武蔵野個別指導塾の特徴
高校数学III 根号の漸化式と極限—範囲を保つことと誤差の評価から収束を示す｜武蔵野個別指導塾
根号の中の非負性を保ち、候補との差を有理化して等比数列ではさむ根号の漸化式を学びます。
よくあるのは、理系高3が演習ノートで、極限の候補を求める二次方程式を解き、正の解と負の解を両方残してしまう場面です。根号は負でない値を表しますから、項が収束するなら極限も負にはなりません。さらに、方程式を満たす数を見つけただけでは、数列がそこへ近づくこともまだ示せていません。初項から項が定義できること、範囲を保つこと、候補との差が小さくなることを順に調べます。
学習範囲の確認として、数列の極限は数学IIIの極限に含まれます。ここでは根号を含む漸化式を扱い、微分や不動点定理は使いません。
要点（結論から）
- 根号の中の非負性と、初項から保たれる範囲を示します。
- 極限の候補は非負で、2乗後には元の式に戻します。
- 有理化した差を1未満の一定比で評価し、収束を証明します。
どの順番で調べるか
出方の1つは、初項が候補より小さい型です。候補を上限に選び、初項が区間内にあることと、区間内の項から次の項も区間内に入ることを示します。その後、増加と上限から収束を示すか、候補との差を直接評価します。
もう1つは、初項が候補より大きい型です。このとき候補を上限にすると初項から失敗します。候補を下限に選び直し、減少と下限、または絶対値を使った誤差の評価で調べます。大小関係は初項を見て決める必要があります。
3つ目は、近づくだけでなく、誤差がどの程度小さくなるかを求める型です。根号を含む差を有理化すると、前の誤差を正の分母で割る式が得られます。分母を下から評価し、1より小さい一定の数を繰り返し掛けた形へつなげます。
根号と区間を先に押さえる
正の定数cについて、aₙ₊₁ = √(c+aₙ)を考えます。右辺が実数として定義されるにはc+aₙ ≧ 0が必要で、定義できるときaₙ₊₁ ≧ 0です。初項が非負なら、それ以降の項も非負なので、根号の中は正のままです。この確認は、式を何度でも使うための土台です。
仮に数列が有限値Lに収束すると、隣り合う項も同じLに収束し、平方根の連続性からL = √(c+L)です。右辺が非負なのでL ≧ 0です。両辺を2乗してL²-L-c = 0を得ても、2乗後の方程式の負の解は元の式を満たしません。候補の選別と収束の証明は別の作業です。
候補をαとし、α = √(c+α)とします。0 ≦ aₙ ≦ αなら、平方根の大小関係から0 ≦ aₙ₊₁ ≦ αです。初項もこの区間にあれば、数学的帰納法により全項が区間に入ります。このように一度入ると次の項も出ない区間を、ここでは不変区間と呼びます。
図1のように、候補より下の区間と上の区間では、使いやすい境界の向きが変わります。上側でもaₙ ≧ αならaₙ₊₁ ≧ αです。根号の中と境界の両方を確認してから、項の増減や誤差を調べます。
候補との差は、分母が正であることを確かめれば次のように変形できます。
aₙ₊₁ - α = √(c+aₙ) - √(c+α)
= (aₙ-α)/(√(c+aₙ)+α)絶対値を取ると、誤差は前の誤差を正の分母で割ったものです。分母が常にある数M以上で、M > 1なら、誤差は高々1/M倍になります。Mが1以下しか示せない場合には、この評価だけでは誤差がゼロに向かうと結論できません。より強い下界を探すか、単調性と有界性を用います。
基本例題：下から3に近づく
正の整数nについて、a₁ = 1、aₙ₊₁ = √(6+aₙ)とします。数列の収束を証明し、極限を整数で求めてください。
まず候補を求めます。収束を仮定したときの値Lは非負で、次を満たします。
L = √(6+L)
L² = 6+L
L²-L-6 = 0
(L-3)(L+2) = 0
L = 3 または -2L ≧ 0より候補は3です。-2は2乗後の式を満たしますが、元の式では右辺が2なので不適です。この時点では候補が残っただけであり、収束はまだ証明していません。
次に0 ≦ aₙ ≦ 3を示します。初項は1なので範囲に入ります。ある項が範囲にあるとすると、次の評価が成り立ちます。
0 ≦ aₙ ≦ 3
6 ≦ 6+aₙ ≦ 9
0 ≦ √(6+aₙ) ≦ 3
0 ≦ aₙ₊₁ ≦ 3よって帰納法により全項で範囲が保たれ、根号の中も正です。図2のように、初項1から更新した項は3以下に残ります。図の点は離散的な項を示しており、点を結ぶ線は数列そのものではありません。
差を有理化して、収束を直接示します。分母は少なくとも3なので、次の評価が成り立ちます。
|aₙ₊₁-3| = |aₙ-3|/(√(6+aₙ)+3)
≦ (1/3)|aₙ-3|
|aₙ-3| ≦ (1/3)ⁿ⁻¹|a₁-3|
= 2(1/3)ⁿ⁻¹0 < 1/3 < 1なので右辺はゼロに収束します。はさみうちによりaₙは3に収束します。答えは3です。元の更新式に戻すと√(6+3) = 3で、初項1も示した区間にあります。
単調性でも確かめられます。0 ≦ aₙ ≦ 3では、3-aₙ₊₁ = (3-aₙ)/(aₙ₊₁+3)です。分母は3以上なので、次の項は3以下のまま候補との差が広がりません。したがってaₙ₊₁ ≧ aₙです。ただし、増加することだけでは有限の極限は保証されず、上限3も必要です。
標準例題：上から候補へ戻る
b₁ = 6、bₙ₊₁ = √(20+bₙ)とします。全項の範囲と増減を示し、極限を整数で求めてください。
収束すると仮定した候補LはL ≧ 0を満たします。方程式を解き、元の根号の符号で選びます。
L = √(20+L)
L²-L-20 = 0
(L-5)(L+4) = 0
L = 5 または -4負の-4は元の式を満たさず、候補は5です。初項は候補より大きいため、5 ≦ bₙ ≦ 6を示します。b₁ = 6で成立し、5 ≦ bₙ ≦ 6なら次の通りです。
25 ≦ 20+bₙ ≦ 26
5 ≦ bₙ₊₁ ≦ √26
√26 < 6帰納法により全項は5以上6以下で、更新は常に定義されます。次に候補との差を比べます。
bₙ₊₁-5 = (bₙ-5)/(bₙ₊₁+5)
0 ≦ bₙ₊₁-5 ≦ (bₙ-5)/10
bₙ₊₁-5 ≦ bₙ-5
bₙ₊₁ ≦ bₙ分母はbₙ₊₁ ≧ 5から10以上です。よって数列は減少し、下限5を持ちます。また差の評価を繰り返せば、0 ≦ bₙ-5 ≦ (1/10)ⁿ⁻¹です。右辺はゼロに向かうので、極限は5です。√(20+5) = 5と初項6を元の条件に戻して確かめます。
初項が候補より上でも、根号の式の形は基本例題と同じです。ただし「候補以下」という証明をそのまま始めると初項で成立しません。先に初項と候補の大小を比べ、境界を置く側を決めます。
発展例題：誤差の上限まで求める
c₁ = 2、cₙ₊₁ = √(12+cₙ)とします。全項について0 ≦ cₙ ≦ 4を示し、|cₙ-4|をnを用いた等比式で上から評価して、極限を整数で求めてください。
候補Lを求めると、L ≧ 0と次の式から4に絞られます。
L = √(12+L)
L²-L-12 = 0
(L-4)(L+3) = 0
L = 4-3は2乗後には現れますが、元の右辺は非負なので除きます。初項2は0以上4以下です。また、0 ≦ cₙ ≦ 4なら次が成り立ちます。
12 ≦ 12+cₙ ≦ 16
0 ≦ √(12+cₙ) ≦ 4
0 ≦ cₙ₊₁ ≦ 4帰納法で範囲が保たれます。ここでcₙ₊₁ ≧ √12 > 3ですから、分母を7より大きいと評価できます。有理化して絶対値を取ります。
cₙ₊₁-4 = (cₙ-4)/(cₙ₊₁+4)
|cₙ₊₁-4| = |cₙ-4|/(cₙ₊₁+4)
≦ (1/7)|cₙ-4|
|cₙ-4| ≦ (1/7)ⁿ⁻¹|c₁-4|
= 2(1/7)ⁿ⁻¹右辺はゼロに収束するため、はさみうちでcₙ → 4です。たとえばn = 3なら誤差は高々2/49です。これは厳密な上限であり、実際の誤差が必ず2/49になるという意味ではありません。元の式に4を入れると√(12+4) = 4で、初項2も範囲に含まれます。
負の根を残す答案を直す
基本例題で「L²-L-6 = 0だから極限は3または-2」と書いた答案を考えます。二次方程式の解としては正しくても、極限の答えとしては2か所不足しています。まず、元の式L = √(6+L)ではLが非負です。負の-2を代入すると右辺は2なので等号が成立しません。
図3のように、2乗で候補を広げた後は、元の式に戻して符号を照合します。さらに3を候補として選んでも、それだけでは実際の数列が収束するとは限りません。初項から区間が保たれることと、誤差がゼロへ向かう評価を追加して初めて結論が出ます。
別の誤りは、|aₙ₊₁-3| < |aₙ-3|と書いただけで、誤差がゼロになると決めることです。正の数が減り続けても、正の値に近づく場合があります。毎回1/3以下になるという一定比の評価を示し、等比数列ではさむ必要があります。
手を動かす5問
各問で数列の全項が実数として定義されることを確かめ、収束を示してから、極限を整数で求めてください。誤差の評価を使う場合は、分母の正値と一定比が1未満である理由も書いてください。
- u₁ = 0、uₙ₊₁ = √(2+uₙ)。
- v₁ = 7、vₙ₊₁ = √(30+vₙ)。
- w₁ = 1、wₙ₊₁ = √(42+wₙ)。
- p₁ = 8、pₙ₊₁ = √(6+pₙ)。
- q₁ = 3、qₙ₊₁ = √(72+qₙ)。
練習の解答と検証
- 候補Lは非負で、L²-L-2 = (L-2)(L+1) = 0より2です。初項0は0以上2以下で、その範囲なら2+uₙは2以上4以下なので、次の項も0以上2以下です。帰納法で全項が定義されます。
|uₙ₊₁-2| = |uₙ-2|/(uₙ₊₁+2)
≦ (1/2)|uₙ-2|
|uₙ-2| ≦ 2(1/2)ⁿ⁻¹右辺はゼロに向かうので極限は2です。初項0と√(2+2) = 2を元の式で確かめます。
- 候補はL²-L-30 = (L-6)(L+5) = 0の非負解6です。初項7は6以上7以下で、その範囲なら36 ≦ 30+vₙ ≦ 37 < 49です。したがって次の項も6以上7以下で、全項が定義されます。
|vₙ₊₁-6| = |vₙ-6|/(vₙ₊₁+6)
≦ (1/12)|vₙ-6|
|vₙ-6| ≦ (1/12)ⁿ⁻¹極限は6です。√(30+6) = 6であり、初項7は示した範囲にあります。
- 候補はL²-L-42 = (L-7)(L+6) = 0の非負解7です。初項1は0以上7以下で、その範囲なら42 ≦ 42+wₙ ≦ 49です。次の項も0以上7以下なので帰納法が使えます。
|wₙ₊₁-7| = |wₙ-7|/(wₙ₊₁+7)
≦ (1/7)|wₙ-7|
|wₙ-7| ≦ 6(1/7)ⁿ⁻¹極限は7です。初項と√(42+7) = 7を元の条件に戻します。
- 候補は非負の3です。初項8は3以上8以下で、3 ≦ pₙ ≦ 8なら9 ≦ 6+pₙ ≦ 14 < 64です。よって次の項も同じ範囲にあり、全項が定義されます。
|pₙ₊₁-3| = |pₙ-3|/(pₙ₊₁+3)
≦ (1/6)|pₙ-3|
|pₙ-3| ≦ 5(1/6)ⁿ⁻¹極限は3です。初項8と√(6+3) = 3を確かめます。
- 候補はL²-L-72 = (L-9)(L+8) = 0の非負解9です。初項3は0以上9以下で、その範囲なら72 ≦ 72+qₙ ≦ 81です。次の項も0以上9以下で、根号は各段階で定義されます。
|qₙ₊₁-9| = |qₙ-9|/(qₙ₊₁+9)
≦ (1/9)|qₙ-9|
|qₙ-9| ≦ 6(1/9)ⁿ⁻¹極限は9です。√(72+9) = 9で、初項3も範囲内です。どの問でも、候補を元の式に戻す確認と誤差の収束を両方行います。
要点
- 根号の中の非負性と、初項から保たれる範囲を示します。
- 極限の候補は非負で、2乗後には元の式に戻します。
- 有理化した差を1未満の一定比で評価し、収束を証明します。
途中式からつまずきを見つける
負の候補が残った答案では、2乗前の式へ戻る箇所に印を付け、右辺の符号を本人に説明してもらいます。初項が上側にあるのに候補を上限とした答案では、帰納法の最初の行へ戻り、初項が入る区間を選び直します。
個別指導では、誤差の分母をどの不等式で下から押さえたか、一定比が1未満か、最後にはさみうちを使ったかを順に確かめます。数値を数項計算して近づく様子を見ることは見通しになりますが、無限に続く全項の証明には代わりません。根号の符号から始めると、候補と収束の役割を分けて書けます。
読んで終わりにするか、ここから変えるか。
武蔵境駅徒歩30秒、講師1人に生徒1人の完全1対1。授業のあいだ、先生は隣を離れません。いまの詰まりを、無料相談でそのまま話してください。
まず15分だけ電話で話したい方は、無料電話相談（15分）から。塾からお電話を差し上げます。
ほかの記事
本気になった日が、入塾の日。
お子様の教育、迷ったら「丸投げ」してください。必ず、期待以上の結果で返します。武蔵野で育む、武蔵境で学ぶ。
電話は年中無休。365日、24時間、お電話可能。