高校数学B 確率変数と確率分布—値と確率を表にして事象を読み取る｜武蔵野個別指導塾

値と確率の行を区別し、条件に合う列を選んで足す手順から確率分布を読み解きます。

よくあるのは、定期テスト前に確率分布の表を埋めるとき、確率変数の値を足して1にそろえようとする場面です。表には数が2種類並ぶため、どちらの行を足すのか迷うことがあります。値は結果に付けた数であり、1になるように調整するものではありません。1になるのは、起こり得る値に対応する確率の合計です。まず行の役割を分け、次に問いに合う列を選んでみましょう。

表から問われること

出方の1つは、試行の結果に数を対応させ、その値ごとの確率を表にする問題です。同じ値になる結果が複数あるなら、それらの確率を集めて1列にします。結果の種類と、確率変数がとる値の種類は必ずしも同じ数ではありません。

別の型は、確率の合計が1であることを使って表の空欄を求める問題です。空欄が出たら、残りの確率を足して1から引きます。得られた数が0以上1以下かも確かめます。合計が1でも負の数を含む表は確率分布として使えません。

さらに、表から「以上」「未満」などの条件に合う確率を読む型があります。境界の値を含むかを見て列を選び、その列の確率を足します。ここでは離散的な値をとる確率変数を扱います。期待値や分散の計算には踏み込みません。

値と確率の行を分ける

試行の結果によって値が定まる変数を確率変数といいます。例えば、同じ形の札を1枚引き、書かれた数をXと決めれば、引く前のXは結果に応じて変わります。引いた後に札の数が2と決まったなら、その回の観測された値は2です。Xという変数と、実際に得た1回分の値は区別します。

図1のように、上の行にXの値、下の行にその値をとる確率を対応させます。ここでは値が-1、2、4で、それぞれの確率が1/4、1/2、1/4です。各確率は0以上で、合計は1/4 + 1/2 + 1/4 = 1です。一方、値の合計は5ですが、それを1にする必要はありません。

図1の表では、Xが2以上となる列は2と4の列です。対応する確率を足して1/2 + 1/4 = 3/4となります。値の2と4を足すのではありません。条件を満たす値を列の目印として使い、答えにはその下にある確率を使います。

確率分布とは、確率変数がどの値をどの確率でとるかを示した対応です。値を並べただけでは分布は完成しません。また、同じ値を別々の列に残すと、その値の確率を読み落としやすくなります。値ごとに確率をまとめた後、起こり得る値を落としていないかと確率の合計を点検します。

試行の結果が同様に確からしいと指定されている場合、ある値に対応する結果の個数を全結果の個数で割れます。同様に確からしいという条件がない場合は、個数だけで確率を決められません。それぞれに与えられた確率を足す必要があります。

表が与えられたときは、まず値の一覧がどの試行に対応しているかを読みます。例えば、1回の試行で必ずどれか1つの値をとるなら、異なる値に対応する事象は同時には起こりません。そのため、複数の列を選んだ事象の確率は、それぞれの確率の和で求められます。重なった結果を二重に数えていないかは、同じ値を1列にまとめる段階で確かめます。

条件に合わない列を使う方法もあります。表にある値がすべてを尽くしているとき、求める事象と、その事象が起こらない場合の確率の和は1です。条件に合う列が多く、合わない列が少ないなら、後者の確率を1から引くと計算を短くできます。ただし、どの列を除いたかを明示し、境界が除く側に入るかを先に確認します。直接足した答えと一致するかを見ることもできます。

基本例題：札の色から点を決める

袋に同じ形の札が6枚あり、赤が1枚、青が2枚、緑が3枚入っています。1枚を無作為に引き、赤ならX = 3、青ならX = 1、緑ならX = 0とします。Xの確率分布を表にし、Xが1以上となる確率を既約分数で求めてください。各札が選ばれる確率は等しいものとします。

まず、Xの値は札の枚数ではなく、色によって決めた0、1、3です。緑の札は6枚中3枚なので、X = 0となる確率は3/6 = 1/2です。青は2枚なので、X = 1となる確率は2/6 = 1/3です。赤は1枚なので、X = 3となる確率は1/6です。

確率の合計を分母6にそろえると、3/6 + 2/6 + 1/6 = 6/6 = 1です。どの札を引いても赤、青、緑のいずれかであることにも対応します。値の合計0 + 1 + 3 = 4は、この点検には使いません。

図2のように、1以上の値は1と3です。1も境界に含めるので、青と赤に対応する2列を選びます。求める確率は1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2です。

図2に戻すと、選んだ青と赤の札は合わせて3枚です。全6枚のうち3枚なので3/6 = 1/2となり、表からの答えと一致します。この戻し方は、列を選び間違えた場合の点検にも使えます。例えば「1より大きい」なら1の列は除き、3の列の1/6になります。

同じ値になる結果をまとめる

次は、色と値が1対1に対応しない場合です。同じ形の札が8枚あり、白が2枚、黄が3枚、紫が1枚、黒が2枚です。1枚を無作為に引き、白または黄ならY = 2、紫ならY = 5、黒ならY = -1とします。各札が選ばれる確率は等しいものとして、Yの確率分布と、Yが0より大きく5未満となる確率を既約分数で求めてください。

白と黄は色が異なりますが、どちらもY = 2です。したがって、2となる確率は白の2/8と黄の3/8を足して5/8です。紫のY = 5は1/8、黒のY = -1は2/8 = 1/4です。値を小さい順に並べると次のようになります。

確率を足すと2/8 + 5/8 + 1/8 = 1です。条件の「0より大きく5未満」に入る値は2です。5は未満の境界なので含めず、-1は0より大きくありません。よって求める確率は5/8です。札に戻しても白と黄の5枚が条件に合い、8枚中5枚です。

分かれ目は、色を区別して数える段階と、同じ値の確率をまとめる段階です。白と黄をそれぞれ数えることは必要ですが、分布の完成時には両方の確率をY = 2の列に集めます。逆に、5の列を含めて6/8とする誤りは「未満」を「以下」と読んだことが原因です。条件の記号と境界の扱いを先に書くと修正できます。

間違えた表を直す

図3のように、値が0、2、5で、確率が1/3、a、1/6の表を考えます。空欄aを求める際、「0 + 2 + 5 = 7だから値を調整する」と考えるのは誤りです。値は問題で定められた結果の表現であり、勝手に変えられません。

図3の下の行を使えば、1/3 + a + 1/6 = 1です。したがってa = 1 − 1/3 − 1/6 = 1 − 2/6 − 1/6 = 1/2です。確率はそれぞれ0以上1以下で、合計も1になります。値の行の合計7は変えずに残ります。

別の誤りとして、確率の合計だけを見て、1/3、-1/6、5/6を有効な分布とする場合があります。確かに合計は1ですが、-1/6は負なので確率にはなりません。合計の点検と各確率の範囲の点検は別々に行います。表の空欄を求めた後も、両方を確認する習慣をつけましょう。

事象の列選びにも失敗があります。Xが2以下を求める際に、0の列だけを選ぶと、境界の2を落とします。2以下には2を含むため、正しくは0と2の確率を足し、1/3 + 1/2 = 5/6です。反対に2未満なら0の列だけで1/3です。言葉を不等号に直してから表と照合すると、違いを追えます。

空欄が文字で与えられた表では、計算した値が負になる場合にも注意します。例えば、他の列の確率がすでに合計1を超えていれば、残りを1から引いた値は負です。その条件を満たす確率分布は作れません。計算結果をそのまま表に書いて終了せず、確率として許される範囲にあるかに戻ります。

同様に、表の行や列を読み違えて、条件に合わない値の確率を加えることもあります。計算が正確でも、選んだ列が違えば事象の答えは違います。まず値を選び、その後に確率を取り出すという2段階を書き残せば、どこで間違えたかを見つけやすくなります。求めた数が1を超えた場合は、列を重複して足していないかも点検します。

手を動かす問題

次の4問はそれぞれ独立した自作の設定です。確率は既約分数で答え、分布は値と確率の表で示してください。札やカードは同じ形で、1枚を無作為に選ぶとき各枚が選ばれる確率は等しいものとします。

1. 7枚のカードに、数字0が2枚、数字4が4枚、数字6が1枚書かれています。引いたカードの数字をAとします。Aの確率分布と、Aが4以上となる確率を求めてください。
2. 10枚の札のうち、星印が3枚、丸印が2枚、三角印が5枚です。星印または丸印ならB = 1、三角印ならB = 8とします。Bの確率分布と、Bが8未満となる確率を求めてください。
3. Cの値は-2、1、7で、対応する確率は順に1/5、b、2/5です。bと、Cが1より大きい確率を求めてください。
4. Dの値は0、3、9で、対応する確率は順に1/6、1/2、1/3です。Dが3以下となる確率と、Dが3未満となる確率をそれぞれ求めてください。

問題の答えと道筋

1. それぞれの枚数を7で割るので、分布は次の表です。

4以上には4と6を含めるため、4/7 + 1/7 = 5/7です。カードに戻すと、該当する4のカード4枚と6のカード1枚は合計5枚で、全7枚と対応します。確率の合計も2/7 + 4/7 + 1/7 = 1です。

2. 同じ値1となる星印と丸印をまとめると、3/10 + 2/10 = 1/2です。三角印は5/10 = 1/2なので、分布は次の表です。

8未満に入る値は1なので、答えは1/2です。元の札では星印と丸印の合計5枚が該当し、5/10 = 1/2となります。8そのものは未満の条件に入りません。

3. 確率の合計から1/5 + b + 2/5 = 1です。よってb = 1 − 3/5 = 2/5です。これを戻すと1/5 + 2/5 + 2/5 = 1で、どの確率も0以上1以下です。1より大きい値は7なので、求める確率は2/5です。1の列は境界を含まないため選びません。

4. 3以下は0と3の列ですから、1/6 + 1/2 = 1/6 + 3/6 = 2/3です。3未満は0の列なので1/6です。表に戻ると、以下の場合に含む3の列の確率1/2が、2つの答えの差2/3 − 1/6 = 1/2と一致します。確率の合計は1/6 + 1/2 + 1/3 = 1です。

表の確率は、その列にある値をとる事象についての数です。問題4では3を含むかどうかで、ちょうど3の列の分だけ答えが変わります。境界の値が表に存在しない場合には、含むかどうかを変えても選ばれる列は変わりません。条件と実際にとる値の両方を見て判断します。

手元に残す要点

値は結果に対応させた数、確率はその値の起こりやすさです。
各確率が0以上1以下で、確率の合計が1か調べます。
同じ値になる結果の確率をまとめます。
条件に合う値を選び、対応する確率を足します。
以上・以下は境界を含み、より大きい・未満は含みません。

どこで止まったかを見る

表を作れないときは、まず1つの結果を指して、指定された値を言えるか確かめます。値は書けるのに確率が出ないなら、同様に確からしい結果の総数と、その値に対応する個数を分けて数えます。複数の結果が同じ値に集まるところで止まった場合は、結果の一覧から同じ値を線で結ぶと、足す対象が見えます。

表は完成しても事象を読めない場合は、答えの計算を始める前に、条件に合う値の列に印を付けます。個別指導では、その印と「未満」「以下」の境界が一致しているかを確かめ、次に確率の行を足したかを見ます。答えが合っていても、異なる列を偶然同じ合計にした可能性があるため、元の札の枚数にも戻します。値と確率の役割を分ければ、表は事象を読む道具になります。