高校数学III 無限等比級数の文字条件—収束範囲を確定してから和の方程式を解く｜武蔵野個別指導塾

初項0と公比の境界を部分和で確認し、和の方程式の候補を収束範囲へ戻して、文字条件の抜けを防ぎます。

よくあるのは、理系の高3が演習ノートで無限等比級数の和を表す式を解き、得られた文字の値をそのまま答えにする場面です。式の計算が正しくても、その値で級数が収束しなければ、求めた数を和とは呼べません。逆に、公比の条件から外れていても初項が0なら、各項が0になる例外があります。まず有限個の和を見て、公式が使える範囲と例外を分けましょう。

学習指導要領の数学IIIの極限には、数列の極限と無限級数の収束・発散と和が含まれます。ここでは文字を含む等比級数を、部分和の極限から調べます。

どの条件から手を付けるか

出方の1つは、文字を含む公比を見て、級数が収束する文字の範囲を求める問題です。公比の絶対値が1より小さい範囲を不等式で解いたら、両端の公比が1と-1になる場合を、部分和に戻して確認します。端点は図の線を引くための飾りではなく、収束するかどうかの判定対象です。

2つ目は、和が指定された数になる文字を求める問題です。収束する範囲の中で和の公式を使い、方程式の候補を出します。候補が範囲の外にあれば、方程式が成立しても元の問題の解にはなりません。公式の分母が0でないという条件と、級数が収束するという条件も区別します。

3つ目は、初項にも文字が含まれる問題です。初項が0になる値を先に取り出すと、公比の絶対値だけでは見えない収束を拾えます。残りの値について公比を判定し、最後に場合を合わせます。和の条件が加わったときは、例外の和も指定値に合うか調べます。

部分和で決まる収束と和

初項をA、公比をrとし、最初のn項の和をSₙとします。無限等比級数が収束するとは、nを限りなく大きくしたときSₙが有限の値に近づくことです。その極限値を級数の和と呼びます。個々の項の極限と部分和の極限は別の対象です。

rが1でないとき、有限等比数列の和から次を得ます。

Sₙ = A(1-rⁿ)/(1-r)

Aが0でなければ、|r| < 1のときrⁿは0に近づき、和はA/(1-r)です。r = 1ならSₙ = nAで、有限値に収束しません。r = -1なら部分和はAと0を交互に取り、収束しません。|r| > 1ならrⁿは0に近づかず、上の部分和も有限値に収束しません。特に負の側では符号が交互に変わるので、単に正の無限大になるとは限りません。

A = 0なら公比がどの実数でも各項が0で、Sₙ = 0です。図1のように、まず初項が0かどうかを分けると、公式の条件と例外が混ざりません。0乗は1として初項を読みます。

図1の右側で収束するのは公比が-1と1の間にあるときです。端を含まない理由は部分和の動きにあります。等比数列の項が一定になるr = 1でも、その項を足し続ける級数は、初項が0でなければ収束しません。

基本例題：公比の範囲を決める

実数tについて、Σ[k=0..∞] (t/3)ᵏ が収束する範囲を求め、その範囲で和をtの式で表してください。

初項は(t/3)の0乗なので1、公比はt/3です。初項が0ではないため、収束条件は次です。

|t/3| < 1
-1 < t/3 < 1
-3 < t < 3

この範囲では1 − t/3は正で、分母が0になりません。有限部分和から和を求めます。

Sₙ = (1-(t/3)ⁿ)/(1-t/3)
lim[n→∞] Sₙ = 1/(1-t/3)
                = 3/(3-t)

したがって収束範囲は-3 < t < 3、和は3/(3-t)です。図2のように両端を白丸で示し、端点自体を含めません。

図2の左端t = -3では項が1、-1、1、-1と続き、部分和は1と0を交互に取ります。右端t = 3では項がすべて1で、Sₙ = nです。どちらも収束しません。たとえば範囲内のt = 0では級数は1 + 0 + 0 + …となり、式の値3/(3-0) = 1と一致します。端の判定と内部の代入は別々に行います。

範囲外で式3/(3-t)が計算できる場合もあります。しかし、その式は有限和の残り(t/3)ⁿが0に近づくことを使って得ました。範囲外ではその根拠が消えるため、計算できることだけで和とは言えません。

標準例題：和の候補を範囲に戻す

実数aについて、Σ[k=0..∞] 2((a-1)/4)ᵏ の和が6となるaを求めてください。

初項は2、公比は(a-1)/4です。初項は0でないので、収束条件は次のようになります。

|(a-1)/4| < 1
-4 < a-1 < 4
-3 < a < 5

この範囲で和の公式を使い、指定された6と等しく置きます。

2/(1-(a-1)/4) = 6
8/(5-a) = 6
8 = 6(5-a)
6a = 22
a = 11/3

11/3は-3より大きく5より小さいので、収束条件を満たします。元の公比に戻すと(a-1)/4 = 2/3です。部分和とその極限を確認します。

Sₙ = 2(1-(2/3)ⁿ)/(1-2/3)
   = 6(1-(2/3)ⁿ)
lim[n→∞] Sₙ = 6

したがって答えはa = 11/3です。方程式を解く前に範囲を置くと、分母5-aが0でないことも保証されます。逆に、方程式だけを先に処理した場合でも、最後に収束範囲を照合する作業は省けません。

発展例題：初項が0になる値を残す

実数tについて、Σ[k=0..∞] (t-4)(t/4)ᵏ が収束するtの範囲を求め、収束する場合の和を求めてください。

初項はt-4、公比はt/4です。まずt = 4なら初項は0です。公比は1ですが、各項は0なのでSₙ = 0となり、級数は収束して和は0です。公比が1という情報だけで除外してはいけません。

次にt ≠ 4とすると、初項は0ではありません。そこで公比の条件を解きます。

|t/4| < 1
-4 < t < 4

この範囲では有限部分和を変形できます。

Sₙ = (t-4)(1-(t/4)ⁿ)/(1-t/4)
   = -4(1-(t/4)ⁿ)
lim[n→∞] Sₙ = -4

よって収束するのは-4 < t < 4またはt = 4です。和は前者で-4、後者で0です。t = -4では初項が-8、公比が-1なので、部分和は-8と0を交互に取り、収束しません。t = 4の和が-4ではないことも大切です。途中の約分はt ≠ 4を要するため、約分後の式を例外の値に代入することはできません。

この例では、収束範囲を-4 < t ≤ 4とまとめても構いません。ただし和は端点で変わるので、式まで1つにまとめてはいけません。t = 0を元の級数に戻すと-4 + 0 + 0 + …で、内部の和-4を確かめられます。t = 4では元の項がすべて0であることが独立した根拠です。

収束条件の処理では、不等式を解いた後の数直線も役立ちます。文字に掛かる係数が負なら、不等号の向きが変わる点に注意します。端点を代入して公比が実際に1または-1になるか確認すれば、範囲の計算違いにも気づけます。初項に文字がある場合は、その端点で初項も0かどうかを別に調べます。

和の値を指定する問題では、解がないことも答えです。方程式の候補がすべて収束範囲の外にある場合、候補を捨てた理由を公比や部分和で示すと、計算の途中で落としたのではないことが伝わります。例外として初項が0になる値があれば、その和が指定値と一致するかも確かめます。

誤答を部分和から直す

基本例題で「3/(3-t) = -1となるtは6だから、和が-1となるのはt = 6」と答えたとします。方程式自体は正しく解けていますが、t = 6は収束範囲-3 < t < 3の外です。図3のように、候補を範囲へ戻す段階が抜けています。

図3の候補6を元の級数に戻すと、公比は2です。有限部分和は次のようになります。

Sₙ = 1 + 2 + … + 2の(n-1)乗
   = 2ⁿ - 1

これは有限値に収束しません。したがって、基本例題の級数の和が-1となる実数tはありません。公式の右辺に数を代入できることは、無限級数の和が存在する証拠になりません。

もう1つの誤りは、初項が文字を含むときに、公比の絶対値が1未満という条件だけを答えにすることです。発展例題のt = 4ではその条件を満たしませんが、すべての項が0です。初項0の値を先に分け、元の項と部分和で調べれば修正できます。公式を使えない場合は、失敗と決めずに有限和へ戻るのが有効です。

練習問題

各問の文字は実数です。和を求めるときは正確な分数または文字の式で答えてください。収束しない場合はその理由も述べます。

1. Σ[k=0..∞] (x/5)ᵏ の収束範囲と、その範囲での和を求めてください。
2. Σ[k=0..∞] 3((b+2)/6)ᵏ の和が9となるbを求めてください。
3. Σ[k=0..∞] (u+2)(u/2)ᵏ の収束範囲と、収束する場合の和を求めてください。
4. Σ[k=0..∞] 4((v-2)/3)ᵏ の和が-2となる実数vがあるか調べてください。
5. Σ[k=0..∞] (w-3)((w+1)/2)ᵏ の和が0となるwをすべて求めてください。

練習の答えと道筋

1

初項1は0でないので、|x/5| < 1が条件です。

-5 < x < 5
Sₙ = (1-(x/5)ⁿ)/(1-x/5)
lim[n→∞] Sₙ = 5/(5-x)

端点では公比が-1または1となり、部分和はそれぞれ振動または増加します。たとえばx = 0では元の和は1で、式にも一致します。

2

初項3は0でなく、公比は(b+2)/6です。収束条件と和の方程式を順に解きます。

-1 < (b+2)/6 < 1
-8 < b < 4
3/(1-(b+2)/6) = 9
18/(4-b) = 9
b = 2

2は範囲内です。公比に戻すと2/3で、部分和は9(1-(2/3)ⁿ)です。その極限は指定された9なので、答えはb = 2です。

3

u = -2では初項が0なので、公比が-1でも各項は0、和は0です。u ≠ -2では初項が0でないため、|u/2| < 1から-2 < u < 2を得ます。この範囲の和は次です。

Sₙ = (u+2)(1-(u/2)ⁿ)/(1-u/2)
lim[n→∞] Sₙ = 2(u+2)/(2-u)

収束範囲は-2 ≤ u < 2で、和はu = -2で0、-2 < u < 2で上の式です。u = 2では初項4、公比1なのでSₙ = 4nとなり収束しません。u = 0では元の級数も和の式も2です。

4

収束には|(v-2)/3| < 1、すなわち-1 < v < 5が必要です。この範囲で方程式を解くと次の候補が出ます。

4/(1-(v-2)/3) = -2
12/(5-v) = -2
v = 11

11は収束範囲の外です。元の公比は3で、部分和は4(3ⁿ-1)/2となり収束しません。したがって求める実数vはありません。

5

w = 3では初項が0なので、各項が0で和も0です。w ≠ 3では初項が0でなく、収束条件は次です。

|(w+1)/2| < 1
-3 < w < 1

この範囲では和が(w-3)/(1-(w+1)/2)です。分母は0でないので、和が0なら分子が0となりw = 3ですが、これはこの範囲に入りません。よって答えはw = 3です。元の級数では公比が2でも各項は0で、指定された和0に戻ります。

残しておきたい要点

初項が0なら、元の項と部分和を直接調べます。 初項が0でなければ、収束条件は公比の絶対値が1未満です。 和の公式は収束する範囲で使い、方程式の候補をその範囲に戻します。 境界と例外の和は、約分前の部分和で確かめます。

途中式のどこを見るか

不等式を解けるのに答えを誤る場合は、初項と公比を書き出した行、その次に収束条件を置いた行、最後に候補を照合した行を順に見直します。初項の0を落としたのか、端点を含めたのか、方程式の候補を戻し忘れたのかで修正箇所が変わります。

個別指導では、たとえば公比が-1のときに最初の4項と4個の部分和を本人に書いてもらい、項と部分和の違いを確認します。和の式の分母が0にならないことを言えても、収束条件まで示したことにはなりません。有限和の残りが0に向かう理由を言葉にできれば、文字条件の判定を自分の式で支えられます。