高校数学II 三角関数のグラフ—周期と移動を式から読み座標を対応させる｜武蔵野個別指導塾

括弧内を因数分解して移動量を求め、代表点の座標と正接の漸近線を式から描き分けます。

よくあるのは、高校生が三角関数の式の括弧にある定数を見て、その数だけ横に移すと決める場面です。たとえば sin(2x − π) では、πだけ右に動かす前に 2(x − π/2) とくくる必要があります。角の変化と横座標の変化は同じとは限りません。元のグラフの点をどこへ移すかを式で追うと、形と位置を同時に確かめられます。

テストで図にするもの

1つ目の型は、式から振幅や周期を読み、指定された区間にグラフを描く問題です。山と谷の高さだけでなく、横軸との交点や端点の位置が合っているかが問われます。縦の移動があると、波の中央は横軸とは限りません。まず中心となる高さを引いてから山と谷を置くと、描く位置を見失いにくくなります。

2つ目は、横への伸縮と平行移動が組み合わされた式から、代表的な点の座標を求める型です。括弧の中の角が 0、π/2、π などになる位置を順に探します。角が同じでも、もとの x 座標は係数によって変わるため、括弧の定数をそのまま移動量と考えないことが要点です。

3つ目は tan のグラフの周期や漸近線を描く型です。tan はすべての実数で値を持つわけではありません。曲線が近づく縦の直線を先に示し、そこを横切って線をつなげないようにします。ここではグラフの形と座標を扱い、三角方程式の解法には立ち入りません。角はすべてラジアンで表します。

角と横座標を対応させる

基本の y = sin x は、x が 0、π/2、π、3π/2、2π と進むと、y が順に 0、1、0、-1、0 となります。この形が横に 2π 進むごとに繰り返されます。y = cos x は同じ角で 1、0、-1、0、1 です。どちらも最大値は 1、最小値は -1 で、周期は 2π です。

波の中央の高さから山までの距離を振幅といいます。たとえば y = A sin x + d は、A が正でも負でも振幅が |A| です。中央の高さは y = d、値の範囲は d − |A| 以上 d + |A| 以下です。A が負なら上下が反転します。A = 0 では波が消えて定数関数になるので、以下の周期の読み方は A が 0 でない場合を考えます。

横方向は、もとのグラフの角を t と置いて考えます。y = A sin(bx + c) + d に対して t = bx + c とすれば、b が 0 でないとき x = (t − c)/b です。もとの点 (t, sin t) は、新しい図で ((t − c)/b, A sin t + d) に対応します。cos でも同じ対応を使えます。b が正なら t の増える順に x も増えますが、負なら順序が逆になります。

図1のように、まず角を横座標に変換し、値を縦方向に変換します。sin と cos の周期は 2π/|b| です。これは角が 2π 増減するのに必要な x の距離が 2π/|b| だからです。たとえば b が 2 なら、1周期はもとの半分の幅になります。定数 c があっても、繰り返しの幅は変わりません。

図1の対応では、t の値を勝手に x と読み替えないことが重要です。bx + c = b(x + c/b) とくくれば、横の移動量は -c/b と読めます。正なら右、負なら左です。横の伸縮をした後の形から考えると、どちら向きにどれだけ移るかを混同しにくくなります。

一方、y = tan x は周期 π で、x = π/2 + nπ の位置では定義されません。n は整数です。これらの直線が縦の漸近線であり、曲線は各漸近線の間で左下から右上へ進みます。y = A tan(bx + c) + d でも、括弧内が π/2 + nπ となる x に漸近線があります。A と b が 0 でないとき周期は π/|b| です。縦の移動 d は漸近線の位置を変えません。

基本例題：波の5点を移す

問題：y = 2 sin(2x − π) + 1 のグラフを、0 以上 2π 以下の範囲に描きます。振幅、周期、中央の高さ、およびこの区間での山と谷の座標を π を使う正確な形で求めてください。

まず括弧をくくると、2x − π = 2(x − π/2) です。したがって y = 2 sin 2(x − π/2) + 1 と見られます。y = 2 sin 2x のグラフを右に π/2、上に 1 平行移動した形です。振幅は 2、周期は 2π/2 = π、中央の高さは 1 です。山の高さは 1 + 2 = 3、谷の高さは 1 − 2 = -1 になります。

実際の位置を調べるため、t = 2x − π と置きます。これを x について解くと、2x = t + π、つまり x = (t + π)/2 です。x が 0 から π まで動く間、t は -π から π まで動きます。そこで角の値を順に入れると次の対応が得られます。

図2のように、これらを滑らかにつなぎ、周期 π だけ右へ同じ形を繰り返します。x = 0 から 2π まではちょうど2周期です。後半の対応点は (5π/4, -1)、(3π/2, 1)、(7π/4, 3)、(2π, 1) です。よって山は (3π/4, 3)、(7π/4, 3)、谷は (π/4, -1)、(5π/4, -1) です。

図2では中央の高さが 1 なので、中央線と横軸を区別します。端点も元の式に戻すと、x = 0 で 2 sin(-π) + 1 = 1、x = 2π で 2 sin(3π) + 1 = 1 です。たとえば最初の山では 2(3π/4) − π = π/2 となり、元の式の値は 3 です。周期と対応点の両方が合っていることを確認できます。

縦の係数を先に考えると、sin の値 1 と -1 がそれぞれ 3 と -1 に変わることがわかります。横方向を考えるときは、その高さを取る角がどの x に来るかを解きます。この2つを分ければ、振幅を横の幅と取り違えずに済みます。

少し難しい例題：漸近線の間を選ぶ

問題：y = -tan(2x − π/2) + 1 について、0 以上 π 以下での漸近線をすべて求め、その間のグラフの向きと、各区間で中央の高さを通る点を示してください。角は π を使って正確に表します。

まず 2x − π/2 = 2(x − π/4) です。tan の周期は π なので、このグラフの周期は π/2 です。括弧内が π/2 + nπ となるときに値が定義されません。n を整数として式を解くと、

2x − π/2 = π/2 + nπ

2x = π + nπ

x = (n + 1)π/2

です。指定区間に入るのは x = 0、π/2、π です。いずれも端点や境界を含めて漸近線として示しますが、曲線上の点にはなりません。

中央の高さ y = 1 を通るのは、括弧内が 0 または π になる位置です。前者は 2x − π/2 = 0 より x = π/4、後者は 2x − π/2 = π より x = 3π/4 です。したがって点は (π/4, 1)、(3π/4, 1) です。各点を元の式に戻すと tan 0 = tan π = 0 なので、いずれも高さ 1 になります。

もとの tan は漸近線の間で増加します。括弧内の係数 2 は正なので左右の順序は変わらず、前の負号によって上下が反転します。そのため各区間 (0, π/2)、(π/2, π) では左上から右下へ進みます。たとえば最初の区間では x = π/8 で括弧内は -π/4、値は 2 です。x = 3π/8 では括弧内が π/4、値は 0 となり、中央点の前後で向きを確認できます。漸近線に近づく様子は描きますが、直線上に点は打ちません。

移動量を取り違えたら

誤答として、y = sin(2x − π) を y = sin 2x から右に π だけ移すと考えてみます。右に π 移した式は sin(2(x − π)) = sin(2x − 2π) です。これは元の sin(2x − π) とは異なります。たとえば x = π/4 では、前者は 1、後者は -1 です。実際の高さが違うので、図の位置も一致しません。

間違いの原因は、括弧内の角の差 π を、そのまま横座標の差として扱ったことです。x が π 変わると 2x は 2π 変わります。角を π 変えるには x を π/2 変えれば足ります。

図3のように 2x − π = 2(x − π/2) と直し、右への移動は π/2 と判断します。確認には、移動前の y = sin 2x が中央を上向きに通る点 x = 0 を使えます。移動後の式で括弧内が 0 となるのは x = π/2 です。π と決めた場合はその対応が合いません。なお、波には周期があるため、別の周期だけ離れた同じ形の点も存在します。移動量を読むときは、どの元の点に対応させたかまで書くと明確です。

練習：点と境界から描く

次の4問はそれぞれ独立した問題です。角と座標は π を使う正確な形で答えてください。グラフを描く問題では指定区間の端点も調べます。

1. y = 3 cos x − 2 の振幅、周期、値の範囲を求め、0 以上 2π 以下で最大と最小になる点を示してください。
2. y = sin(3x + π) について、周期と、y = sin 3x からの横の移動を求めてください。0 以上 2π/3 以下で、中央を上向きに通る点も示してください。
3. y = 2 tan(x + π/4) の漸近線を、-π 以上 π 以下で求めてください。そのうち隣り合う2本 x = -3π/4 と x = π/4 の間で、横軸と交わる点を求めてください。
4. y = -cos(x/2) + 1 のグラフを 0 以上 4π 以下で描くため、両端を含む1周期の代表的な5点と周期を求めてください。

練習の答えと道筋

1. 振幅は 3、周期は 2π です。cos x の値が -1 以上 1 以下なので、3 cos x − 2 の範囲は -5 以上 1 以下です。区間内で cos x = 1 となる端点は x = 0、2π、cos x = -1 となる位置は x = π です。最大となる点は (0, 1)、(2π, 1)、最小となる点は (π, -5) です。それぞれを式に戻せば、3 × 1 − 2 = 1、3 × (-1) − 2 = -5 となります。両端が同じ高さでも、異なる座標として両方記します。

2. 3x + π = 3(x + π/3) なので、左に π/3 平行移動します。周期は 2π/3 です。上向きに中央を通るのは括弧内が 2nπ となる位置ですから、3x + π = 2nπ、x = (2n − 1)π/3 です。指定区間に入るのは n = 1 の x = π/3 で、点は (π/3, 0) です。元の式で角は 2π となり値は 0、係数が正なのでその点では上向きです。区間の端では角が π と 3π になり、どちらも中央を下向きに通るため、求める点には含めません。

3. 漸近線は x + π/4 = π/2 + nπ より x = π/4 + nπ です。指定区間では n = -1、0 が入り、x = -3π/4、π/4 です。横軸との交点では tan(x + π/4) = 0 となります。指定された2本の間で括弧内は -π/2 より大きく π/2 より小さいので、角は 0 です。よって x = -π/4、交点は (-π/4, 0) です。元の式へ戻すと 2 tan 0 = 0 であり、点は2本の直線の間にもあります。漸近線上では元の式が定義されないため、交点として採用しません。

4. t = x/2 とすると、x = 2t です。t が 0、π/2、π、3π/2、2π のとき、x は 0、π、2π、3π、4π です。y = -cos t + 1 にそれぞれ代入すると、高さは 0、1、2、1、0 となります。したがって5点は (0, 0)、(π, 1)、(2π, 2)、(3π, 1)、(4π, 0) です。周期は 4π です。元の式で中央の点 x = 2π を確かめると、-cos π + 1 = 2 となります。負号によって、cos の山が谷へ反転していることも読み取れます。

覚えておくこと

sin と cos の周期は 2π/|b|、振幅は |A| です。
tan の周期は π/|b|、定義されない角から漸近線を引きます。
bx + c = b(x + c/b) として横の移動を読みます。
角を t と置き、代表点を元の x と y に戻します。
区間の端点と、定義されない位置を最後に調べます。

どこで止まったかを見分ける

波の高さが合わない場合は、振幅と中央の高さを区別しているか確かめます。代表点の横位置だけがずれる場合は、角 t から x を解く途中式を声に出して追ってみます。負の係数があるときは点の並ぶ順序や上下反転も確認します。tan で線がつながってしまう場合は、どの角で値が定義されないかを先に示せるかを見ます。

個別指導では、描いた線の見た目だけでなく、1つの山または中央点を元の式へ戻すところまで確認できます。誤答の点と正しい点の両方で括弧内の角を比べれば、移動量の計算とグラフの読み取りのどちらに戻るべきかが見えます。座標と角を対応させると、波の位置を自分の式で説明できます。