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高校数学A 円に内接する四角形—角の関係を使って内接の条件と逆を確かめる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.11更新 2026.11.11武蔵野個別指導塾の特徴高校の定期テスト数学A 単元別

同じ弧を見る角と対角の和を区別し、外角や逆の使いどころをたどって円に内接する四角形を読み解きます。

よくあるのは、定期テスト前の高校生が円の図にある角を見比べ、同じ弧を見ていないのに等しいとする場面です。円の上に頂点が並んでいるだけでは、どの2つの角も等しいとは限りません。角の両辺が円と出会う2点と、角の頂点が弧のどちら側にあるかを確かめると、等しい角と和が180°の角を区別できます。

角を求めるときと円を示すとき

出方の1つは、4頂点が同じ円上にあるとわかった四角形で、1つの角から向かい合う角を求める問題です。隣り合う角ではなく、対角に注目します。もう1つは、辺を延長してできる外角から、離れた内角を求める問題です。外角は隣の内角と合わせて180°になるので、対角の関係と組み合わせられます。

さらに、円が最初から描かれていない図で、4点が同じ円上にあることを示す問題があります。このときは内接する四角形の性質をそのまま前提にせず、その逆を使います。何が与えられ、何を結論にするかを先に分けましょう。以下では、4頂点が異なり、順に結んだ四角形が凸である場合を扱います。交差する四角形や直線上に重なる点には、そのまま同じ図を当てはめません。

弧の両端と頂点の位置を見る

円周上の異なる2点をP、Qとすると、円周はP、Qを端とする2つの弧に分かれます。円周角とは、頂点が円周上にあり、両辺が円と交わる角です。角PRQが見る弧は、端がP、Qで、頂点Rを含まない方の弧です。角の文字の真ん中が頂点、両端が弧の端だと読むと対応を追えます。

図1のように、A、B、C、Dを円周上にこの順に置きます。角BACと角BDCはどちらも弧BCを見ます。AとDはともに、もう一方の弧BC上にあるため、2つの角は等しくなります。一方、角ABCと角ADCはどちらも端がA、Cですが、頂点が弦ACの反対側にあります。それぞれが見るのは異なる弧ACです。この2角を等しいとすることはできません。

図1の対角の和は180°です。頂点Bを含まない弧ACと頂点Dを含まない弧ACは、合わせると円周全体です。円周角は対応する弧に対する中心角の半分なので、2つの円周角の和は360°の半分、つまり180°です。同じ理由で角BADと角BCDの和も180°になります。特別に両方が90°のときには対角が等しくなりますが、一般には和が180°という関係です。

逆も使えます。凸四角形ABCDで角ABC + 角ADC = 180°なら、4点は同じ円上にあります。根拠を確かめましょう。A、B、Cを通る円を描き、半直線ADと円とのA以外の交点をEとします。凸四角形なのでDとBは直線ACの反対側にあり、EもDと同じ側にあります。円に内接するABCEについて角AEC = 180° − 角ABCです。仮定から角ADCも同じ値なので、A、D、Eが一直線にあることと三角形の外角の性質を使うと、DとEが異なる場合にはその角が等しくなることはありません。よってDはEと一致し、円上にあります。

外角も同じ2つの和から導けます。辺ABをBの先へ延長し、延長上に点Eを取ると、角CBEはBの外角です。角ABC + 角CBE = 180°で、角ABC + 角ADC = 180°なので、角CBE = 角ADCです。外角と等しいのは、外角に隣接する内角ではなく、四角形の向かいの内角です。延長する辺や角の頂点を取り違えないようにします。

基本例題：対角と外角を順に求める

円に内接する凸四角形ABCDの頂点は円周上にA、B、C、Dの順にあります。角ABC = 110°とし、辺ABをBの先へ延長した半直線上に点Eを取ります。角ADCと角CBEをそれぞれ度を単位とする整数で求めてください。

図2のように、まずBとDが向かい合う頂点であることを確かめます。円に内接する四角形の対角の和は180°ですから、求める角をx°とすると次の式です。

図2では角ABCと角ADCが対角です。したがって、

110 + x = 180

x = 180 − 110

x = 70

となり、角ADC = 70°です。次に、A、B、Eはこの順に一直線上にあるので、角ABCと角CBEの和は180°です。角CBEをy°とすると、

110 + y = 180

y = 180 − 110

y = 70

です。答えは角ADC = 70°、角CBE = 70°です。外角が向かいの内角に等しいことを直接使っても同じ答えが出ますが、その関係は対角と一直線の2つの和から作られています。

戻して確かめると、BとDの角の和は110° + 70° = 180°、Bの内角と外角の和も110° + 70° = 180°です。どちらも問題の条件に合います。図の見た目で鋭角か鈍角かを推測するより、どの角が対角で、どの2辺が一直線かを記号で書く方が確実です。たとえば110°をそのままDに移すと対角の和は220°になり、内接する条件に合いません。

逆を使う例題：円を先に仮定しない

凸四角形PQRSで、角PQR = (3x + 10)°、角PSR = (5x + 10)°です。4点P、Q、R、Sが同じ円上にあるときのxを求め、逆にその値なら同じ円上にあることも示してください。xは実数とし、答えは整数で表します。

まず、4点が同じ円上にあると仮定します。QとSは対角の頂点なので、

(3x + 10) + (5x + 10) = 180

8x + 20 = 180

8x = 160

x = 20

です。これで、内接するならxは20でなければならないとわかりました。ただし、式を解いただけでは、その値が十分かどうかをまだ示していません。

逆にx = 20を元の角の式に戻すと、角PQR = 3 × 20 + 10 = 70°、角PSR = 5 × 20 + 10 = 110°です。どちらも凸四角形の内角として0°より大きく180°より小さく、和は180°です。対角の和が180°である凸四角形は円に内接するので、4点は同じ円上にあります。したがって答えはx = 20です。

ここで条件が「和が180°」ではなく「対角が等しい」だけなら、内接するとは限りません。対角が等しいという情報から和を180°と決めることはできないためです。また、計算結果が角の範囲に合わない場合は、式の解が出ても図形の条件には戻せません。角の値に戻してから、逆の前提を確認します。

誤答を弧まで戻して直す

図3のように円周上の4点をA、B、C、Dの順に取ります。「角ABCと角ADCは両方とも弧ACを見るので等しい」とする答えを考えます。弧の端がA、Cであることまでは合っています。しかしBとDが弦ACの反対側にあるため、2つの角が見る弧は互いに違います。弧の端の文字だけを比べると、どちらの弧かという情報が抜けます。

図3で角ABCが見るのはBを含まない弧ADC、角ADCが見るのはDを含まない弧ABCです。これらを合わせると円周全体なので、正しくは角ABC + 角ADC = 180°です。2つの角が等しいとまで言えるのは、両方が90°になる特別な場合です。

別の誤りは、外角を見つけた直後に、隣の内角と等しいとすることです。外角とその隣の内角は一直線を作るため、和が180°です。外角と等しいのは対角の位置にある内角です。図に色や印を付ける前に、角の頂点と2本の半直線を指でたどると、どの角を式に入れるかを確認できます。

練習：角から条件へ、条件から角へ

次の四角形はすべて凸で、頂点は記した順に並ぶものとします。角度は度を単位とする整数で答えてください。計算結果を元の条件に戻して確かめましょう。

円に内接する四角形JKLMで、角JKL = 124°です。角JMLを求めてください。
円に内接する四角形EFGHで、辺EFをFの先に延長し、その上に点Tを取ります。角EHG = 43°のとき、角GFTと角EFGを求めてください。
凸四角形UVWXで、角UVW = 76°、角UXW = 104°です。4点が同じ円上にあるか、理由を添えて答えてください。
凸四角形ABCDの角ABC = 85°、角ADC = 85°です。この情報だけで4点が同じ円上にあるといえるか、理由を添えて答えてください。

解答と考え方

KとMは対角の頂点です。角JML = 180° − 124° = 56°です。124° + 56° = 180°となり、元の内接の条件と合います。隣の角を引いていないかも頂点の順で見直します。
Fの外角は向かいのHの内角に等しいので、角GFT = 43°です。Fの内角とは一直線を作るため、角EFG = 180° − 43° = 137°です。元に戻すと137° + 43° = 180°で、対角の和も内角と外角の和も成立します。外角の頂点がFであることが、対応を決める手がかりです。
VとXの内角は対角で、76° + 104° = 180°です。凸四角形の対角の和が180°なので、逆により4点は同じ円上にあります。与えられた2角の値をそのまま足して前提を確認してから、結論を書きます。
いえません。内接するなら対角の和は180°ですが、与えられた和は85° + 85° = 170°です。したがって、この条件の四角形は円に内接しません。2つの角が等しくても、和が180°でなければ逆の前提を満たしません。

手元に残す要点

円周角は、頂点を含まない弧を見ます。
内接する凸四角形の対角の和は180°です。
対角の和が180°の凸四角形は円に内接します。
外角は、その頂点と向かい合う内角に等しくなります。

途中で止まったときに見る場所

角が等しいと書いたところで止まったら、それぞれの角の両端が示す2点と、頂点を含まない弧を図になぞってください。同じ端点でも頂点が反対側にあれば、見る弧は異なります。対角の式が立たないときは、四角形の頂点を順に読み、隣ではない頂点を選び直します。

個別指導で確かめるなら、答えの数値だけでなく、本人に「この2角を足す理由」と「逆を使う前に確かめた条件」を説明してもらいます。外角では一直線になる2つの半直線を示してもらい、内接を示す問題では円を最初から仮定していないかを見ます。角の名前と弧の対応がそろえば、式の意味を保ったまま結論に進めます。

条件を読み替える練習

四角形の角を扱うとき、文字の並びが変わっても、向かい合う頂点の探し方は変わりません。たとえば四角形をKLMNと書けば、Kの向かいはM、Lの向かいはNです。円に内接しているとき、角Kと角Mの和、角Lと角Nの和がそれぞれ180°です。角Kと角Lは隣り合っているので、内接という条件だけから和を180°とは決められません。

角の大きさが文字式で与えられる場合も、最初に四角形のどの頂点の角かを確定します。対角の和を180°と置いて文字を求めたら、それぞれの角の式に代入し、角の範囲と和の両方を確認します。与えられた条件が「内接する」なら性質を使い、「内接することを示す」なら逆の前提を示すという順序も変わりません。

外角を使うときは、同じ頂点でどちらの辺を延長したかに注意します。辺を反対側へ延長すれば、別の頂点の外角になります。外角の図が複雑に見える場合は、その頂点の内角と一直線になる角を先に探し、180°から引きます。その後で対角と比べると、等しい角を記憶だけで選ばずに済みます。

証明を書く際には「対角の和が180°だから円に内接する」と結論の前に根拠を置きます。逆向きに「円に内接するから和が180°」と書くと、示したいことを途中で使ってしまいます。角度の計算と、円に内接することの証明は、式が似ていても出発点と到着点が反対です。