高校受験の数学 連立方程式の解法—加減法と代入法を係数に合わせて選ぶ｜武蔵野個別指導塾

係数をそろえる加減法と式全体を置き換える代入法を使い、得た組が2式を満たす理由を追います。

中2の計算でよくあるのは、求めた文字の値を片方の式に代入し、合っていたので答えにしてしまう場面です。もう片方の式に戻すと、途中で符号を間違えたことに気づく場合があります。2つの式を同時に満たす組を探すという目的を意識すると、計算の選び方も最後の確認もつながります。

2つの条件を同時に満たす

ここでは二元一次方程式と連立方程式の解、加減法、代入法、元の2式への代入を扱います。数量を式に表す文章題は扱いません。学習指導要領の学習範囲では、第1学年の数と式に一元一次方程式が置かれています。

出方の1つは、2式の文字の係数がそろっていて、辺どうしを加えるか引くと1文字が消える型です。たとえば同じ係数の項なら引き、符号が反対で絶対値が等しい項なら加えると消せます。もう1つは、片方の式がすでに y= の形になっているなど、1文字をもう一方の文字で表しやすい型です。その式をもう片方へ代入できます。さらに、どちらの係数もそろっていないときは、式の両辺を何倍かして係数をそろえる型になります。

選び方に唯一の決まりはありません。同じ問題をどちらの方法で解いても、正しく操作すれば同じ解にたどり着きます。ただし、係数をそろえるために大きな数を掛ける場合や、代入すると分数が増える場合は、別の文字を消す方法も比べると計算を整理しやすくなります。

解は2つの値を組にしたもの

xとyを含む一次方程式を二元一次方程式といいます。たとえば x+y=5 には、x=1、y=4 も、x=2、y=3 も当てはまります。1つの式だけでは、どの組を選ぶか決まりません。そこに x-y=1 という条件も加えると、両方を満たす組を探す問題になります。

図1のように、最初の式を満たす組のうち、次の式にも合う組を選びます。x=1、y=4 は和が5ですが、差が1ではありません。x=2、y=3 も和は5ですが、差は-1です。x=3、y=2 は和が5で差も1なので、2式を同時に満たします。この組を連立方程式の解と呼び、x=3、y=2 と書きます。

図1では候補の組を3つ示しています。実際には最初の式を満たす組はほかにもあるため、これらの候補を眺めるだけでは解がほかにないことの説明にはなりません。加減法で2式を加えると 2x=6 となり、解なら必ず x=3 です。それを x+y=5 に入れると y=2 と決まります。最後に元の2式を満たすことも確かめれば、この組が解だといえます。

加減法は、2つの等式の左辺どうしと右辺どうしをそれぞれ加えたり、引いたりする方法です。等しいものどうしを加減するので等式は保たれます。係数をそろえるときも、式の一部だけでなく両辺の各項に同じ数を掛けます。代入法は、同じ値を表す式に置き換える方法です。どちらも、2文字の問題を1文字の方程式に変える操作です。

加減法で1文字を消す

次の連立方程式を解き、xとyをそれぞれ整数で答えます。

2x+y=8 ……①
x-y=1 ……②

図2のように、yの係数は1と-1です。両辺を加えると y と -y が打ち消し合うので、そのまま加減法を使えます。

①と②の左辺どうし、右辺どうしを加えます。

(2x+y)+(x-y)=8+1
3x=9
x=3

左辺の2xとxを合わせると3x、yと-yを合わせると0です。両辺を3で割って x=3 と求めました。ここで終えるとyが未確定なので、元の式のうち代入しやすい②へ戻します。

3-y=1
-y=1-3
-y=-2
y=2

移項したのは3で、符号を変えています。最後は両辺に-1を掛けるので、yは正の2です。候補は x=3、y=2 となりました。

図2の最後の段階では、候補を元の両方の式に入れます。①の左辺は 2×3+2=8 で右辺と一致します。②の左辺は 3-2=1 で右辺と一致します。よって答えは x=3、y=2 です。片方でyを求めた場合でも、2式へ戻すと計算の途中で生じた誤りを見つけやすくなります。

もし確認で①は合い②が合わなければ、その組は解ではありません。元の問題の写し間違いがないかを見てから、消去した行、残った文字を求めた行、代入した行の順に戻ります。たとえば加えるべきところを引いたのか、両辺の計算を取り違えたのかを、隣り合う2行で比べます。合わなかった式を無理に直すのではなく、最初に等式が崩れた行を見つけることが修正の手掛かりです。

代入が短い形と、係数をそろえる形

次の連立方程式を解き、xとyをそれぞれ分数または整数で答えます。

x=2y-1 ……③
3x+4y=17 ……④

③はxについて解かれているので、④のxを 2y-1 に置き換える代入法が使えます。xの位置に式全体を入れることを明確にするため、括弧を付けます。

3(2y-1)+4y=17
6y-3+4y=17
10y-3=17
10y=20
y=2

分配法則で3を括弧の中の両方の項に掛けます。次に、③へ y=2 を入れます。

x=2×2-1
x=4-1
x=3

元に戻すと、③は 3=2×2-1=3、④は 3×3+4×2=9+8=17 です。どちらの条件も満たすため、答えは x=3、y=2 です。③の右辺に代入してxを求めた後も、④まで確かめることで、括弧を外したときの誤りを拾えます。

同じ問題を加減法で解くなら、③を x-2y=-1 と直して3倍し、④から引けます。すると (3x+4y)-(3x-6y)=17-(-3) から 10y=20 です。引く式全体に負号が付くことに注意します。この問題では③が最初から x= の形なので、代入する道筋が見えやすいでしょう。

一方、例えば 2x+3y=7 と 3x-2y=4 のように、どちらの文字も単独で表されていないとします。xを分数で表して代入することもできますが、1式目を3倍、2式目を2倍すればxの係数がどちらも6になります。あるいは1式目を2倍、2式目を3倍すればyの係数が6と-6になり、加えて消せます。掛け算後は左辺の各項と右辺をそろって変えることが分かれ目です。

間違いを元の式から探す

③と④で、3(2y-1) を 6y-1 として計算したとします。すると 6y-1+4y=17、10y=18 となり、誤って y=9/5、x=13/5 を得ます。図3のように、③へ戻すと 2×9/5-1=13/5 で合いますが、④の左辺は 3×13/5+4×9/5=75/5=15 で、17に合いません。片方を満たしても、もう片方を満たさない組は連立方程式の解ではありません。

原因は、3を 2y に掛けた一方で -1 に掛けなかったことです。図3の修正のように、括弧の中の各項へ3を掛け、6y-3 とします。その行から先を計算し直すと、先ほどの x=3、y=2 に戻ります。最後の検算では分数を小数に直さず、分母をそろえて正確に比べます。

もう1つの誤りは、引き算で後の式の最初の項だけ符号を変えることです。たとえば (4x+y)-(x-2y) は 4x+y-x+2y=3x+3y です。括弧の前の引く符号は中の両項に作用します。横に並べて計算しづらければ、引く式に括弧を付けたまま1行を残し、符号を変えた次の行を見比べてください。

計算が合わないときの戻り方

係数をそろえる途中で等式の一部を変え忘れると、その後の計算が正しくても元の連立方程式の解にはなりません。たとえば 2x+3y=7 の両辺を3倍するなら、左辺は 6x+9y、右辺は21です。6x+3y=21 とすると、yの項だけが3倍されていません。各項に印を付けてから掛けると、どこまで操作したかを追えます。式全体を何倍かした行と元の行を並べ、文字の項と定数の項を順に比べることもできます。

代入法で x=2y-1 を使うときは、xという文字を1つの箱と考え、その箱の中身を 2y-1 に入れ替えます。3xは箱が3個分なので、3(2y-1) です。括弧を付けずに 3×2y-1 と書くと、最後の項が3個分になりません。負号を含む式を置き換えるときほど、展開前の括弧を残しておきます。

確認は解き方をもう一度なぞる作業とは異なります。元の式に戻して左右を別々に計算すれば、式の転記や消去での間違いにも気づけます。両方が合わなければ、まず答えの符号と元の式の写しを調べ、次に消去の行をたどります。片方が合うときも安心せず、合わなかった式を使った箇所に注目します。分数が出た場合には、例えば 1/2 と 2/4 は同じ値なので、通分して等しいか判断します。小数への丸めによって一致したように見えるかどうかでは判定しません。

2式を加えた後に文字が両方消えた場合も、慌てず残った等式を読みます。0=0 が出たときは、その行から文字の値を決められません。元の2式の関係を調べ直します。0=1 のように成り立たない式が出たときは、操作に誤りがないことを確かめたうえで、2式を同時に満たす組はないと判断します。どちらも計算が途中で止まったこと自体を理由に値を作る必要はありません。

練習問題

次の4問を解き、xとyをそれぞれ分数または整数で答えてください。方法を選んだ理由も考え、求めた組を元の2式で確かめます。

1. x+y=11、x-y=3
2. 2x+3y=13、x+3y=8
3. y=3x+1、2x+y=11
4. 2x+y=4、x-2y=7

解答と考え方

1. yの係数が反対なので、2式を加えます。2x=14、x=7 です。x+y=11 に入れると 7+y=11、y=4 です。元の条件では和が 7+4=11、差が 7-4=3 となります。答えは x=7、y=4 です。引き算でxを先に消しても同じ組に届きます。

2. yの係数が等しいので、上の式から下の式を引きます。(2x+3y)-(x+3y)=13-8 より x=5 です。下の式へ入れると 5+3y=8、3y=3、y=1 です。元の左辺はそれぞれ 2×5+3×1=13、5+3×1=8 です。答えは x=5、y=1 です。加えるとyが消えないため、符号と操作を先に対応させます。

3. yがxの式で表されているので、下の式へ代入します。2x+(3x+1)=11、5x+1=11、5x=10、x=2 です。上の式から y=3×2+1=7 です。元の条件へ戻すと 7=3×2+1、2×2+7=11 の両方が成り立ちます。答えは x=2、y=7 です。yの式全体を代入する位置に置くと、操作の意味が見えます。

4. 上の式を2倍すると 4x+2y=8 です。これに下の式を加えると 5x=15、x=3 です。上の元の式へ入れ、6+y=4 より y=-2 です。上の左辺は 2×3+(-2)=4、下の左辺は 3-2×(-2)=7 となります。答えは x=3、y=-2 です。2倍する際に右辺も8にすること、負の値を代入するときに括弧を付けることを確認します。

練習の検算で合わなかった場合は、解答だけを見て数を書き換えず、消す予定の文字と、その係数が操作後にどうなったかを確かめます。正しい答えに偶然なった場合も、各行が前の行から等式の性質に沿って得られたかを点検すると、別の係数の問題に移ったときに役立ちます。

手元に残す要点

• 解は2式を同時に満たすxとyの組です。
• 係数が同じなら引き、反対なら加えると文字を消せます。
• 1文字が表されていれば、式全体をもう一方に代入できます。
• 式を何倍かするときは両辺の各項に掛けます。
• 求めた組は元の2式に戻して確かめます。

途中のどこで止まったかを見る

お子さまが答えを出せなかったときは、まず消したい文字に印を付け、その係数を見て加えるか引くかを説明できるか確かめます。選択は合っていても、式を倍にする際に右辺を忘れる場合と、括弧の中の負号を変え忘れる場合では、戻る行が異なります。途中式を1行ずつ残すと、その違いを本人と見分けられます。

個別指導では、本人の書いた式を元に、どの操作で等式が保たれるかを声に出して確かめます。答えが合った後も、2式へ代入して左右が一致する理由を説明できるかを見ます。片方にしか合わない組が出たら、検算の結果から最初に崩れた行を探し直せます。2つの条件を行き来する習慣が、連立方程式の解を確かなものにします。