

候補を -√3、0、√3 の順に並べます。左から順に f″ の符号は負、正、負、正です。3か所とも符号が変わります。

f(-√3) = 21√3
f(0) = 0
f(√3) = -21√3

答えは (-√3, 21√3)、(0, 0)、(√3, -21√3) です。例えば x = √3 では x³ = 3√3、x⁵ = 9√3 ですから、元の式は 9√3 − 30√3 = -21√3 となります。負の候補でも符号を戻して同様に確かめられます。

5

定義域は x > 0 で、その中では2回微分可能です。

f′(x) = 1 - 4/x
f″(x) = 4/x²

定義域全体で f″(x) > 0 なので変曲点はありません。x = 0 は分母を0にしますが、対数の真数条件から元の曲線にも属しません。f′(4) = 0 でも f″(4) = 1/4 > 0 で、変曲点を意味しないことを確認できます。

候補の点で第二次導関数が存在しない場合にも、慌てて除外しないことが必要です。点の左右でそれぞれ第二次導関数が存在し、符号が反対なら、元の関数がその点を含み連続であることを確かめて凹凸の変化を調べます。左右を結ぶ点がない場合とは、そこで判断が分かれます。

判定の控え

• 定義域と微分可能な範囲を先に調べます。
• f″ の零点と、定義域内で f″ が存在しない点を候補にします。
• 候補の左右の符号で凹凸の変化を判定します。
• 採用した横座標を元の関数に代入して点を答えます。

つまずいた位置を見つける

零点を正しく出せたのに誤答した場合は、各候補の直前と直後の符号を紙に書き出してみます。符号が同じなら、因数の偶数乗を見落としていないかを調べます。左右の符号は異なるのに点を答えられない場合は、その横座標を元の式に代入できるかを先に問い直します。

個別指導で確かめるなら、解答の「f″ = 0」の行から次の行までを説明してもらうと、候補から結論への飛躍を見つけやすくなります。座標だけ違う場合は、f″ ではなく f に戻したかを確認します。変曲点は、曲線上で凹凸が切り替わる場所として最後まで扱います。