高校数学B 等比数列—定期テストで公比と項数を確かめ一般項と和を求める｜武蔵野個別指導塾

負の公比で交互に変わる符号を追い、公比1の有限和を同じ項の足し算で求める手順を整理します。

よくあるのは、定期テスト前の高校生が等比数列の和の公式に公比1を入れ、分母を0にしてしまう場面です。式を覚えていても、その式を使える条件を見落とすと計算はそこで止まります。まず隣の項への倍率を調べ、1なら同じ数を項数分だけ足します。1でない場合は、ずらして引く方法で有限個の和を求められます。

ここでは初項から有限個の項を足す問題を扱います。公比が負のときの符号、途中から始まる和の項数も確認します。無限に項を足す話には進みません。

問題文から拾う3つの型

第1の型は、並んだ数から公比を見つけ、指定された項を求める問題です。前の項に同じ数をかけて次の項になるかを見ます。一般項の指数は項番号そのものではなく、初項から何回かけたかを表します。第1項では0回、第2項では1回です。

第2の型は、初項から指定された項までの和です。公比が1でないときには、和を公比倍して引き、両端の項を残せます。公比が負でも同じ手順が使えますが、累乗の符号と引き算の符号を別々に確認します。

第3の型は、初項と途中の項から公比や和を求める問題です。偶数乗の値から公比を求めるときには、正と負の候補が出ることがあります。公比1が候補に入るなら、和を計算する段階で分岐します。答えが条件を満たすかを元の項に戻して調べるまでが解答です。

倍率と項数を図で分ける

等比数列は、隣り合う項の間で一定の数をかけて進む数列です。その一定の数を公比と呼びます。初項をa、公比をrとすると、第1項から第4項までは順に a、ar、ar²、ar³ です。図1のように、項の番号が1増えるたびに、かける回数が1増えます。

図1では第1項にrを0回かけています。したがって、正の整数nについて第n項をaₙと書けば、aₙ = arⁿ⁻¹です。指数のn-1は、初項を第1項と数えることから生じます。たとえば第4項に進むには、初項から3回かけます。

公比が負なら、0でない項の符号は正、負、正、負のように交互に変わります。負の数の偶数乗は正、奇数乗は負だからです。公比が0なら、初項の次からは0が並びます。0で割って公比を探すことはできないため、隣の項を割る方法は割る項が0でないときに使います。

初項から第n項までの和をSₙとすると、rが1でない場合は Sₙ = a(1-rⁿ)/(1-r) です。分母が0にならない条件を式と組にして覚えます。rが1の場合は各項がaなので、Sₙ = naです。1でない場合の式をそのまま1に代入してはいけません。

途中の第p項から第q項までを足すとき、両端を含む項数はq-p+1です。たとえば第3項から第6項なら、3、4、5、6の4項です。差の6-3は項と項の間の数なので、両端を含めるために1を足します。途中から始める場合はその最初の項を新たな初項とみなすか、初めからの和を引いて求めます。

和の式ができる理由

公式を文字のまま一度作ると、条件と指数の意味がつながります。Sを初項aからn項の和とすれば、S = a + ar + ar² + … + arⁿ⁻¹です。両辺にrをかけると、rS = ar + ar² + … + arⁿとなります。上の式から下の式を引くと、途中の項は符号が反対になって消えます。残るのは初項aと、下の式の最後の項を引いた-arⁿです。

よって (1-r)S = a(1-rⁿ) です。ここまではrが1でも成り立ちます。しかしSを取り出すために1-rで割るには、1-rが0でないことが必要です。r = 1ではこの割り算ができないので、同じ項を直接足します。公式に付く条件は、導く途中の割り算から生じると考えられます。

項数が1の場合も点検できます。rが1でなければ、公式の分子と分母に同じ1-rが現れ、和はaです。rが1でも1 × aなのでaです。第1項だけの和が初項と一致することは、指数や項数を取り違えていないかを見る小さな手掛かりになります。

基本例題：負の倍率で5項を足す

初項が3、公比が-2の等比数列について、第5項と初項から第5項までの和を求めてください。答えはそれぞれ整数で表します。

第5項を求めるには、初項3から公比を4回かけます。一般項の式に代入すると、次のようになります。

a₅ = 3 × (-2)⁴
= 3 × 16
= 48

指数4は偶数なので、(-2)⁴は正の16です。図2のように実際の項を並べると、3、-6、12、-24、48となり、第5項も確かめられます。図の矢印は、隣の項へ-2をかける操作を表しています。

和をSと置き、各項を並べて公比倍します。

S = 3 − 6 + 12 − 24 + 48
-2S = -6 + 12 − 24 + 48 − 96

下の式は上の各項に-2をかけたものです。上の式から下の式を引くと、-6から48までの項が消え、両端だけが残ります。

S − (-2S) = 3 − (-96)
3S = 99
S = 33

公式を使う場合も同じ結果です。公比-2は1ではないため、分母が0になりません。

S = 3｛1-(-2)⁵｝/{1-(-2)}
= 3 × (1+32)/3
= 33

最後の項の指数は4ですが、和の式の指数は項数の5です。ずらして引いたとき、最後の項48にもさらに-2をかけた-96が残るためです。元の5項を直接足しても 3-6+12-24+48 = 33 となります。第5項48と和33は別の量なので、求めるものを読み違えないようにします。

条件から公比が2通り出る場合

初項が2、第3項が2の等比数列を考えます。公比は実数とし、公比と初項から第4項までの和をそれぞれ求めてください。公比と和は整数で表します。

第3項は初項に公比を2回かけた項です。公比をrとすると、2r² = 2、したがってr² = 1です。ここで平方が1となる実数は1と-1です。正の1だけを選ぶと、負の公比で符号が2回反転する場合を落とします。

r = 1なら、並ぶ4項は2、2、2、2です。和は2 × 4 = 8です。この場合は1-rが0なので、分母に1-rを持つ公式を使いません。

r = -1なら、並ぶ4項は2、-2、2、-2です。和は0です。こちらは公比が1でないため公式も使えますが、隣同士の和が0になることから直接足しても求められます。

元の条件に戻すと、どちらも第1項は2で、第3項も2です。第3項までの2回の掛け算では、1でも-1でも倍率の積が1になります。一方、第2項はそれぞれ2と-2です。もし第2項が正という条件が追加されれば、-1の候補は除かれます。条件を追加する前に片方を消さないことが分かれ目です。

間違えた式をどこから直すか

公比1の数列7、7、7、7について、4項の和を求める場面を考えます。誤って 7(1-1⁴)/(1-1) と書くと、分母は0です。分子も0ですが、0を0で割って1とすることはできず、この式から和は決まりません。

原因は、和の公式が1-rで割る操作を含むのに、公比を先に確かめていないことです。図3のように倍率が1なら項が変わらないと見て、7を4回足します。正しい和は7 × 4 = 28です。式を直した後も、並べた4項の合計に戻って確認できます。

もう1つの誤りは、負の公比の累乗を常に負とすることです。たとえば基本例題の(-2)⁴を-16とすると第5項の符号が逆になります。括弧をつけたまま4個の-2の積と読み、負の因子を2個ずつ組にします。和の計算で式全体を引くときも、括弧の前の負号を各項へ分配します。累乗の符号と引き算の符号は、それぞれ別の段階で点検してください。

また、第3項から第6項までを3項と数えると、最後の項を足し落とします。番号を3、4、5、6と書けば4項あると確認できます。公式の指数を入れる前に、最初と最後の番号と項数を欄外に置くと、途中からの和でも対応が明確になります。

途中からの和を別の方法で確かめる

初項から第q項までの和をSｑ、第p-1項までの和をSₚ₋₁とすると、第p項から第q項までの和はSｑ − Sₚ₋₁です。前半を引くと第1項から第p-1項が消え、欲しい範囲が残ります。p = 1なら引く前半はなく、初項からの和をそのまま使います。

この方法では2つの和の終点が異なります。引くのは第p項までの和ではなく、その直前までの和です。第p項まで引くと、求めたい最初の項も消えてしまいます。対象の範囲を丸で囲み、引く範囲と重なっていないかを確認してください。

一方、対象の初めを新たな初項とする方法では、項数の数え方が重要です。どちらの方法でも同じ項を足しているため、答えは一致します。計算が食い違ったときは、2つの式を繰り返し展開する前に、それぞれがどの番号からどの番号までを表すかを見比べます。

手を動かす問題

次の4問はそれぞれ独立しています。項番号は初項を第1項とし、各答えは指定された形で表してください。

1. 初項5、公比3の等比数列の第4項と、初項から第4項までの和を整数で求めてください。
2. 初項-4、公比-1/2の等比数列の第4項と、初項から第4項までの和を既約分数または整数で求めてください。
3. 初項6、第3項6の等比数列について、公比は実数です。公比と初項から第3項までの和を、可能な場合ごとに整数で求めてください。
4. 初項1、公比2の等比数列の第4項から第7項までの和を整数で求めてください。

問題を解くときは、数値を式に入れる前に、初項、公比、最後の番号を別々に書き出してください。第4問では第4項が元の数列の初項ではありません。対象の区間に限って和の公式を使うときに、その区間の最初の項として扱います。

第3問は和を先に求める問題ではなく、まず条件を満たす倍率を探す問題です。平方の式を解いた後、それぞれの倍率で項を並べれば、和に必要な分岐が見えます。途中式を省いて一方の候補を選ぶと、与えられた条件を満たす別の数列を見落とします。

解答と確かめ

1. 第4項は 5 × 3³ = 135 です。公比は1でないので、和は 5(1-3⁴)/(1-3) = 5 × (-80)/(-2) = 200 です。元の項は5、15、45、135で、直接足しても200です。第4項までの移動が3回であることも項を並べて確認できます。

2. 第4項は (-4) × (-1/2)³ = (-4) × (-1/8) = 1/2 です。和は (-4)｛1-(-1/2)⁴｝/{1-(-1/2)} = (-4) × (15/16) ÷ (3/2) = -5/2 です。元の4項は-4、2、-1、1/2で、足すと-5/2です。各項を前の項の-1/2倍にすると、問題の倍率にも戻ります。

3. 公比をrとすると、第3項の条件から 6r² = 6、つまりr² = 1です。r = 1なら3項は6、6、6で和は18です。r = -1なら6、-6、6で和は6です。いずれも第3項が6であることを確かめられます。前者では公比1のため、項数をかけて和を求めます。

4. 第4項は1 × 2³ = 8です。第4項から第7項までは 7-4+1 = 4 項なので、8を初項、公比2として 8(1-2⁴)/(1-2) = 120 です。元の数列で対象の項を並べると8、16、32、64で、合計は120です。第7項64まで含めたことも確かめられます。

要点の整理

初項から第n項への掛け算はn-1回です。
有限和の公式を使う前に、公比が1か調べます。
公比1なら、和は初項に項数をかけます。
負の公比は累乗の偶奇と引き算の符号を分けて見ます。
途中からの項数は、最後の番号から最初の番号を引いて1を足します。

途中式のどこで止まるかを見る

一般項が合わないときは、第1項と第2項を本人の式に代入してみます。第1項に公比が余分にかかるなら、項番号と掛け算の回数を図で対応させます。第3項以降で符号が合わなければ、負の公比を括弧ごと累乗しているかを見ます。

和が合わないときは、最初に公比1の判定をしたか、次に何項を足すかを確かめます。個別指導では、並べた項とずらした式を本人に指してもらい、消える項と残る両端を確認します。式の形を覚え直す前に、どの項を足しているかを言葉にすると、計算の分岐を選びやすくなります。公比と項数が定まれば、有限和の道筋も定まります。