高校数学C ベクトルの内積—成分と角度の二つの式で垂直を調べる｜武蔵野個別指導塾

成分から角度を求める計算と零ベクトルを含む垂直条件の分岐をたどり、式の意味から内積を読み解きます。

よくあるのは、定期テスト前の高校生が内積を計算して0になったとき、相手が零ベクトルでもなす角を90°と答えてしまう場面です。数の計算が合っていても、角度を定めるための向きがあるかどうかは別に確かめる必要があります。成分の式と角度の式を行き来しながら、使える条件を見落とさない練習をしましょう。

どの値から出発するか

内積の問題には、まず長さと角度から数を求める型があります。2本のベクトルの長さと、その始点をそろえたときの角が与えられれば、長さの積に角の余弦をかけます。角が鈍角なら余弦が負なので、内積も負です。図の向きと符号を照らすと、計算結果の点検に使えます。

次に、2本の成分から内積を求め、長さと合わせて角度を求める型があります。横どうしの積と縦どうしの積を足し、その値を長さの積で割って余弦を出します。角度の範囲を0°以上180°以下とすれば、余弦の値からなす角を決められます。ただし割る前に、どちらの長さも0でないと確かめます。

もう1つは、文字を含む成分から垂直になる条件を探す型です。内積を0と置くと候補が出ますが、その候補で零ベクトルにならないかを最後に調べます。内積が0という式と、方向のある2本が直角に交わるという結論の間には、この確認が必要です。位置ベクトルや直線の方程式には広げず、ここでは平面上の2本の関係に集中します。

積の値と角の関係

ベクトルを a、b と書き、大きさをそれぞれ |a|、|b| とします。どちらも零ベクトルでないとき、始点をそろえた2本のなす角 θ は0°以上180°以下です。内積は次の数で定められます。

a・b = |a||b| cos θ

結果はベクトルではなく数です。0°では同じ向きなので余弦は1、90°では0、180°では-1です。したがって長さが正の2本について、鋭角なら内積は正、直角なら0、鈍角なら負になります。正負が向きを判定する理由は、長さの積が正で、符号を決めるのが余弦だからです。

図1のように、直角を境に内積の符号が変わります。左右の矢印はそれぞれ別の組の模式図で、長さの値を示す図ではありません。2本の始点をそろえた上で、どちらの開きを角として使うかも確認します。

成分が a = (x, y)、b = (u, v) なら、同じ内積を a・b = xu + yv と計算できます。対応する成分をかけてから足す点が重要です。横と縦を交差させてかけたり、2つの積を並べて成分にしたりしません。たとえば (1, 2) と (3, 4) の内積は1×3 + 2×4 = 11という1つの数です。

自分自身との内積 a・a は x² + y²、つまり |a|² です。長さを求めるときは、この非負の値の平方根を取ります。一方、a・b は a と b の順番を替えても同じです。成分の積の順を替えても値が変わらないことからも確かめられます。

零ベクトル 0 = (0, 0) とどんなベクトルとの内積も、成分の式では0です。しかし零ベクトルには向きがなく、なす角は定義しません。2本とも零ベクトルでないときに限り、内積が0であることと垂直であることが対応します。この条件を式の横に書いておくと、文字を含む問題で候補を落ち着いて吟味できます。

成分から角までつなぐ

例題です。a = (3, 1)、b = (1, 3) とします。内積を整数で求め、なす角の余弦を既約分数で求めてください。また、なす角が鋭角、直角、鈍角のどれかを答えてください。長さの単位は問いません。

図2のように、2本の始点を同じ点に置きます。横向きと縦向きの縮尺は等しく、a は右へ3、上へ1、b は右へ1、上へ3進む矢印です。図から鋭角に見えますが、答えは成分の計算から判断します。

まず、対応する成分の積を足します。

a・b = 3×1 + 1×3

= 3 + 3

= 6

次に長さを求めます。成分の平方和が長さの平方なので、正の平方根を取って次のようになります。

|a| = √(3² + 1²) = √10

|b| = √(1² + 3²) = √10

いずれも0ではありません。そこで角度の式を長さの積で割ることができます。

cos θ = (a・b)/(|a||b|)

= 6/(√10×√10)

= 6/10

= 3/5

余弦が正で、θ は0°以上180°以下ですから、θ は鋭角です。余弦が3/5であることと、角度が3/5度であることは別です。ここでは度数を求める必要はなく、符号から種類を判定します。

計算を条件に戻して確かめましょう。長さの積は10、求めた余弦は3/5なので、角度の式に戻すと10×3/5 = 6です。成分から求めた内積と一致します。積のどちらかを足し忘れるとこの一致が崩れますし、長さを√10でなく10と扱った場合も戻した値が変わります。

角の式を使うとき、分母を計算する前に2本の大きさを別々に書くと確認しやすくなります。2つの長さが同じでも、片方を書き忘れれば余弦が範囲外になることがあります。余弦は-1以上1以下なので、その範囲も途中計算の点検に使えます。ただし範囲内であれば必ず計算が正しいという意味ではありません。

角度が0°や180°の場合も、2本が零でなければ式を使えます。たとえば同じ向きの2本では余弦が1なので内積は長さの積です。反対向きなら余弦が-1なので、その積に負の符号が付きます。長さが同じである必要はありません。向きと長さを別に見ることで、内積の符号と大きさを取り違えにくくなります。

逆に、求めた余弦が2になった場合には、角度を決める前に計算を戻ります。対応する成分の積の符号、平方根を取った長さ、2つの長さの積を順番に見直します。余弦が取り得る範囲に入らないという結果は、条件を満たす角がないか、計算に誤りがあるという知らせです。与えられた2本の実際の成分から計算した場合は必ず範囲内になるので、途中式に戻ることができます。

また、内積が正だから長さも正だと推論する順番には注意します。内積の符号を使って角の種類を決めるには、先に2本が零でないと確かめなければなりません。内積が正または負なら結果として零ベクトルは含まれませんが、0のときは零ベクトルと直角の両方が候補に残ります。0の場合を別に調べる理由は、ここにあります。

文字の値で向きが消える場合

例題です。実数 t に対して p = (t, 2t)、q = (2, -1) とします。内積 p・q を求め、p と q が垂直になる t の範囲を答えてください。内積は整数係数の式で、t の範囲は不等号を用いて表します。

成分から計算すると、

p・q = t×2 + 2t×(-1)

= 2t − 2t

= 0

です。この式はどの実数 t についても成り立ちます。しかし、ここで「どの t でも垂直」と結論することはできません。t = 0 なら p = (0, 0) であり、その向きが定まらないからです。q は (2, -1) なので零ベクトルではありません。

t ≠ 0 なら p の第1成分は0ではなく、p も零ベクトルではありません。したがって2本とも零ベクトルでなく、内積が0なので垂直です。答えは t ≠ 0 です。t = 0 のときも内積の値は0ですが、なす角を90°と呼ぶことはできません。

答えを元の条件に戻します。t ≠ 0 のとき |p| = √(t² + 4t²) = √(5t²) で正、|q| = √5 で正です。長さの積で0を割れば余弦は0となり、なす角は90°です。逆に t = 0 では長さの積が0なので、余弦を求める割り算自体ができません。この差が、同じ内積0から異なる扱いへ分かれる理由です。

文字を含む別の問題では、内積0を解いた候補のうち一部だけが零ベクトルを作ることもあります。候補が出たら元の成分に代入し、各成分が同時に0になるかを確認します。候補を得る前に文字で割ると、その文字が0の可能性を失うこともあるので、割る必要がある場合は0の場合を先に調べます。

0を見た後の誤答を直す

図3のように、p = (0, 0)、q = (2, -1) を考えます。成分の計算は p・q = 0×2 + 0×(-1) = 0 です。「内積が0だから角は90°」という答えは、計算の箇所ではなく結論へ移る箇所に誤りがあります。

原因は、内積が0という条件を、零ベクトルを含む場合にもそのまま角度の判定に使ったことです。角度の式から cos θ = 0/(|p||q|) と書こうとしても、|p| = 0 なので分母が0になります。0で割る式は値を定められません。

修正するときは、まず「p は零ベクトルなので、q とのなす角は定義されない」と書きます。次に、内積の計算自体は0で正しいことを残します。値が出る計算と、その値から言えることを分ければ、正しい途中式まで消さずに直せます。

もう1つの失敗は、内積が負のときに長さまで負と考えることです。長さは0以上であり、零でないベクトルなら正です。内積が負であるとき、なす角は90°より大きく180°以下です。90°より大きく180°未満なら鈍角で、180°なら2本は反対向きです。たとえば長さがともに1で内積が-1なら、余弦は-1で角は180°です。反対向きという図にも戻して確認できます。

自分で試す4問

次の各問では、角度は0°以上180°以下とします。角度を求めるときは度数を整数で答え、内積と第3問の文字の値も整数で答えてください。単位の指定は角度の度のみです。問題を一通り考えてから、後の解答と照らしてください。

1. a = (2, -1)、b = (1, 2) の内積を求め、なす角を求めてください。
2. |c| = 2、|d| = 3、なす角が120°のとき、c・d を求めてください。
3. e = (s, 1)、f = (2, 4) が垂直になる実数 s を求めてください。
4. g = (r, r)、h = (1, -1) について、g・h を求め、g と h が垂直になる実数 r の範囲を不等号で答えてください。

解答と確かめ

1. a・b = 2×1 + (-1)×2 = 0 です。|a| = √5、|b| = √5 でともに0ではないので、なす角は90°です。元の成分に戻すと、横成分の積2と縦成分の積-2が打ち消し合います。角度の式でも √5×√5×cos 90° = 0 となり、求めた内積と合います。

2. 長さはともに正ですから、角度の式を使えます。cos 120° = -1/2 より、c・d = 2×3×(-1/2) = -3 です。逆に内積を長さの積6で割ると-1/2となり、指定された120°の余弦に戻ります。鈍角に対して負の値が出ていることも確認できます。

3. e・f = 2s + 4 です。垂直なら内積が0なので、2s + 4 = 0 を解き s = -2 を得ます。このとき e = (-2, 1)、f = (2, 4) はともに零ベクトルではありません。元の成分に代入すると (-2)×2 + 1×4 = 0 であり、候補は実際に垂直の条件を満たします。

4. g・h = r×1 + r×(-1) = 0 です。r = 0 では g が零ベクトルなので角は定義されません。r ≠ 0 なら g は零ベクトルでなく、h も零ベクトルでないため垂直です。答えは r ≠ 0 です。元の成分に戻しても2つの積は r と -r で、どの候補でも内積0になります。除いた r = 0 でも内積は0ですが、向きがないため垂直の答えには入りません。

実数の範囲を答える問題では、候補を1つ代入して確かめるだけでは足りません。式が任意の候補で成り立つことと、除いた値で何が起きるかの両方を調べます。第4問では成分が同時に0になる値が境目です。

手元に残す要点

• 内積は成分の対応する積を足した数です。
• 零でない2本の内積は長さの積と余弦の積です。
• 零でない2本では、内積0と垂直が対応します。
• 文字の候補は元の成分に戻し、零ベクトルを除きます。

どこで止まったかを見分ける

成分の積を足す前に手が止まるなら、横どうしと縦どうしを色や印で対応させてから式に移します。内積までは出せるのに角度が決まらないなら、2本の長さをそれぞれ求め、割る数が0でないかを先に確かめます。余弦を求めた後なら、0°から180°までのどの範囲でその符号になるかを確認します。

個別指導で確かめる場合も、答えの正誤だけでなく、内積の式、長さの式、零ベクトルの判定のどこで判断が変わったかを見ます。文字を含む問題では、出した値を成分に戻して向きが残るかを言葉で説明すると、計算と図形の対応を点検できます。向きの有無を確かめてから角を読むと、内積0の意味が明確になります。