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高校数学B 等差数列—初項と公差から一般項と和の式を組み立てる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校の定期テスト数学B・C 単元別

一般項の移動回数と和の項数を分け、末項から番号を逆算するときに正の整数の条件まで確かめます。

よくあるのは、定期テスト前に和の公式を使った高校生が、足す項数をnではなくn-1としてしまう場面です。第1項から第2項へは1回、第3項へは2回進みます。この数え方は和を求めるときの項数nとは違います。両者を同じものとして扱うと、一般項も末項もずれてしまいます。初項、公差、項の番号を対応させ、計算の途中でどの数を数えているかを確かめましょう。

要点（結論から）

第n項までの公差の加算はn-1回です。
和は項数×(初項+末項)/2です。
項数を逆算したら正の整数か確かめます。

問われ方を見分ける

等差数列では、隣り合う項の差が一定です。まず、初項と公差から指定された項や一般項を求める型があります。例えば初項が負でも、公差が正なら項は進むたびに増えます。符号を含めて差を取ることが出発点です。

次に、初項からある項までの和を求める型があります。初項と末項の平均に項数をかける考え方を使うと、項を一つずつ足さなくても計算できます。末項が与えられていない場合は、先に一般項で求めます。

もう一つは、末項や和の条件から項数を逆算する型です。項数は正の整数なので、方程式の解をそのまま採用せず、元の条件に戻します。数列の一部だけを足すときは、両端を含む個数にも注意します。ここでは等差数列を扱い、別の規則で増減する数列には広げません。

項と間隔を別々に数える

初項をa、公差をdとすると、第1項はa、第2項はa+d、第3項はa+2dです。初項から第n項へ進む間隔はn-1個ですから、一般項は aₙ=a+(n-1)d です。nは項の番号を表す正の整数です。図1のように、4つの項の間には3つの間隔があります。

図1では各間隔にdを1回ずつ加えます。第4項はa+3dであり、4dではありません。一方、初項から第4項までを足すなら項数は4です。間隔の個数と、足される項の個数を別々に指でたどると違いが見えます。

公差は後の項から前の項を引いて求めます。例えば 8, 5, 2, -1, … なら、5-8=-3なので公差は-3です。差が負でも等差数列です。第1項から第n項までの和をSₙとすると、末項をlとして Sₙ=n(a+l)/2 と書けます。末項に一般項を代入すれば Sₙ=n{2a+(n-1)d}/2 です。

この式は、前から並べた和と後ろから並べた和を足して作れます。対応する各組の和は初項と末項の和に等しく、組はn個です。元の和を2回数えているため、最後に2で割ります。nが奇数でも中央の項は自分自身と組になり、同じ説明が使えます。

基本例題：項を求めてから足す

初項が4、公差が3の等差数列について、第8項と初項から第8項までの和を求めてください。答えは整数で表します。

まず一般項にa=4、d=3を代入します。第n項に着くまでの移動はn-1回なので、次のようになります。

aₙ=4+(n-1)×3

=4+3n-3

=3n+1

第8項ではnに8を代入します。第1項に3を7回加えることと同じです。

a₈=3×8+1=25

図2のように、初項4と末項25を組にすると和は29です。前後を入れ替えた2つの和を重ねたと考えると、この組が8個できます。

したがって、求める和S₈は次のとおりです。

2S₈=8×(4+25)

=8×29=232

S₈=232/2=116

答えは第8項が25、和が116です。実際の項は4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25です。両端から組にすると29が4組あるので、29×4=116と元の並びでも確かめられます。第8項に着くまでの公差は7回、足した項は8個です。

別の式からも計算できます。S₈=8{2×4+(8-1)×3}/2に代入すると、かっこの中は8+21=29です。末項を先に求める方法と同じ値になります。式を覚えていても、末項に8回公差を加えると誤るので、n-1の意味をその都度確かめます。

末項から項数を探す

初項が31、公差が-2の等差数列で、初項からある項までの和が160です。末項の番号とその値を求めてください。答えは整数で表します。

末項の番号をnとします。一般項は aₙ=31-2(n-1)=33-2n です。和の式に代入し、条件を式にします。

Sₙ=n(31+33-2n)/2

=n(32-n)

これが160なので、n(32-n)=160です。整理すると n²-32n+160=0、したがって (n-8)(n-20)=0 です。n=8またはn=20となり、どちらも正の整数です。

n=8なら末項は33-2×8=17、n=20なら末項は33-2×20=-7です。前者は8×(31+17)/2=192となり、160ではありません。ここで式の整理をもう一度見ると、n(64-2n)/2はn(32-n)であり、n=8では192です。つまり因数分解が誤りです。

正しくは n²-32n+160=0 を平方完成して (n-16)²=96 とします。解は 16±4√6 で、どちらも整数ではありません。したがって、この条件を満たす項はありません。答えは「該当する項なし」です。和の方程式が解けても、番号が正の整数でなければ採用できないところが分かれ目です。

公差が負のときは、途中まで正の項を足して和が増えた後、負の項を足すことで和が減る場合があります。そのため、条件によっては異なる2つの項数が同じ和を与えることもあります。式を解いた後は、両方の番号を検討し、末項と和を元の条件に戻して確認します。解が整数にならない場合を見落とさないことも、項数の問題の一部です。

ずれた答えを直す

初項4、公差3の数列の第8項を 4+8×3=28 とする誤答を考えます。原因は、第8項という番号を公差を加える回数と取り違えたことです。図3のように初項を出発点として数え直すと、第8項までの間隔は7個です。

図3の正しい経路では 4+7×3=25 です。誤った28はさらに1回進んだ第9項です。n=1を一般項に代入し、初項4に戻るかも試します。4+3nではn=1のとき7になり、初項に一致しません。

和でも似た取り違えが起こります。第8項までの和を求めるとき、間隔が7個だからといって平均に7をかけると、8個の項のうち1個分を数え損ねます。一般項では間隔、和では足す項を数えると書き分けてください。

また、第3項から第8項までは8-3=5個ではなく、両端を含めて8-3+1=6個です。まず第3項を1個として数え始めます。項数を誤ると、両端の値が正しくても和は合いません。短い範囲を実際に並べて、式の個数と照らします。

条件を式に移すときの確認

初項や公差が直接書かれていない場合は、与えられた項同士の間隔から始めます。例えば第2項が6、第5項が18なら、2つの項の間には3つの間隔があります。差は18-6=12なので、公差は12/3=4です。第2項は初項に公差を1回加えた値ですから、初項は6-4=2です。一般項は2+4(n-1)となります。

ここで第5項に戻すと2+4×4=18です。第2項も2+4=6となり、両方の条件を満たします。差を項番号の大きいほうから小さいほうへ取るなら、値の差も同じ向きに取ります。たとえば6-18を使うなら番号の差も2-5とすれば、公差は(-12)/(-3)=4です。

末項が指定される問題では、まずその値が本当に数列の項か確かめます。初項10、公差3の数列に20が現れると考えると、10+3(n-1)=20からn-1=10/3です。nは整数にならず、20はこの数列の項ではありません。20を末項として和の式に入れる前に、この段階で条件を点検します。

同じ数列で末項が22なら、10+3(n-1)=22よりn=5です。10, 13, 16, 19, 22と並べれば5個あり、和は5×(10+22)/2=80です。最後の値だけでなく番号と個数も確認することで、和の式に入れる数字の意味がはっきりします。

初項からではない和は、求める範囲を新しい有限の並びと見ても計算できます。その範囲の最初と最後を求め、間隔の個数に1を足して項数にします。あるいは初項から最後までの和から、範囲の直前までの和を引けます。後者では先頭の項を消さないよう、引く和の末尾を1つ前の番号にします。

和の式の見通し

初項と末項の平均を使う式は、増加する場合も減少する場合も成り立ちます。初項が末項より大きくても、両端の和は同じ組として対応するからです。負の項を含む場合も符号ごと加えます。平均が負なら和も負になり、初項と末項の和が0なら全体の和も0です。

項数が奇数なら中央の項は両端の平均です。前後の組を作った後に中央が残りますが、2倍した和では中央も2回現れます。したがって偶数のときと同じ和の式を使えます。公式に入れる前に、何から何までを足しているのかを線で囲んでおくと、範囲の取り違えを防げます。

公差が0の場合も同じ考え方です。各項は初項と等しく、一般項に公差0を代入すると常にaです。和の式はn(a+a)/2=naとなり、同じ数をn個足した結果と一致します。増える数列の図だけで覚えず、減る場合や変わらない場合にも式の意味を戻してみましょう。

項数を求める式に複数の候補が出た場合も、それぞれを別々に調べます。負の数や小数は項の番号として使えません。正の整数が残っても、計算途中の符号や因数分解に誤りがないよう、その番号で末項を求め直し、元の和や指定された値に戻します。候補が残らなければ、条件に合う項がないと答えます。

手を動かす問題

次の問題は、それぞれ独立した等差数列です。答えは指定された形で表してください。

初項-5、公差4の数列の一般項と第12項を求めてください。一般項はnの式、第12項は整数で表します。
初項7、公差2の数列の初項から第15項までの和を求めてください。答えは整数で表します。
初項50、公差-3の数列で、項の値が-4となるのは第何項ですか。番号は整数で表します。
初項2、公差5の数列の第4項から第10項までの和を求めてください。答えは整数で表します。

答えと考え方

aₙ=-5+4(n-1)=4n-9、a₁₂=4×12-9=39です。第1項は4-9=-5で、隣の項との差は4です。第12項は初項から11回進むので、-5+4×11=39とも確認できます。
第15項は7+14×2=35です。項数は15個なので、和は15×(7+35)/2=315です。逆順と組にしたとき各組の和は42であり、15組の半分が315になります。末項35も初項から14回増やして得られます。
第n項は50-3(n-1)です。これが-4なので、50-3(n-1)=-4、3(n-1)=54、n-1=18、n=19です。19は正の整数です。元の数列へ戻すと50-3×18=-4となり、条件に合います。隣の第18項は-1なので、そこで止めないようにします。
第4項は2+3×5=17、第10項は2+9×5=47です。両端を含む項数は10-4+1=7個ですから、和は7×(17+47)/2=224です。実際に17, 22, 27, 32, 37, 42, 47と並び、両端の組64が3組と中央の32を足して224です。

練習の後は、式の各数字が初項、間隔、項数のどれに当たるかを言葉で説明してみます。計算結果が合っていても、偶然ずれが相殺されることがあります。与えられた条件をもう一度読むと、その取り違えを見つけやすくなります。