高校数学III 無限級数の部分和—一般項と部分和の二つの極限を分けて読む｜武蔵野個別指導塾

初項の復元と振動する例から、一般項の極限と区別して読み解く無限級数の部分和です。

よくあるのは、理系高3が演習ノートで一般項の極限を求め、その値を無限級数の和として答える場面です。各回に加える量が小さくなることと、それまでの合計がどの値に落ち着くかは別の問いです。たとえば最後に加える量が0に近くても、合計の行き先はその情報だけでは決まりません。有限個の和をまず書き、その数列の極限を調べることで、何を計算しているかを明確にします。

どの量を求める問いか

級数の問題には、少なくとも3種類の読み方があります。一般項aₙが与えられたら、最初のn項を足したSₙを作り、nを大きくしたときのSₙを調べる型があります。有限和が計算できたところで終わらず、その極限まで進む必要があります。

一方、Sₙの式が最初から与えられる型では、和を求めるために改めてaₙを足し直す必要はありません。Sₙそのものの極限を求めます。ただし一般項も問われたときは、隣り合う部分和の差から取り出します。その差の式をn = 1に無条件で適用すると、与えられていないS₀を使うことになります。

さらに、部分和が偶数番と奇数番で異なる値へ近づく型があります。各項の符号が交互に変わることだけで判定するのではなく、合計の2つの並びを比較します。両者の極限が異なれば、部分和全体は有限の値に収束しません。

部分和が級数の和を決める

数列a₁, a₂, …に対し、初項から第n項までの有限和をSₙ = a₁ + a₂ + … + aₙとおきます。Sₙを第n部分和と呼びます。無限級数Σ[k=1..∞] aₖが収束するとは、数列Sₙが有限の値Sに収束することです。このときSを級数の和と呼びます。Sₙが有限の値に収束しないとき、級数は発散します。

図1のように、aₙはその回に加える量で、Sₙはそこまでの合計です。矢印で示す2つの操作を混ぜないようにします。学習指導要領の数学IIIの極限には、数列の極限と無限級数の収束・発散、和が含まれます。

図1の合計を1項進めるとSₙ = Sₙ₋₁ + aₙです。したがってnが2以上ならaₙ = Sₙ − Sₙ₋₁です。初項は定義からa₁ = S₁と直接求めます。S₀ = 0と別に定義して差の式に含める方法もありますが、与えられたSₙの公式をn = 0に代入した値が0とは限りません。公式の適用範囲を先に確かめます。

またSₙがSに収束すれば、n − 1も限りなく大きくなるのでSₙ₋₁もSに収束します。差の極限からaₙは0に近づきます。これは収束のための必要条件です。逆にaₙが0に近づくだけでは、部分和の収束はまだ判定できません。必要条件と十分条件を取り違えず、実際の部分和を見ることが大切です。

基本：与えられた部分和を読む

例題1。ある級数の第n部分和が、正の整数nに対してSₙ = 4 − 3/(n+1)で与えられています。級数が収束するか判定し、収束する場合は和を分数または整数で求めてください。またa₁とa₂を分数で求め、最初の2項が部分和に戻ることを確かめてください。

まずnが大きくなると1/(n+1)は0に近づきます。部分和に対して極限を取ると、次のようになります。

lim[n→∞] Sₙ = lim[n→∞] (4 - 3/(n+1))
               = 4 - 3・0
               = 4

よって級数は収束し、和は4です。図2のようにS₁ = 5/2、S₂ = 3、S₃ = 13/4で、いずれも4より小さい値です。図は有限個の部分和を示し、線は目標となる4を示しています。点が続く様子は結論を直感的に支えますが、収束の根拠は上の極限計算です。

図2の点の縦の値は合計です。第1項はS₁そのものですから、

a₁ = S₁
   = 4 - 3/2
   = 5/2

第2項は合計の増分です。

a₂ = S₂ - S₁
   = (4 - 3/3) - (4 - 3/2)
   = 3 - 5/2
   = 1/2

元の条件に戻すと、a₁ + a₂ = 5/2 + 1/2 = 3 = S₂です。なおnが2以上ではaₙ = 3/(n(n+1))となり、その極限は0です。この0は和の4ではありません。新しく加える量が小さくなる一方、これまでの合計は4に近づいていると読み分けます。

部分和と和の差は、その段階より後に加わる量の合計を考える手掛かりにもなります。この例では4 − Sₙ = 3/(n+1)です。たとえば第3部分和まで足した時点では差が3/4あり、その後の項を足していくと、この差に近づきます。無限個を一度に足す操作として扱うのではなく、まず後続の有限和Sₘ − Sₙを考え、mを大きくした極限を取ります。

第n項までの合計は4より小さいものの、初項は5/2です。したがって「項が0に近づく」という事実から、既に足した量が消えると考えることはできません。また、部分和が4に近づくことは、ある有限のnで4に達することも意味しません。実際、3/(n+1)はどの正の整数nでも正です。極限値と途中の値を別々に記録すると、この区別がはっきりします。

標準：部分和から項を取り戻す

例題2。第n部分和がSₙ = (2n+1)/(n+2)で与えられる級数について、一般項aₙを初項とnが2以上の場合に分けて求めてください。さらに級数の和を分数または整数で求め、最初の2項の合計を確かめてください。

まず初項は定義から求めます。

a₁ = S₁
   = (2+1)/(1+2)
   = 1

次にnが2以上のとき、分母n+1とn+2は正であり、通分できます。

aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁
   = (2n+1)/(n+2) - (2n-1)/(n+1)
   = ((2n+1)(n+1) - (2n-1)(n+2))/((n+2)(n+1))
   = (2n²+3n+1 - (2n²+3n-2))/((n+2)(n+1))
   = 3/((n+1)(n+2))

この式に形式的にn = 1を入れると1/2となり、実際の初項1と一致しません。与えられた公式にn = 0を入れると1/2であり、空の和としてのS₀ = 0ではないためです。差の公式が使える範囲を残すことが、初項の誤りを防ぎます。

和は一般項の極限ではなく、次の部分和の極限です。

lim[n→∞] Sₙ = lim[n→∞] (2+1/n)/(1+2/n)
               = 2

よって和は2です。a₂ = 3/(3・4) = 1/4なので、a₁ + a₂ = 5/4です。与式のS₂ = 5/4に戻り、初項と差の両方が整合します。各項が0に近づくことも確認できますが、それだけを根拠に和を2としたわけではありません。

発展：合計が交互に揺れるとき

例題3。第n部分和がSₙ = 2 + (-1)ⁿ + 1/nで与えられる級数について、収束・発散を判定してください。さらにa₁と、nが2以上の一般項を求め、a₂を使ってS₂を確かめてください。答えは正確な式で表します。

偶数番と奇数番の部分和を分けます。mを正の整数として、

S₂ₘ = 2 + 1 + 1/(2m)
    = 3 + 1/(2m)
S₂ₘ₋₁ = 2 - 1 + 1/(2m-1)
       = 1 + 1/(2m-1)

mを大きくすると、偶数番は3、奇数番は1に近づきます。部分和全体が1つの有限値に収束するなら、偶数番と奇数番も同じ値へ近づくはずです。実際には異なるため、級数は発散し、和は定義されません。

初項はS₁から直接得ます。

a₁ = S₁
   = 2 - 1 + 1
   = 2

nが2以上なら、隣の部分和を引きます。

aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁
   = (-1)ⁿ - (-1)ⁿ⁻¹ + 1/n - 1/(n-1)
   = 2(-1)ⁿ - 1/(n(n-1))

この式からa₂ = 2 − 1/2 = 3/2です。a₁ + a₂ = 7/2となり、与式のS₂ = 2 + 1 + 1/2 = 7/2と一致します。aₙ自体も偶数番と奇数番で異なる値に近づきますが、発散の判定では部分和の2つの極限を直接比較しました。有限和の式と級数の結論の間に、極限の判定が必要です。

誤答を直す：初項にも差の式を使う

標準例題で「aₙ = 3/((n+1)(n+2))だからa₁ = 1/2」と書くのは誤りです。図3のように、差を取る操作では1つ前の部分和が必要です。n = 1ではその前の和は空の和0であり、与式に0を代入して得る1/2とは区別します。

図3の左ではS₁をそのまま初項にし、右ではS₂からS₁を引きます。直すには、まずa₁ = S₁ = 1と書き、次にnが2以上という条件を添えて差を計算します。最後にa₁ + a₂がS₂に戻るか確かめれば、初項を落としたまま先へ進む失敗を見つけられます。

別の誤りとして、基本例題でaₙ→0だから和も0とする答えがあります。加える量と合計には別の記号を付け、問われた和の定義に戻ってSₙ→4と書き直します。一般項が0に近づかない場合は収束できませんが、0に近づく場合はそれだけで収束を結論できません。

練習：5つの合計を調べる

各問でnは正の整数です。収束する場合の和や項は、整数または分数で正確に答えてください。

1. Sₙ = 6 − 2/(n+3)の級数の収束・発散と、収束する場合の和を求めてください。
2. Sₙ = (3n+2)/(n+1)の級数について、a₁とnが2以上のaₙ、および和を求めてください。
3. Sₙ = 5 + (-1)ⁿ/nの級数について、収束・発散と、収束する場合の和を求めてください。
4. Sₙ = 1 + 2(-1)ⁿの級数について、収束・発散を判定し、a₁とa₂を求めてください。
5. a₁ = 7、nが2以上でaₙ = 1/(n(n+1))の級数について、Sₙを求め、収束・発散と和を求めてください。

答えと道筋

1. 1/(n+3)→0よりSₙ→6です。したがって収束し和は6です。S₁ = 6 − 2/4 = 11/2で、初めの合計は6と一致する必要がありません。残りの差6 − Sₙ = 2/(n+3)が0へ向かうことも、与式に戻して確かめられます。

2. a₁ = S₁ = 5/2です。nが2以上のとき、

aₙ = (3n+2)/(n+1) - (3n-1)/n
   = (n(3n+2) - (n+1)(3n-1))/(n(n+1))
   = 1/(n(n+1))

Sₙ = (3+2/n)/(1+1/n)→3なので和は3です。a₂ = 1/6であり、a₁ + a₂ = 8/3 = S₂です。初項に差の式を適用しない点も確かめます。

3. -1/n ≤ (-1)ⁿ/n ≤ 1/nで、両端は0に近づきます。したがってSₙ→5で、収束して和は5です。偶数番は5 + 1/n、奇数番は5 − 1/nですが、ずれの絶対値はいずれも1/nです。振動があっても幅が0へ縮む場合には収束します。

4. 偶数番のSₙは3、奇数番は-1です。2つの値が異なるので発散します。a₁ = S₁ = -1、a₂ = S₂ − S₁ = 3 − (-1) = 4です。実際にa₁ + a₂ = 3 = S₂となり、元の合計に戻ります。

5. nが2以上のとき、1/(k(k+1)) = 1/k − 1/(k+1)を有限個足すと、

Sₙ = 7 + Σ[k=2..n] (1/k - 1/(k+1))
   = 7 + 1/2 - 1/(n+1)
   = 15/2 - 1/(n+1)

この式はn = 1でも7を与えます。Sₙ→15/2なので収束し、和は15/2です。S₂ − S₁ = 1/6は指定されたa₂と一致します。初項からの有限和を作った後で極限を取っています。

持ち帰る要点

部分和は初項から第n項までの有限和です。
級数の収束と和は部分和の極限で決まります。
a₁ = S₁、nが2以上ではaₙ = Sₙ − Sₙ₋₁です。
一般項が0に近づくことだけでは収束を決められません。
偶奇で部分和の極限が異なれば発散します。

ノートのどこを見直すか

個別指導では、まず答案の「極限」の対象に丸を付け、aₙなのかSₙなのかを本人に説明してもらいます。次にa₁とa₂を実際に足し、問題のS₂に戻るかを一緒に調べます。差の式を使う行にnの範囲がなければ、S₀をどう扱ったかを確認します。

振動する式で止まった場合は、偶数番と奇数番をそれぞれ書き出し、値の違いが残るのか、振幅が小さくなるのかを見比べます。計算が合っていても、一般項の0を和と書いていれば、有限和から極限へ進む矢印をノートに補います。加える量と積み上がった量を分けると、部分和の意味が見えてきます。