高校受験の小論文で増加率と増加人数を混ぜたら—増えた量を別々に比べる練習｜武蔵野個別指導塾

班の初めと終わりの人数から差と割合を計算し、順位が逆になる理由を確かめる増加率の練習です。

増加率が大きい班でも、増えた人数が多いとは限りません。初めの人数が異なると、同じ1人の増加が占める割合が変わるからです。小論文の下書きでは、終わりの人数から初めの人数を引いた差と、その差を初めの人数で割った率を別々に出し、文がどちらを指すかを見直します。

よくあるのは、増加率の大きい班が人数も多く増えたと書いた中3の場面です。表の数字を一度は読んでいても、百分率の大小をそのまま人数の差に移すと、資料が示す関係と文が食い違います。数字の大小を比べる前に、何を基準にした数字なのかを机の上に残しておきましょう。

大きい百分率から人数を決めない

次の表は練習のために作った資料です。同じ期間の始めと終わりに、活動に参加した人数を班ごとに数えたという条件です。実際の学校や調査の数字ではありません。

青班は50人から40人を引くので10人増えました。赤班は15人から10人を引くので5人増えました。増加人数は青班のほうが5人多いと表から確かめられます。一方、増加率は青班が10 ÷ 40で0.25、つまり25％です。赤班は5 ÷ 10で0.5、つまり50％です。増加率は赤班のほうが大きく、増加人数とは順序が逆です。

図1のように、人数の差と率を別の列に置くと、同じ「大きい」という言葉でも指すものが違うと見えます。図には、率を計算するときの基準になる始めの人数も併記しています。棒の高さの印象ではなく、表の値と計算を根拠に比べます。

たとえば「赤班は増加率が高いので、青班より多くの人が増えた」と書くと、前半の50％と25％の比較は合っていますが、後半の人数の比較は逆です。「赤班の増加率は50％で青班の25％より大きい。一方、増加人数は青班が10人、赤班が5人である」と直せば、資料から読める二つの関係がそれぞれ残ります。

「青班の人数は赤班より多い」とだけ書くことにも注意が必要です。始めの人数なのか、終わりの人数なのか、増えた人数なのかが読者に伝わりません。比較したいのが増加人数なら「増えた人数」と名付け、どの班の数字かまで書きます。率についても「人数が50％」とせず、「始めの人数に対する増加率が50％」とすると基準が明らかです。

率が2倍だから増えた人数も2倍だと考えるのも同じ取り違えです。この例では50％は25％の2倍ですが、赤班の増加人数は青班の半分です。赤班の基準は10人、青班の基準は40人なので、率に掛かる元の大きさが違います。率が高いという事実を消す必要はありません。ただし、その事実から人数の順位を決めないようにします。

差を出してから基準で割る

図2のように、各班について「始め」「終わり」「差」「始めに対する率」を横に並べます。まず期間が同じか、人数の単位がそろっているかを見ます。条件が違う表を同じ期間の比較として扱わないためです。次に終わりから始めを引き、増えた人数を求めます。増えていると確かめた後で、その差を始めの人数で割ります。

青班なら50から40を引く計算を計算したいところですが、答案の下書きには「50から40を引く」と日本語で書いてもかまいません。差は10人です。10を40で割って0.25、100を掛けて25％にします。赤班も同じ順番で差5人を10人で割り、50％を得ます。割る数を終わりの人数に替えると、始めに対する増加率とは別の値になるので、分母に使った数を丸で囲んでおきます。

途中の数を省かないことには理由があります。差を先に書けば、率を計算するときにどの人数を割るか見失いにくくなります。基準を添えれば、百分率だけが下書きに残っても元の表に戻れます。最後に各列を縦に見て、増加人数の順序と増加率の順序を別々に記します。順位が同じか逆かを先に予想する必要はありません。

計算後は逆向きにも点検します。始めの40人の25％は10人、10人の50％は5人です。それぞれを始めに足すと50人と15人になります。計算した差が元の終わりの数につながらなければ、引き算か割り算、または表の読み取りに戻ります。率の数字だけを見直すより、どの段階で食い違ったか探しやすくなります。

時間が足りなくなったときは、暗算した率だけを急いで文に移さず、まず両班の差を表の余白に残します。率まで確かめる時間がなければ、確かめられた増加人数について書き、未計算の率の大小を推測しません。時間切れを理由に、手元にない比較結果を作らないためです。

電卓など外の道具を練習で使う場合も、入力した式と単位は紙に残します。画面に予想外の値が出たら、差を割ったか、始めの人数で割ったかを確かめます。道具が動かないときは、分数のまま差と基準を書き、割り切れるところまで手計算します。答えを確かめられない値は無理に断定せず、後で計算できる形を残します。

基準を変えると比較も変わる

別の練習条件として、同じ期間に緑班は20人から24人、橙班は8人から11人になったとします。増加人数は緑班が4人、橙班が3人です。増加率は緑班が4 ÷ 20で20％、橙班が3 ÷ 8で37.5％です。図3のように、人数の差では緑班、率では橙班が大きくなります。割り切ると小数が残っても、差の順位を率の順位に変えてはいけません。

もし「橙班は37.5％増えたから4人以上増えた」と書いたら、まず差の列へ戻ります。11人から8人を引いた3人が増加人数です。もし「緑班は4人増えたから増加率も大きい」と書いたら、基準の列に戻ります。4人を20人で割った結果と、3人を8人で割った結果を比較する必要があります。どちらも、直す場所が違うだけで、率と人数を結び付ける基準を落とした誤りです。

同じ人数だけ増えた場合も考えてみます。始めが異なり、両方とも3人増えたなら、増加人数は同じです。それでも、始めの人数が小さい班では3人を小さい数で割るため、増加率は大きくなります。逆に、同じ増加率であっても始めの人数が異なれば、増加人数は同じとは限りません。どちらも差と基準を分けて置けば検討できます。

始めの人数が0人の資料では、差は終わりの人数から0人を引いて求められますが、差を0で割る増加率は定義できません。「0％増加」や「無限に増加」と置き換えず、人数の変化を書き、通常の計算では増加率を出せないと扱います。始めの人数が不明なときも率は出せません。終わりと差から始めが求められる条件があるか確認し、足りないままなら比較を保留します。

終わりの人数が始めより少ない場合、引き算の結果は負になり、増加した人数として正の数を置くことはできません。減少として表現を改め、どの数を基準にした変化かを明示します。始めと終わりが同じなら差は0人で、始めが0人でなければ増加率は0％です。始めも終わりも0人なら、差は0人でも0で割る率は出せないという区別が残ります。

表の数字が読みにくい、単位が欠けている、期間がそろっているか不明という場合は、勝手な数字を補わず元の資料の見出しや注を探します。それでも条件が定まらなければ、その比較は保留します。練習中に書き写しを間違えたと気づいたら、答えだけを直さず、元の表から差と率を計算し直します。誤った差を使った文が別の場所に残ることを防ぐためです。

比較の言葉を点検する

下書きを見直すときは、数字の正しさに加えて、比較の範囲を狭めすぎたり広げたりしていないかを見ます。青班と赤班の表で言えるのは、この練習条件での二つの班の人数と増加率の関係です。率が高いことから、取り組みの方法が優れていたとまでは言えません。表には人数の変化があっても、その変化を生んだ理由は載っていないからです。

「青班は10人増え、赤班は5人増えた」という文は差の列に対応します。「赤班は始めの人数に対して50％増えた」という文は差と基準の両方に対応します。文の横に対応する列を小さく書き、対応先が見つからない言葉に線を引きましょう。特に「だから」の後ろに別の種類の大小が続くときは、計算結果をもう一度確かめます。

増加率の差を述べる場合も単位を取り違えないようにします。青班の25％と赤班の50％の差は25ポイントです。これは増えた人数の差である5人とは別の数です。率の比が2倍ということとも違います。必要な比較だけを選んで書き、異なる単位の数を同じ差として扱わないようにします。

練習では、表を隠して文章だけを読み、どの班のどの値を比べたのか言えるか試す方法もあります。言えなければ、表に戻って班名、期間、差または率を補います。反対に数字を並べただけで比較の向きが伝わらない場合は、「どちらが大きいか」を添えます。資料と文章を往復することで、計算の正解を読み手に伝わる表現に変えられます。

確かめ問題で文まで戻す

次は新しく作った練習資料です。同じ期間の始めと終わりの参加人数を示します。前の班とは別の条件として、二つの比較を計算し、下書きを直してください。

下書きは「星組の増加率が高いので、増加人数も月組より多い」です。増加人数と増加率をそれぞれ求め、この文の合っている部分と直す部分を示しましょう。計算の途中で使う基準も書きます。

答えは、月組が12人増えて20％、星組が10人増えて40％です。月組は72から60を引いて12人、12を始めの60で割って0.2です。星組は35から25を引いて10人、10を始めの25で割って0.4です。100を掛けるとそれぞれ20％と40％になります。星組の増加率が高いという部分は合っていますが、増加人数は月組のほうが2人多いので後半を直します。

書き直しの一例は「始めの人数を基準にした増加率は星組が40％、月組が20％である。一方、増加人数は月組が12人で、星組の10人より多い」です。率と人数の両方に班名と数を添えると、二つの比較が交差していても読み手が追えます。表にない理由や原因は、この計算からは決められません。

両方の率を終わりの人数で割った人は、「差を出してから基準で割る」の段落に戻り、始めの人数を丸で囲んでください。差を取り違えた人は、表の始めと終わりの列へ戻り、引く順序を矢印で書きます。率は合っているのに人数の順位を逆にした人は、差の列を縦に比べ、率の列とは別の文にしてください。

計算が合わないときには、月組なら60人の20％が12人で、足すと72人になるかを確かめます。星組なら25人の40％が10人で、足すと35人になるかを確かめます。逆算が合うのに文章が合わない場合は、計算ではなく比較対象の名前を点検します。比較の対象を混同したときは、表の行ごとに指で追い直します。数字の横に「人」「％」を付けると、どの列から文を作ったかも追いやすくなります。

さらに、問題文が増加人数を尋ねているのか、増加率を尋ねているのかにも印を付けます。両方を書ける場合でも、問われた比較を先に示せば答えの焦点が明確になります。途中で割合の計算に迷った場合は、答えを推測する前に、差と始めの人数の対応をもう一度たどります。

手元の下書きを持ち寄る

個別指導で見直すときは、練習に使った表と計算の途中、書き直す前の一文を並べます。表が手元になければ、記憶した数を事実として補わず、資料を探してから比較します。お子さまがどこで迷ったかを確かめるには、正答だけでなく、差と率をどの順番で出したかが見えるメモが役立ちます。

最初に増加人数の列を作り、次に基準の人数と率を結びます。そのうえで文の「多い」が人数を指すのか率を指すのかを声に出して読みます。増加率の大きさと増えた人数を別々の文で確かめれば、表の数字が伝える逆転をそのまま答案に残せます。