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高校数学B 期待値と分散—平均からのずれと変換後の値を計算する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校の定期テスト数学B・C 単元別

値と確率から平均と分散を算出し、aX+bでずれの平方と標準偏差がどう変わるかを確かめられます。

よくあるのは、定期テスト前の高校生が分散を求める途中で、値の平方の平均まで計算し、平均の平方を引き忘れる場面です。表の数値を丁寧にかけたつもりでも、その答えは分散とは限りません。確率を重みとして使うことと、平均からのずれを平方することを、別々に確かめてみましょう。

ここで扱うのは、取り得る値が有限個の確率変数の期待値、分散、標準偏差と、その値を一定の数倍にしてから定数を加える変換です。確率分布そのものの作り方は与えられた表を読む範囲にとどめ、複数の確率変数の和は扱いません。

表からどの量を求めるか

出方の1つは、値と確率の表から期待値、分散、標準偏差を順に求める問題です。期待値を出してから各値との差を作る方法と、平方した値の期待値から平均の平方を引く方法があります。どちらを使っても同じ分散に着くので、途中の表が合っているか確かめる手がかりにもなります。

2つ目は、確率変数 X の期待値と分散が与えられたとき、Y = aX + b の期待値や分散を求める問題です。値を a 倍すると平均からのずれも a 倍ですが、分散はずれの平方の平均です。したがって、分散にかかるのは a ではなく a² です。b を足す操作は平均も同じだけ動かすので、ずれの大きさを変えません。

3つ目は、表の確率の一部を文字で置き、期待値の条件からその文字を求める問題です。確率の合計が 1 であることに加え、各確率が 0 以上であることを確認します。値の合計を 1 にする必要はありません。値と確率の行を混ぜず、問題が求める量を表の横に書いてから計算を始めると、途中の数が何を意味するか追いやすくなります。

平均とずれを別々に見る

確率変数 X が値 x₁, x₂, …, xₙ をそれぞれ確率 p₁, p₂, …, pₙ で取るとします。各確率は 0 以上で、p₁ + p₂ + … + pₙ = 1 です。期待値 E(X) は各値にその確率をかけて足したものです。これは確率を重みとする平均で、期待値自体が X の取り得る値に含まれるとは限りません。

E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ

たとえば同じ値でも確率が大きければ、期待値への寄与は大きくなります。負の値もその符号のままかけます。単純に値の個数で割る方法が使えるのは、各値の確率が等しい場合です。確率が異なる表では、値だけを見て平均を出すと重みを失います。

平均を m = E(X) とすると、分散 V(X) は平均からのずれの平方に、それぞれの確率をかけて足したものです。平方するので、平均より小さい値の負のずれも正の寄与になります。各ずれに対応する確率をかけて足すと、その和は常に0になるため、散らばりを測るにはずれを平方してから確率で重みづけします。

V(X) = (x₁ − m)²p₁ + (x₂ − m)²p₂ + … + (xₙ − m)²pₙ

図1のように、まず各値と平均との差を取り、その差を平方してから確率で重みをつけます。標準偏差は分散の負でない平方根です。分散は平方した単位で表され、標準偏差は元の値と同じ単位に戻ります。値が点数なら標準偏差も点ですが、分散は点²です。

図1の順序を式で展開すると、別の計算法が得られます。各項の (x − m)² を x² − 2mx + m² と展開し、確率をかけて足します。x の項の和は E(X) = m、確率の和は 1 なので、次の式になります。

V(X) = E(X²) − 2mE(X) + m² = E(X²) − m²

ここで E(X²) は「各値を先に平方し、その後に確率をかけて足す」量です。一方、(E(X))² は「期待値を出してから、その結果を平方する」量です。順序が違うため、通常は等しくありません。引き算の右側が E(X²) ではなく (E(X))² であることも、式のかっこで区別します。

分散は平方した量の重みつきの和なので負になりません。計算結果が負なら、確率の合計、値の平方、平均の平方、引き算の順を見直します。全ての可能な値が同じ場合はずれが 0 となり、分散と標準偏差も 0 です。逆に、確率が正の値の間に違いがあれば、少なくとも1つの平方したずれは正なので、分散は正です。

基本例題：得点の平均と散らばり

箱から札を1枚取り、札に書かれた点数を X 点とします。X は 0, 2, 4 のいずれかで、それぞれの確率は 1/4, 1/2, 1/4 です。期待値、分散、標準偏差を求めてください。期待値は点、分散は点²、標準偏差は点で表し、整数または根号を使った正確な形で答えます。

まず確率の合計は 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1 です。図2のように、同じ列の値と確率を対応させ、値に確率をかけます。0 点にも確率はありますが、期待値への寄与は 0 です。

E(X) = 0 × 1/4 + 2 × 1/2 + 4 × 1/4

= 0 + 1 + 1 = 2

よって期待値は 2 点です。次に値を平方してから確率をかけます。4 点の平方は 16 であり、4 点に確率をかけた後で平方するのではありません。

E(X²) = 0² × 1/4 + 2² × 1/2 + 4² × 1/4

= 0 + 4 × 1/2 + 16 × 1/4

= 0 + 2 + 4 = 6

分散を求めるには、ここで止まらず平均 2 の平方を引きます。

V(X) = E(X²) − (E(X))² = 6 − 2² = 2

したがって分散は 2 点²、標準偏差は √2 点です。√2 を小数に直す必要はありません。図2の 6 は平方の平均、2 は分散であり、異なる量です。

定義からも戻して確かめます。平均 2 点からのずれは順に -2, 0, 2 点です。各ずれを平方し、それぞれの札の確率で重みづけすると、4 × 1/4 + 0 × 1/2 + 4 × 1/4 = 2 点²となり、分散が一致します。平均についても、両端の点数は 2 点を中心に同じ確率で対称に配置され、中央の札は 2 点なので、2 点という結果に合います。

この照合では、平方したずれをそれぞれの確率に対応させています。平均と同じ 2 点の札は、引いたときのずれが 0 なので分散に寄与しません。分散が 2 点²だからといって、どの札も平均から √2 点離れているという意味ではない点にも注意します。

変換で何が動き、何が広がるか

別の箱の札には 1, 3, 5 の数が書かれ、それぞれの確率は 1/2, 1/4, 1/4 です。札の数を X とし、Y = -2X + 7 で新しい数を定めます。X と Y の期待値、分散、標準偏差を、それぞれ整数、分数または根号を使った正確な形で求めてください。数には単位を付けません。

まず X の平均を求めます。

E(X) = 1 × 1/2 + 3 × 1/4 + 5 × 1/4

= 2/4 + 3/4 + 5/4 = 5/2

平方の平均は、各値を平方してから重みをかけて、次のようになります。

E(X²) = 1² × 1/2 + 3² × 1/4 + 5² × 1/4

= 2/4 + 9/4 + 25/4 = 9

V(X) = 9 − (5/2)² = 36/4 − 25/4 = 11/4

したがって X の標準偏差は √11/2 です。変換後の平均は E(Y) = -2E(X) + 7 = -5 + 7 = 2 です。Y の平均からのずれを計算すると、Y − E(Y) = -2X + 7 − 2 = -2(X − 5/2) となります。ずれは符号が反転して2倍になり、ずれの平方は4倍です。

V(Y) = (-2)²V(X) = 4 × 11/4 = 11

Y の標準偏差は √11 です。一般に、Y = aX + b なら E(Y) = aE(X) + b、V(Y) = a²V(X) です。標準偏差は a 倍ではなく、a の絶対値倍です。a が負でも標準偏差は負にならず、a = 0 なら Y は一定値 b で分散は 0 になります。

実際の札に戻すと、X が 1, 3, 5 のとき Y は順に 5, 1, -3 で、確率は元の札の 1/2, 1/4, 1/4 のままです。Y の平均は 5 × 1/2 + 1 × 1/4 − 3 × 1/4 = 2 となります。平均からのずれ 3, -1, -5 を平方して重みづけすると、9 × 1/2 + 1 × 1/4 + 25 × 1/4 = 11 です。変換公式の答えが、元の条件を変換した分布にも戻ることを確認できました。

分かれ目は、定数を足す操作と倍率をかける操作です。たとえば b だけが変わると、各値と平均が一緒に移るのでずれは残ります。一方、a が変わるとずれ自体が伸縮します。平均には b が残るのに分散には残らない理由を、公式の暗記だけでなく差の式から説明できるようにします。

間違えた式をどこで直すか

基本例題で E(X²) = 6 を得た後、そのまま「分散は 6 点²」とする答案を考えます。平方の平均を求める行までは合っています。誤りは、その次に平均の平方を引く操作を抜かしたところです。図3のように、6 と分散の間に − 2² を置けば、正しい値 2 点²に直せます。

図3では 6 が E(X²)、2 が E(X) です。右の 2 は分散で、左の平均と同じ数字でも意味と単位が違います。値を入れる前に V(X) = E(X²) − (E(X))² と書き、2つの欄を埋めると引き忘れに気づきやすくなります。

別の誤りは、標準偏差を出す際に分散をもう一度平方することです。分散が 2 点²なら、その負でない平方根を取って √2 点に戻します。さらに Y = -2X + 7 で分散を -2 倍する誤りもあります。ずれの符号は反転しますが、その平方は正で4倍なので、分散に負の倍率をそのままかけることはできません。

自分で試す4問

先に4問を解いてから、下の解答と照らしてください。いずれも与えた確率で値が決まる自作の設定です。期待値や標準偏差は指定した単位で、分数や根号を含め正確に表します。

目盛り付きのカードを1枚選ぶとき、値 A は -1, 1, 3 で、それぞれの確率は 1/4, 1/2, 1/4 です。E(A)、V(A)、標準偏差を整数または根号で求めてください。単位はありません。
小箱から取り出す球の記号に応じて B を決めます。B = 0 の確率は 2/3、B = 3 の確率は 1/3 です。期待値を整数、分散を整数、標準偏差を根号で求めてください。単位はありません。
ある駒の移動量 X は 2 cm または 4 cm で、確率は順に 3/4, 1/4 です。Y = 3X − 1 cm と定めます。X と Y の期待値、分散、標準偏差を、分数と根号を使った正確な形で求めてください。期待値と標準偏差は cm、分散は cm² で表します。
ルーレットが示す数 Z は 0, 2, 6 です。0 が出る確率を p、2 が出る確率を 1/2、6 が出る確率を 1/2 − p とします。E(Z) = 3 のとき、p と V(Z) を分数または整数で求めてください。数に単位はありません。

解答を条件に戻す

E(A) = (-1) × 1/4 + 1 × 1/2 + 3 × 1/4 = (-1 + 2 + 3)/4 = 1 です。E(A²) = 1 × 1/4 + 1 × 1/2 + 9 × 1/4 = 3 なので、V(A) = 3 − 1² = 2、標準偏差は √2 です。元のカードの値から平均 1 を引くと -2, 0, 2 です。平方してそれぞれの確率で足すと 4 × 1/4 + 0 × 1/2 + 4 × 1/4 = 2 となり、条件に戻して確かめられます。
E(B) = 0 × 2/3 + 3 × 1/3 = 1 です。E(B²) = 0² × 2/3 + 3² × 1/3 = 3 なので、V(B) = 3 − 1² = 2、標準偏差は √2 です。球の記号が与える値に戻すと、平均 1 からのずれは -1 と 2 です。その平方の加重和は 1 × 2/3 + 4 × 1/3 = 2 で一致します。値の種類が2つでも、重みが等しいとは限りません。
E(X) = 2 × 3/4 + 4 × 1/4 = 5/2 cm、E(X²) = 4 × 3/4 + 16 × 1/4 = 7 cm² です。V(X) = 7 − (5/2)² = 3/4 cm²、標準偏差は √3/2 cm です。変換の式から E(Y) = 3 × 5/2 − 1 = 13/2 cm、V(Y) = 3² × 3/4 = 27/4 cm²、標準偏差は 3√3/2 cm です。

元の移動量に戻すと、Y は 5 cm と 11 cm を順に確率 3/4 と 1/4 で取ります。平均は 5 × 3/4 + 11 × 1/4 = 13/2 cm です。平均との差は -3/2 cm と 9/2 cm なので、その平方を重みづけすると (9/4) × 3/4 + (81/4) × 1/4 = 27/4 cm² となります。引く 1 cm は平均に反映され、分散には残らないことも確かめられます。

期待値の条件は 0 × p + 2 × 1/2 + 6 × (1/2 − p) = 3 です。左辺を整理すると 4 − 6p = 3 なので、p = 1/6 です。各確率は 1/6, 1/2, 1/3 となり、0 以上で合計も 1 です。元の値と確率で期待値を計算し直すと、0 × 1/6 + 2 × 1/2 + 6 × 1/3 = 3 で、条件に戻ります。

E(Z²) = 0² × 1/6 + 2² × 1/2 + 6² × 1/3 = 14 です。V(Z) = 14 − 3² = 5 となります。平均からのずれ -3, -1, 3 の平方を確率で重みづけしても、9 × 1/6 + 1 × 1/2 + 9 × 1/3 = 5 です。文字を含む確率は、方程式を解いた後に負になっていないかも確かめます。