武蔵野個別指導塾の特徴

高校数学III 導関数の定義—一点の値と関数としての導関数を区別して求める｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学III 微分法を掘り下げる

固定したaでの数値と変数xを含む導関数を区別し、分数関数の差商を通分して除外点を残す手順を確かめます。

よくあるのは、演習ノートで固定した a と変数 x を混ぜる場面です。ある点の微分係数を求めた後、その値をそのまま導関数と書いてしまうと、別の点での変化率を表せません。反対に、導関数の式を求めても、指定された点を代入する前に数値として答えることはできません。分数関数を題材に、差商の分母が消える理由と、除外する点の扱いを確かめます。

要点（結論から）

微分係数は固定点における差商の極限です。
導関数は微分可能な各点に微分係数を対応させる関数です。
差商では h≠0 とし、約分後に h→0 とします。

問いの形で見る違い

1つ目は、関数と入力 a が与えられ、f′(a) を求める問いです。a は計算中に固定し、増分 h を 0 に近づけます。答えは、その a に対応する1つの数です。a が文字で指定されても、条件を満たす固定点の値を a の式で表していることに変わりません。

2つ目は、関数 f の導関数 f′(x) を求める問いです。定義域内の任意の x を基点にして同じ操作を行います。x ごとに得られる値を対応させたものが導関数です。分母が 0 になる入力は、元の関数が定義されないので、導関数の入力にもできません。

3つ目は、導関数を求めた後で、指定された点の微分係数を求める問いです。まず一般の x で式を作り、次に指定された点を代入します。固定点を使った直接計算とも照合すると、変数と数値の役割を確認できます。

差商から入力と出力を作る

実数 a のある開区間で f が定義されているとします。h≠0 とし、a+h もその区間にあるとき、差商は次の式です。

(f(a+h) - f(a))/h

h を 0 に近づけたとき、この差商が有限の値に収束すれば、f は a で微分可能であり、その極限を a における微分係数 f′(a) といいます。h は近づける量であり、差商を作る段階では 0 にしません。極限の前に h=0 とすると分母が 0 になり、差商そのものが定義されないためです。

微分可能な各入力 x に対して、その点の微分係数を対応させた関数が導関数 f′ です。基点を x と書けば、その定義は次のようになります。

f′(x) = lim[h→0] (f(x+h) - f(x))/h

ここで極限を取る間は x を固定し、h を動かします。極限を求めた後には、条件を満たす x を動かして得られた式を関数として読みます。同じ文字 x が「1回の極限では固定」「得られた関数では入力」という2つの役割を持つ点が要です。図1のように、先に点を選ぶか、一般の入力のまま式を得てから点を選ぶかで、書き方が変わります。

図1の2つの道は、同じ点で微分可能なら同じ値に着きます。ただし、f′(a) と f′(x) は同じ種類の対象ではありません。前者は入力 a に対する値、後者は入力 x によって変わる式です。たとえば導関数が定数になる場合にも、定数を返す関数と、その出力である数は区別します。

分数関数では、基点と増分後の点の両方で元の式が定義される必要があります。固定した基点の分母が 0 でなければ、十分小さい h について増分後の分母も 0 になりません。この範囲で通分し、h を約分してから極限を取れます。約分した式が除外点でも計算できるように見えても、元の関数がない点に導関数を付け足してはいけません。

基本例題：一般の入力から一点へ

f(x) = 1/(x+2) とします。定義により導関数を求め、さらに f′(1) を分数で求めてください。

元の関数の定義域は x≠-2 です。まず任意の x≠-2 を固定します。h≠0 で、x+h≠-2 となる十分小さい h を使います。差を通分すると、次のようになります。

(f(x+h) - f(x))/h
= (1/(x+h+2) - 1/(x+2))/h
= ((x+2) - (x+h+2))/(h(x+h+2)(x+2))
= -h/(h(x+h+2)(x+2))
= -1/((x+h+2)(x+2))

約分は h≠0 によって正当化されます。x+2≠0 なので、h→0 とすると分母は 0 でない値 (x+2)² に近づきます。したがって、定義により次を得ます。

f′(x) = -1/(x+2)²  （x≠-2）
f′(1) = -1/(1+2)²
= -1/9

図2のように、導関数へ 1 を入力して -1/9 を得ます。元の関数の値は f(1)=1/3 であり、導関数の値とは別物です。両方とも同じ入力を受け取りますが、一方は関数値、もう一方はその点での変化率です。

固定点からも同じ結果を確認します。f(1+h)=1/(3+h)、f(1)=1/3 なので、h≠0 かつ 3+h≠0 のもとで差商は -1/(3(3+h)) です。h→0 の極限は -1/9 となり、導関数への代入と一致します。指定された 1 は定義域にあり、元の式にも戻せました。

標準例題：分子にも変数がある場合

g(x) = (2x+1)/(x-3) について、定義から g′(x) を求め、g′(-1) を分数で答えてください。

定義域は x≠3 です。x≠3 を固定し、h≠0、x+h≠3 として差商を作ります。分子を展開する前に、引く順序が見えるよう括弧を付けます。

(g(x+h) - g(x))/h
= ((2x+2h+1)/(x+h-3) - (2x+1)/(x-3))/h
= ((2x+2h+1)(x-3) - (2x+1)(x+h-3))/(h(x+h-3)(x-3))
= ((2x+1)(x-3) + 2h(x-3) - (2x+1)(x-3) - h(2x+1))/(h(x+h-3)(x-3))
= (2h(x-3) - h(2x+1))/(h(x+h-3)(x-3))
= -7h/(h(x+h-3)(x-3))
= -7/((x+h-3)(x-3))

分母は h→0 で (x-3)² に近づき、x≠3 なので 0 ではありません。よって次の結果です。

g′(x) = -7/(x-3)²  （x≠3）
g′(-1) = -7/(-4)²
= -7/16

元の式に戻すと g(-1)=1/4 です。直接の差商も (g(-1+h)-g(-1))/h = -7/(4(4-h)) となり、その極限は -7/16 です。入力 -1 と増分後の点に対する分母の条件を置いた上で、2通りの値が一致します。通分した分子の符号を逆にすると正の値になってしまうので、後ろの分数を引く括弧を最後まで残すと検査しやすくなります。

発展例題：定数がある式を固定点で読む

実数定数 p, q, r, s について、F(x) = (px+q)/(rx+s) とします。ps-qr≠0 とし、rx+s≠0 の範囲で F′(x) を定義から求めてください。また、ra+s≠0 のとき F′(a) を示してください。答えは定数を含む分数で表します。

x を rx+s≠0 を満たす任意の値に固定します。h≠0 とし、r(x+h)+s≠0 となる十分小さい h を取ります。r=0 の場合も、rx+s=s≠0 ですから、この条件で計算できます。

(F(x+h) - F(x))/h
= ((p(x+h)+q)/(r(x+h)+s) - (px+q)/(rx+s))/h
= ((px+ph+q)(rx+s) - (px+q)(rx+rh+s))/(h(r(x+h)+s)(rx+s))
= (ph(rx+s) - rh(px+q))/(h(r(x+h)+s)(rx+s))
= h(ps-qr)/(h(r(x+h)+s)(rx+s))
= (ps-qr)/((r(x+h)+s)(rx+s))

rx+s≠0 により、極限の分母は 0 ではありません。したがって導関数と、その a における値は次のように求まります。

F′(x) = (ps-qr)/(rx+s)²  （rx+s≠0）
F′(a) = (ps-qr)/(ra+s)²

a は条件を満たす任意の固定点です。最初から x を a に置き換えて差商を作っても、同じ分子 ps-qr と分母 (ra+s)² が得られます。具体的に p=1、q=2、r=1、s=4、a=0 とすれば、元の値 F(0)=1/2、導関数の値 F′(0)=1/8 です。差商は 2/(4(4+h)) となり、極限は確かに 1/8 です。

なお、ps-qr=0 の場合をこの問題の結論に勝手に含めないようにします。その場合も定義域内で同じ差商の計算は成立し、導関数は 0 です。ただし元の分母が 0 の点は、約分後の形が定数に見えても元の関数の定義域には入りません。条件を外しても成立する部分と、入力から外す点を分けて読むと、式の見かけに引きずられません。

誤答を直す：基点を途中で動かさない

基本例題の f(x)=1/(x+2) で f′(1)=-1/9 を得た後、f′(x)=-1/9 と書く誤りを考えます。これは x=1 での出力を、すべての入力に共通する式と取り違えたものです。図3のように、x=0 での値と比較すると違いが明らかです。

実際には f′(0)=-1/4 です。元の関数でも f(0)=1/2、f(h)=1/(h+2) ですから、その差商は -1/(2(h+2)) となり、極限は -1/4 です。-1/9 を返す式は x=1 の値には合っていても、x=0 の定義から得られた値に合いません。直すには、基点を一般の x とした差商から f′(x)=-1/(x+2)² を求め、必要な点を最後に代入します。

別の誤りは、差商に h=0 を直接代入することです。分子も分母も 0 となり、その商は数として定義されません。h≠0 の範囲で通分・約分し、残った式の極限を調べます。また、x=-2 を導関数の式に代入しようとしたら、まず元の f(-2) が存在しないことを確認します。計算を進める前に基点と増分後の分母を点検することが、どちらの誤りにも効きます。

練習：まず自分で差商を立てる

次の5問は、いずれも導関数を定義から求めてください。指定された値は分数または整数で答え、元の関数と導関数の定義域も示してください。

u(x)=1/(x-5) の導関数と u′(2) を求めてください。
v(x)=3/(x+1) の導関数と v′(0) を求めてください。
w(x)=(x+4)/(x+2) の導関数と w′(1) を求めてください。
z(x)=(3x-2)/(x+1) の導関数と z′(-2) を求めてください。
t(x)=(2x+3)/(2x-1) の導関数と t′(1) を求めてください。

解答と途中の確認

x≠5 を固定し、h≠0、x+h≠5 とします。

(u(x+h)-u(x))/h
= ((x-5)-(x+h-5))/(h(x+h-5)(x-5))
= -1/((x+h-5)(x-5))
u′(x) = -1/(x-5)²
u′(2) = -1/9

元の関数と導関数の定義域はともに x≠5 です。元の式で u(2)=-1/3、u(2+h)=1/(h-3) なので、直接の差商も -1/(3(3-h)) となり、極限は -1/9 です。

x≠-1 を固定し、増分後の分母も 0 でない範囲で計算します。

(v(x+h)-v(x))/h
= 3((x+1)-(x+h+1))/(h(x+h+1)(x+1))
= -3/((x+h+1)(x+1))
v′(x) = -3/(x+1)²
v′(0) = -3

両方の定義域は x≠-1 です。v(0)=3、v(h)=3/(h+1) と元の式へ戻すと、差商は -3/(h+1) であり、極限は -3 です。

x≠-2、h≠0、x+h≠-2 とします。通分した分子を引く順に展開します。

(w(x+h)-w(x))/h
= ((x+h+4)(x+2)-(x+4)(x+h+2))/(h(x+h+2)(x+2))
= (h(x+2)-h(x+4))/(h(x+h+2)(x+2))
= -2/((x+h+2)(x+2))
w′(x) = -2/(x+2)²
w′(1) = -2/9

両方の定義域は x≠-2 です。元の式では w(1)=5/3、w(1+h)=(h+5)/(h+3) です。直接の差商 -2/(3(h+3)) の極限も -2/9 です。

x≠-1 とし、増分後も分母が 0 でない範囲を取ります。

(z(x+h)-z(x))/h
= ((3x+3h-2)(x+1)-(3x-2)(x+h+1))/(h(x+h+1)(x+1))
= (3h(x+1)-h(3x-2))/(h(x+h+1)(x+1))
= 5/((x+h+1)(x+1))
z′(x) = 5/(x+1)²
z′(-2) = 5

両方の定義域は x≠-1 です。z(-2)=8、z(-2+h)=(3h-8)/(h-1) であり、直接の差商は 5/(1-h) です。その極限も 5 となります。

x≠1/2 を固定し、h≠0、2(x+h)-1≠0 とします。

(t(x+h)-t(x))/h
= ((2x+2h+3)(2x-1)-(2x+3)(2x+2h-1))/(h(2x+2h-1)(2x-1))
= (2h(2x-1)-2h(2x+3))/(h(2x+2h-1)(2x-1))
= -8/((2x+2h-1)(2x-1))
t′(x) = -8/(2x-1)²
t′(1) = -8

両方の定義域は x≠1/2 です。t(1)=5、t(1+h)=(5+2h)/(1+2h) なので、差商は -8/(1+2h) です。元の入力で確認しても極限は -8 です。