高校数学II 増減と極値・最大最小—導関数の符号と端点を表にして値を比較する｜武蔵野個別指導塾

導関数が零になる点の前後を調べ、閉区間の端点も比較して判断する手順を、三次関数の増減と極値に結びつけます。

よくあるのは、高校生が導関数を零にする点を求め、その点をすべて極値と決めてしまう場面です。計算が合っていても、点の前後で関数が上がるか下がるかを調べなければ、極大か極小か、それともどちらでもないかは決まりません。増減表は、計算した値を並べるためだけの表ではなく、その判断を順に記録する道具です。

問題文から選ぶ手順

定期テストでは、まず関数を微分し、増加する区間と減少する区間、極大値と極小値を求める型があります。導関数の零点で数直線を区切り、それぞれの区間の符号を調べます。極値を問われたら、元の関数に代入して、位置と値を区別して書きます。

次に、閉区間での最大値と最小値を求める型があります。区間内の極値の候補に加え、両端の値を必ず比較します。端点は前後の両側を区間内で見られないので、極値の候補とは別に扱います。極大値があっても、端点の値の方が大きい場合があります。

さらに、方程式の実数解の個数を問う型では、方程式を曲線と水平な直線の共有点の問題に直します。極大値と極小値の高さを境にして、直線の高さを場合分けします。接する高さでは、同じ点を重複して数えないことが大切です。ここでは三次までの多項式を扱い、二階微分や凹凸には立ち入りません。

符号から増減を読む

関数 y = f(x) について、ある区間で f′(x) が正なら、x が増えるにつれて f(x) は増加します。負なら減少します。導関数が零になる点は、増減が切り替わる可能性のある位置です。その位置を境にした各区間で符号を調べ、矢印を記入します。

図1のように、左で正、右で負なら山の頂上に当たり、その点の値は極大値です。左で負、右で正なら谷に当たり、値は極小値です。どちらも符号の変化が判定の根拠です。導関数が零という式は候補を探す入口であり、それだけでは山や谷を確定できません。

図1には符号が変わらない場合も示しています。左右とも正なら、その点を通っても増加が続きます。このとき水平な接線があっても極大でも極小でもありません。例えば f(x) = x³ なら f′(x) = 3x² です。x = 0 で導関数は零ですが、その左右では正なので、0 を境に増加から減少へは変わりません。

増減表には、x の行、f′(x) の符号の行、f(x) の変化の行を作ります。零点を小さい順に並べ、各区間で因数の符号を掛け合わせます。矢印を描いた後で、極値を取る x とそのときの関数値を別々に読みます。符号を表に書かずに見た目だけで曲線を描くと、重解の前後で符号が変わらない場合を見落としやすくなります。

三次関数の増減表を作る

【基本例題】関数 f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5 の増加する区間、減少する区間、極大値と極小値を求めてください。値は整数で表してください。

まず各項を微分し、導関数を因数分解します。

f′(x) = 3x² − 6x − 9

= 3(x² − 2x − 3)

= 3(x + 1)(x − 3)

したがって f′(x) = 0 となるのは x = -1, 3 です。小さい方から数直線に置いて、3つの区間に分けます。x < -1 では2つの因数がともに負なので積は正、-1 < x < 3 では一方が正で他方が負なので積は負、3 < x ではともに正なので積は正です。係数3は正なので符号を変えません。

図2のように、正、負、正の順に並べると、関数は増加、減少、増加の順に変化します。極値の位置と値を取り違えないよう、元の式へ代入します。

f(-1) = (-1)³ − 3(-1)² − 9(-1) + 5

= -1 − 3 + 9 + 5 = 10

f(3) = 3³ − 3・3² − 9・3 + 5

= 27 − 27 − 27 + 5 = -22

よって、増加する区間は x < -1 と x > 3、減少する区間は -1 < x < 3 です。x = -1 で極大値 10、x = 3 で極小値 -22 を取ります。端の点を区間に含める表記を使う教科書もありますが、符号が正または負の区間を上のように示せば、切り替わる位置が明確です。

答えを元の条件に戻して確かめます。導関数に -1 と 3 を代入するとどちらも零です。また、例えばその左、中、右の代表として -2, 0, 4 を代入すると、それぞれ正、負、正です。この代入は符号の計算の点検です。各区間全体の符号は、先ほどの因数の正負によって説明しています。

端点と極値を同じ土俵で比べる

【発展例題】関数 g(x) = x³ − 3x の閉区間 -2 ≤ x ≤ 2 における最大値と最小値、およびそれぞれを取る x を求めてください。答えは整数で表してください。

g′(x) = 3x² − 3 = 3(x + 1)(x − 1) です。区間の内部で導関数が零になるのは x = -1, 1 です。符号は左から正、負、正なので、x = -1 で極大、x = 1 で極小です。しかし、ここで答えを決めず、端点を加えた4か所の値を計算します。

g(-2) = -8 + 6 = -2

g(-1) = -1 + 3 = 2

g(1) = 1 − 3 = -2

g(2) = 8 − 6 = 2

最大値は 2 で、x = -1, 2 のときです。最小値は -2 で、x = -2, 1 のときです。同じ最大値や最小値を複数の位置で取る場合は、その位置を両方書きます。各区間で増加または減少するため、間の点にこれらを超える値はありません。代入した4つの x はいずれも指定区間に入り、元の式に戻して上の値を得ます。

閉区間が変われば比較する候補も変わります。導関数の零点が区間外にあれば、その点の値は対象に入れません。逆に零点が端点と一致するときは、端点として一度数えれば十分です。増減の向きと区間の境界を同じ数直線に載せると、余分な候補を混ぜずに済みます。

零点を見つけた後に止まらない

【誤答】h(x) = x³ − 6x² + 12x について、h′(x) = 3(x − 2)² だから、x = 2 で極小値 8 を取る。

微分と代入の計算は合っています。しかし、その前後の符号を調べていません。図3のように、x = 2 の左右で (x − 2)² は正なので、h′(x) は左右とも正です。h(x) は両側で増加し、x = 2 は極値を取る点ではありません。

直すときは、零点を表に記した後、各区間に正負を書き入れます。二乗の因数は零点の両側で正です。零点を通ると必ず符号が反転するという思い込みを外し、因数ごとに確認してください。値 8 は h(2) の値として正しくても、極小値という名前を付ける根拠はありません。

別の誤りは、閉区間の端点を計算せず、極大値を最大値とすることです。極大は近くの点との比較、最大は指定範囲全体との比較です。発展例題のように端点と極値で同じ値になることもあります。候補を列挙してから比較すれば、端点の見落としと、同値を取る位置の書き落としを同時に防げます。

解の個数へ表をつなぐ

三次方程式の解の個数を数えるときは、まず定数を右辺に移し、左辺を関数と見ます。曲線と水平線の共有点の x 座標が元の方程式の実数解です。同じ x に対応する点は1個なので、接する点で解が重なっても、異なる実数解としては1個と数えます。

例えばある三次関数の極大値が 6、極小値が -4 で、左から増加、減少、増加するとします。水平線の高さがこの2つの値の間にあれば、左の増加部分、中央の減少部分、右の増加部分にそれぞれ交点があります。各部分では単調に変化するため、同じ高さに2回達することはありません。一方、高さが極大値と等しいときは、山の頂点を左右の部分にまたがって二重に数えないようにします。

高さの範囲を文字で答えるときは、方程式を移項した後の符号に注意します。右辺が -k なら、水平線の高さに関する不等式を k の不等式に直すとき、両辺に -1 を掛けて不等号の向きを逆にします。図の高さと求めたい文字がそのまま一致するとは限りません。境界を含むかどうかも、接する場合を別に調べてから決めます。

増減表を作った後に数値を代入する際、元の関数と導関数のどちらを使うかも区別します。導関数への代入で調べるのは傾きの符号です。山や谷の高さ、水平線との比較に必要なのは元の関数の値です。この2種類の値を別の行に書けば、零点の座標を高さと誤認するのを防げます。

表を点検する順番

計算後は、まず導関数の因数分解を展開して戻します。次に零点を小さい順に並べ、それぞれの区間で因数の正負を確認します。符号が正の場所に下向きの矢印を描いていないか、負の場所に上向きの矢印を描いていないかを照合します。最後に極値を取る位置を元の関数へ代入し、表に書いた値と一致するか調べます。

閉区間の問題なら、さらに区間外の零点を候補から除き、両端を加えます。候補の値が等しいときは、値を1つ答えるだけでなく、その値を取る位置をそれぞれ残します。この手順なら、微分の計算、増減の判定、最後の比較のどこに誤りがあるかを分けて見直せます。

自分で試す問題

次の3問は、答えを整数または分数で正確に表してください。増減の判断では導関数の符号を示し、最大値と最小値を取る位置も答えてください。

1. f(x) = x³ − 12x + 1 の増加する区間、減少する区間、極大値と極小値を求めてください。
2. g(x) = x³ − 3x² + 2 を、閉区間 0 ≤ x ≤ 3 で考えます。最大値と最小値、およびそれぞれを取る x を求めてください。
3. 実数 k について、方程式 x³ − 3x + k = 0 の異なる実数解の個数を k の値で場合分けしてください。

答えと考え方

1. f′(x) = 3x² − 12 = 3(x + 2)(x − 2) です。符号は x < -2 で正、-2 < x < 2 で負、x > 2 で正です。したがって、増加する区間は x < -2 と x > 2、減少する区間は -2 < x < 2 です。f(-2) = -8 + 24 + 1 = 17、f(2) = 8 − 24 + 1 = -15 なので、x = -2 で極大値 17、x = 2 で極小値 -15 です。両方の位置を導関数に戻すと零になり、元の式に戻すと示した値になります。

2. g′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2) です。区間の内部では 0 < x < 2 で負、2 < x < 3 で正です。x = 0 は端点、x = 2 は内部の極小の候補です。g(0) = 2、g(2) = 8 − 12 + 2 = -2、g(3) = 27 − 27 + 2 = 2 と比較します。最大値は 2 で x = 0, 3、最小値は -2 で x = 2 です。指定された区間を外れた値は比較に入れていません。各候補を元の式に戻して値を確かめると、最大を取る端点が2つあることも確かめられます。

3. F(x) = x³ − 3x と置くと、方程式は F(x) = -k です。F′(x) = 3(x + 1)(x − 1) から、F は x = -1 で極大値 2、x = 1 で極小値 -2 を取ります。左から増加、減少、増加し、x が負の方向に大きくなると F(x) は限りなく小さく、正の方向に大きくなると限りなく大きくなります。

水平線 y = -k が -2 と 2 の間にあれば3つの単調な部分とそれぞれ1回交わるため、異なる実数解は3個です。高さが 2 または -2 のとき、極値を取る点と反対側の枝で交わる点の2個です。高さがその範囲の外なら1個です。したがって、-2 < k < 2 で3個、k = -2 または k = 2 で2個、k < -2 または k > 2 で1個です。

境界を元の方程式でも確かめます。k = -2 のとき x³ − 3x − 2 = (x − 2)(x + 1)²、k = 2 のとき x³ − 3x + 2 = (x + 2)(x − 1)² です。各場合とも異なる解は2個です。重なった解を2回数えないことが、境界での判定につながります。

最後に残す4行

導関数を因数分解し、零点の前後の符号を調べます。
正から負なら極大、負から正なら極小です。
閉区間では内部の候補と両端の値を比べます。
解の個数は水平線と曲線の共有点で数えます。

どこで止まったかを見分ける

零点を求められるのに極値を誤る場合は、因数の符号を区間ごとに説明できるかを確かめます。符号が合っているのに最大値を誤る場合は、端点を候補に含めたか、値とその位置を分けて書けたかを見直します。解の個数で迷う場合は、極値の高さに線を重ね、接する点を何個と数えたかを言葉にします。

個別指導で確かめる際には、まず本人の増減表を見て、最初に判断がずれた行を探します。たとえば重解の前後で因数の符号を口頭で説明し、次に元の関数へ代入して値を確かめます。符号、矢印、値の3つを対応させれば、自分の答案のどこを直すべきか見つけられます。