高校数学III 無限等比級数の和—有限の和から収束条件つきの公式を導く｜武蔵野個別指導塾

初項7、公比1/4の部分和から負の公比や開始番号の違いまでたどり、和を導く題材は等比級数です。

よくあるのは、理系高3が演習ノートで和の開始番号を読み落とし、最初に足す数を取り違える場面です。たとえば、添字が3から始まる式を見ても、指数に0を入れた項を初項として計算すると、公式の形が正しくても別の級数の答えになります。何番目から足し、どの数を次々と掛けるのかを先に書き出しましょう。その後で有限個の和を作り、項数を増やしたときの極限を調べます。無限級数の収束・発散と和は、数学IIIの極限で扱う内容です。

どこに着目して解き始めるか

無限等比級数の問題には、まず具体的な項が並んでいて、和を求める型があります。最初の項と、その次の項を見比べると公比が見えます。初項が7で次が7/4なら、公比は1/4です。公式を覚えていても、最初の項が何かを見ずに分母だけを書いては計算できません。

次に、公比が負の型があります。項の符号が交互に変わるので、途中の和が最終的な値の上下を行き来します。公比の大きさが1より小さいときは、その揺れ幅が縮みます。負号を落として正の公比の公式に入れると、違う級数の和になります。

もう1つは、Σの開始番号が0や1とは限らない型です。指数の数と項数は同じとは限りません。開始番号を代入して初項を出し、有限和の末項と項数を確かめてから極限へ進めば、足し始めのずれを防げます。ここでは等比級数を中心に扱い、図形の長さや面積への応用には進みません。

有限の和から無限の和へ

初項a、公比rの等比数列を、最初からn項まで足したものを部分和Sₙとします。nは正の整数です。無限級数が収束するとは、nを限りなく大きくしたとき、部分和Sₙが有限の値に近づくことです。その極限値を無限級数の和と呼びます。項を無限個まとめて直接計算するのでなく、有限個の和を通して定義します。

図1のように、初項から隣の項へrを掛けて進み、部分和を作ります。r = 1では以下の割り算ができないので、後で別に調べます。r ≠ 1として、ずらした2つの有限和を引きます。

Sₙ = a + ar + ar² + … + arⁿ⁻¹
rSₙ = ar + ar² + … + arⁿ⁻¹ + arⁿ
Sₙ - rSₙ = a - arⁿ
(1 - r)Sₙ = a(1 - rⁿ)
Sₙ = a(1 - rⁿ)/(1 - r)

最後の行は、r ≠ 1であるために成り立つ有限和の公式です。ここまでに収束は仮定していません。|r| < 1ならrⁿは0に近づくので、部分和はa/(1 − r)に近づきます。したがって、この条件で無限等比級数の和はa/(1 − r)です。公比が負でも、絶対値が1より小さければこの結論を使えます。

条件を外した場合にも目を向けます。a ≠ 0なら、r = 1ではSₙ = naとなって有限値に収束しません。r = -1では部分和がa、0、a、0と交互に現れます。|r| > 1ではrⁿが0に近づかず、上の有限和も有限値に収束しません。たとえばr < -1では偶数番と奇数番で振る舞いが異なります。a = 0なら公比にかかわらず各項が0で、部分和も常に0です。a/(1 − r)を無条件に使うのではなく、この例外も初項に戻って判断します。

部分和と残りを分けると、公式の意味がさらに見えます。|r| < 1のとき、n項まで足した後の残りは次の式です。

全体の和 - Sₙ = a/(1 - r) - a(1 - rⁿ)/(1 - r)
全体の和 - Sₙ = arⁿ/(1 - r)

残りは次の項arⁿを初項とする級数の和でもあります。rが負なら残りの符号もnの偶奇で変わります。部分和が全体の和を超えることがあっても、残りが負なら矛盾しません。

基本例題：正の公比で残りを見る

初項7、公比1/4の無限等比級数について、最初のn項の和Sₙと無限級数の和を求め、答えを分数で表してください。さらにn項の後の残りも式で表してください。

最初の数項は7、7/4、7/16、7/64です。図2はこの部分和を棒の長さで表しています。いずれも正の項なので、足すたびに部分和は右へ進みますが、各項は前の1/4に小さくなります。

まずn項の有限和を計算します。公比1/4は1と異なるので、有限和の公式を使えます。

Sₙ = 7(1 - (1/4)ⁿ)/(1 - 1/4)
Sₙ = 7(1 - (1/4)ⁿ)/(3/4)
Sₙ = (28/3)(1 - (1/4)ⁿ)

次に公比の絶対値を調べると、|1/4| < 1です。そのため(1/4)ⁿは0に近づきます。有限和の式で極限を取れば、求める和が出ます。

lim[n→∞] Sₙ = (28/3)(1 - 0)
lim[n→∞] Sₙ = 28/3

n項の後の残りは、全体からSₙを引いて求めます。

28/3 - Sₙ = 28/3 - (28/3)(1 - (1/4)ⁿ)
28/3 - Sₙ = (28/3)(1/4)ⁿ

元の並びに戻すと、最初の残りの項は7(1/4)ⁿです。これを初項として1/(1 − 1/4)を掛けても、残りは(28/3)(1/4)ⁿとなります。たとえばn = 1なら、足した7と残り7/3の合計は28/3です。部分和と残りを合わせて元の級数を表すことを確かめられます。

図2のS₁、S₂、S₃はそれぞれ7、35/4、147/16で、和28/3に左から近づきます。図の右端の値に実際に到達したと考えるのではなく、残りが0へ近づくことを式で読むのがポイントです。

標準例題：符号が交互に変わる和

初項5、公比-2/3の無限等比級数について、最初のn項の和と無限級数の和を分数で求めてください。部分和が極限値のどちら側にあるかも、nの偶奇に分けて答えてください。

最初に項を書くと5、-10/3、20/9、-40/27です。次の項は直前の項に-2/3を掛けて得られます。公比は-2/3であり、絶対値2/3が1より小さいので収束します。分母の符号を含めて計算します。

Sₙ = 5(1 - (-2/3)ⁿ)/(1 - (-2/3))
Sₙ = 5(1 - (-2/3)ⁿ)/(5/3)
Sₙ = 3(1 - (-2/3)ⁿ)
lim[n→∞] Sₙ = 3(1 - 0)
lim[n→∞] Sₙ = 3

部分和と和との差は、有限和の式から求めます。

Sₙ - 3 = -3(-2/3)ⁿ

nが奇数なら右辺は正で、Sₙは3より大きいです。nが偶数なら右辺は負で、Sₙは3より小さいです。差の絶対値は3(2/3)ⁿなので、上下に揺れながらも0へ近づきます。最初の部分和5と次の部分和5/3を比べると、この位置関係も確かめられます。

n項の後の残りは3(-2/3)ⁿです。n = 1では残りが-2で、最初の項5と合わせると3になります。残りが負だからといって間違いではありません。2項目以降の全体が負になり、初項から差し引かれる状況です。公式の値を元の項の符号と照合しましょう。

発展例題：開始番号を初項へ戻す

Σ[k=3..∞] 2/3ᵏ の収束を判定し、収束するなら和を分数で求めてください。また、k = 3からk = mまでの和を求め、k = mの項の後の残りを表してください。ただしmは3以上の整数です。

k = 3を代入した最初の項は2/27です。kを1増やすと分母に3が1つ増えるので、公比は1/3です。ここでのmは最後の添字であり、足した項数はmではありません。3からmまでの整数の個数はm − 2です。

初項 = 2/3³
初項 = 2/27
公比 = 1/3
項数 = m - 2

|1/3| < 1なので級数は収束します。まず有限和を項数で表し、次にmを大きくします。

Σ[k=3..m] 2/3ᵏ = (2/27)(1 - (1/3)ᵐ⁻²)/(1 - 1/3)
Σ[k=3..m] 2/3ᵏ = (1/9)(1 - (1/3)ᵐ⁻²)
lim[m→∞] Σ[k=3..m] 2/3ᵏ = (1/9)(1 - 0)
lim[m→∞] Σ[k=3..m] 2/3ᵏ = 1/9

mの後の残りは、k = m + 1の項から始まります。全体から有限和を引いても同じ値になります。

残り = (1/9)(1/3)ᵐ⁻²
残り = 1/3ᵐ

元の条件を使ってm = 3を確かめます。足したのは2/27の1項で、残りは1/27です。両者の合計は3/27、つまり1/9です。m = 4なら有限和は2/27 + 2/81 = 8/81、残りは1/81で、やはり合計は1/9です。添字と項数を混同するとこの確認でずれが現れます。

間違えた式をどこから直すか

発展例題で「最初の項は2だから、和は2/(1 − 1/3) = 3」とする解答を考えます。公比1/3を読むところまでは合っています。しかし、2は分子であって、k = 3の項全体ではありません。図3のように、開始番号を指数に代入してから初項を取り出します。

最初の項は2/27であり、それを使うと和は1/9です。誤った答え3は、k = 0から同じ項を足したときの和に当たります。k = 0、1、2の3項を誤って加えたことになるので、その差も調べられます。

2 + 2/3 + 2/9 = 26/9
3 - 26/9 = 1/9

別の誤答として、公比が-2/3なのに分母を1 − 2/3とする場合があります。これは負号を落とし、公比2/3の級数へすり替えています。正しい分母は1 − (-2/3) = 5/3です。さらに、公比が-1でも分母が0でないから和がある、と判断するのも誤りです。初項が0でない場合、部分和は2つの値を交互に取り、極限を持ちません。割り算ができることと、無限和が存在することは別の条件です。

途中で答えに迷ったら、初項・次項・公比を並べて書き、部分和を2つほど実際に計算してください。正の項を足しているのに部分和が下がる式や、負の項を足しているのに差の符号が合わない式は、その時点で見直せます。

練習問題：まず自分で設定する

各問の級数について、収束・発散を判定してください。収束するときは和を分数で求め、指定のある場合は残りも答えてください。nは正の整数とします。

1. 初項9、公比2/5の級数。n項の後の残りも求めてください。
2. 初項4、公比-1/3の級数。nが奇数と偶数のとき、それぞれ部分和が和の上側か下側か答えてください。
3. Σ[k=2..∞] 5/4ᵏ の和を求めてください。k = mまでの部分和も表してください。ただしmは2以上の整数です。
4. 初項6、公比-1の級数を判定してください。最初の4個の部分和を示してください。
5. 初項0、公比3の級数を判定し、和を答えてください。最初の3個の項も示してください。

練習問題の答えと解き方

1. 公比2/5の絶対値は1より小さいので収束します。有限和、和、残りを順番に求めます。

Sₙ = 9(1 - (2/5)ⁿ)/(1 - 2/5)
Sₙ = 15(1 - (2/5)ⁿ)
lim[n→∞] Sₙ = 15
15 - Sₙ = 15(2/5)ⁿ

答えは和15、残り15(2/5)ⁿです。n = 1では9を足し、残りは6です。合わせて15となり、2項目18/5を初項とする残りの和も6です。

2. |-1/3| < 1なので収束します。負号を分母に残して計算します。

Sₙ = 4(1 - (-1/3)ⁿ)/(1 - (-1/3))
Sₙ = 3(1 - (-1/3)ⁿ)
lim[n→∞] Sₙ = 3
Sₙ - 3 = -3(-1/3)ⁿ

和は3です。奇数のnでは上側、偶数のnでは下側です。S₁ = 4、S₂ = 8/3なので、元の項を足しても位置が合います。1項の後の残りは-1で、4と合わせて3です。

3. k = 2の項は5/16、公比は1/4です。|1/4| < 1より収束します。k = 2からmまでの項数はm − 1です。

Σ[k=2..m] 5/4ᵏ = (5/16)(1 - (1/4)ᵐ⁻¹)/(1 - 1/4)
Σ[k=2..m] 5/4ᵏ = (5/12)(1 - (1/4)ᵐ⁻¹)
lim[m→∞] Σ[k=2..m] 5/4ᵏ = 5/12
残り = (5/12)(1/4)ᵐ⁻¹

和は5/12です。m = 2では部分和5/16、残り5/48となり、合わせて5/12です。開始番号に戻して初項が一致することも確認できます。

4. 公比は-1で、最初の4項は6、-6、6、-6です。したがって部分和は6、0、6、0です。偶数番と奇数番で異なる値を繰り返すため収束せず、発散します。有限和を延ばしても値が1つに近づかないので、無限級数の和はありません。

5. 最初の3項は0、0、0です。公比が3でも、どの項も0なのでSₙ = 0です。部分和は0に収束し、和は0です。初項が0でない場合に用いる公比の分類を、そのままこの例に当てないことが必要です。

手元に残す要点

初項と公比は、開始番号を代入して最初の2項から決めます。 有限和を作り、その部分和の極限として無限の和を定めます。 |r| < 1なら和はa/(1 − r)、初項0も別に確認します。 負の公比では残りの符号と部分和の上下を見ます。

途中式からつまずきを見つける

初項を尋ねたときに分子の数だけを答えるなら、Σの下の番号を式へ代入する箇所から確認します。項を2つ並べてもらい、次の項を前の項で割った値が公比と一致するかを見ると、開始番号と公比の取り違えを切り分けられます。初項が0のときは割り算で公比を決めず、問題で与えられた公比と項の並びを確認します。

公式に数を入れられても、なぜ使えるかが書けない場合は、有限和と収束条件の間に空欄を設け、rⁿの行き先を本人に埋めてもらいます。負の公比なら偶数番と奇数番の部分和を実際に出し、極限の上下が式と合うかを確かめます。個別指導では、答えの分数だけでなく、初項の特定、条件の判定、残りを戻す行まで見て、どの段階で意味が変わったかを一緒に追います。足し始めと残りがつながれば、無限等比級数の和を根拠とともに扱えます。