中学受験理科の溶解度—水の量と温度をそろえて結晶の重さを求める｜武蔵野個別指導塾

水溶液の重さから水の量を取り出し、冷却後に生じる結晶を表の条件に沿って数え、その差を読み解く鍵は溶解度です。

溶解度（ようかいど）の問題では、まず表の数値が「水何g」に対応しているかを見ます。そのうえで、実際に使った水の量に合わせ、冷やす前に溶けていた量と冷やした後も溶けていられる量を比べます。差が結晶（けっしょう）として出てくる場合でも、はじめから常に差を使えるわけではありません。

よくあるのは、小6のお子さまが水溶液全体を水100gと読み替える場面です。水溶液には水と溶けた物の両方が入っています。表の基準となる水だけの重さと、容器の中の液全体の重さに印を付け分けると、どこから計算を始めるかが見えてきます。

問われ方には、水の量を変えたときの溶ける限度を求める型、飽和（ほうわ）した水溶液を冷やして出る結晶の重さを求める型、はじめに飽和していない液から結晶が出るかを判断する型があります。どの型でも、温度、水の重さ、溶けている物の重さを同じ時点でそろえることが出発点です。

表の100gは何を表すか

溶解度は、ある温度で水100gに溶ける物の限度を、その物の重さで表したものです。たとえば表に「水100gにつき物質Aが40g」とあれば、その温度で水100gに溶けるAの限度が40gという意味です。水溶液全体が100gという意味ではありません。ここでのAと数値は、説明のための条件です。

限度まで溶けた水溶液を飽和水溶液（ほうわすいようえき）といいます。水100gにAが40g溶けて飽和したなら、液全体の重さは100gと40gを足した140gです。水の量と液全体の量は別の場所に記録します。容器の重さは含めません。

図1のように、水と溶けた物を分けてから、合わせた液全体を見ます。図では水100gとA40gの組を表しています。

図1の水100gを基準として、同じ温度で水が200gなら、溶ける限度も表の2倍の80gです。水が50gなら半分の20gです。計算に入る前に、水の量が基準の何倍かを求めると、限度の量との対応を間違えにくくなります。

温度が変わると限度も変わります。どれだけ変わるかは物質と表の条件によって異なります。温めればどの物質も同じ割合で溶けると決めず、問題にある温度の行を読みます。温度が表にない場合は、与えられた情報だけでその値を決めません。

飽和していない液には、同じ温度でまだ物が溶ける余地があります。透明であることだけでは飽和かどうかは決まりません。実際に溶けた量を、その温度と水の量に対応する限度と比べて判断します。限度と等しければ飽和、少なければ飽和していません。

水200gを使った冷却の道筋

次の表は、物質Bについてこの問題で与える条件です。水の蒸発（じょうはつ）はなく、出た結晶はすべて取り出せるものとします。Bは水とは別の固体で、出てくる結晶には水が含まれないものとします。各温度で十分に待ち、溶ける量が表の限度に落ち着いた状態を考えます。

水200gに60℃でBを限度まで溶かし、20℃まで冷やします。出てくる結晶は何gですか。整数で答えましょう。

まず水200gは表の水100gの何倍かを考えます。図2のように、どちらの温度でも同じ水200gに直してから比べます。

図2の順に、60℃で溶けていた量を求めます。限度まで溶かしたので、表の値を水の量に合わせた結果が、実際に溶けていた量です。

200 ÷ 100 = 2

50 × 2 = 100

したがって冷やす前に溶けていたBは100gです。次に、20℃で水200gに溶けていられる限度を求めます。冷やしても水は蒸発しないので、水の重さは200gのままです。

20 × 2 = 40

冷やした後も溶けているBは40gです。はじめの100gからこの40gを引くと、液から出たBの量が求まります。

100 − 40 = 60

答えは60gです。式の100gと40gは両方ともBの重さで、200gの水を引いてはいません。冷却前の液全体は水200gとB100gを合わせた300gですが、この300gを水の重さとして表に当てはめることもできません。

確かめると、冷やす前のB100gは、冷やした後に水に溶けている40gと、取り出す結晶60gに分かれています。40と60を足すと100に戻るので、Bの行方が合っています。水についても冷却前後で200gのままという条件に合っています。

表の50gと20gの差は、水100gについての差です。この差を先に求めて2倍しても60gになります。ただし、この近道が使えるのは、冷却前が飽和で、水の量が変わらないなど、2つの限度の差が実際に出る量と一致する条件がそろうときです。条件を確認せず引き算だけを覚えると、次の問題で迷います。

はじめに限度まで溶けていないとき

物質Cの溶解度を、この問題の条件として次の表で与えます。水は蒸発せず、冷却後に出た結晶はすべて取り出せるものとします。

50℃の水150gにCを45g溶かした水溶液を10℃に冷やします。結晶は何g出ますか。整数で答えましょう。

はじめの限度は60gの1.5倍なので90gです。実際に溶けたCは45gですから、この液は50℃で飽和していません。はじめに90gが溶けていたと考えると、問題にないCを加えたことになってしまいます。

10℃では24gの1.5倍の36gまで溶けます。冷やす前に実際に溶けていた45gと比べると、36gを超えた9gが結晶として出ます。

24 × 1.5 = 36

45 − 36 = 9

答えは9gです。50℃の限度90gから36gを引くのではなく、実際の45gから36gを引きます。出発点が飽和かどうかで、最初の量を表から求めるか、問題文に書かれた量を使うかが分かれます。

もし同じ水150gにCが30gだけ溶けていたなら、冷却後の限度36gを超えません。結晶は0gです。36から30を引いて6gを結晶とするのは誤りで、この6gは冷却後にさらに溶ける余地を表します。差を出す前に「実際の量が限度を超えるか」を判断しましょう。

反対に、冷やす前から底に溶け残りがある場合、その重さを冷却によって新たに出た結晶に加えてはいけません。問題が求めるのが冷却で出た量か、最後に底にある固体の合計かを読み分けます。溶けていた量、初めから残っていた量、冷却で出た量は別々に記録すると整理できます。

間違えた式をどこから直すか

図3のように、液全体140gをそのまま水140gとして表に入れると、水を多く数えてしまいます。水100gにA40gが溶けた液なら、液全体は140gですが、その内訳は水100gとA40gです。正しくは水100gを表の基準と対応させます。

図3の誤りを見つけたら、式だけを消す前に、問題文の140gが何の重さかを書き添えます。液全体なら溶けた物を含みます。溶けた物の量がわかっている場合は、液全体からその量を引いて水の量を求められます。必要な内訳が与えられていない場合は、勝手に100gと決めません。

もう1つの誤りは、冷却前後の表の数字だけを引き、実際に溶けていた量を確かめないことです。飽和していない液では、表の上の限度まで物が入っているとは限りません。温度ごとの限度とは別に、実際の溶けた量を書く欄を作りましょう。

冷却後の限度が実際の量以上なら、結晶は出ません。引き算の順序を入れ替えて正の数にしても、出た結晶にはなりません。また、水が減る条件の問題では、冷却前と後の水の量をそれぞれ確かめます。同じ倍率を使う方法は、水の量が同じ場合に限って使えます。

答えを出した後は、結晶と液に残る物を足して、もとの溶けた量に戻るかを確認します。結晶の重さが、もともと溶けていた物の重さより大きいときは、限度と実際の量を取り違えていないか調べます。見直しは式の数字と、その数字が表す物を対応させるところから始めます。

表を読むときの条件の確かめ方

問題の表が水100gに対する値なら、温度の行だけでなく、その見出しも読みます。水の量が違うのに表の値をそのまま使うと、たとえ温度の行を正しく選んでも答えは合いません。はじめと終わりで水の量が同じかどうかを確認し、異なるならそれぞれの水に対する限度を別に求めます。

溶け残りのある液を扱うときも、固体の全量をそのまま溶けた量にはできません。水に溶けている部分と、底に残っている部分を分けます。冷却後に増えた固体の量を問われたときは、冷却前から底にあった固体を除きます。条件にない蒸発や取りこぼしを想像して計算を変える必要はありません。

図や表の横には単位も添えます。温度の数字と重さの数字は、同じ表にあっても足したり引いたりできません。何℃のときの、何gの水に対する、何gの物かをひとまとまりとして読むと、別の行の数値を使ったときにも気づけます。

自分で試す4問

次の各表の数値は、それぞれの問題の中で与えられた条件です。水は蒸発せず、冷却で生じた結晶はすべて取り出せるものとします。答えはすべてgを単位とする整数で求めましょう。

問1

ある温度で、水100gに物質Dが最大30g溶けます。同じ温度の水300gには、最大何gのDが溶けますか。

問2

物質Eは、水100gに対して70℃で80g、30℃で50gまで溶けます。水50gに70℃でEを限度まで溶かし、30℃に冷やすと、結晶は何g出ますか。

問3

物質Fは、水100gに対して40℃で50g、20℃で30gまで溶けます。40℃の水200gにFを40g溶かした後、20℃まで冷やします。結晶は何g出ますか。

問4

ある温度で、水100gに物質Gが最大25g溶けます。この温度でGが限度まで溶けた水溶液250gがあります。水とGはそれぞれ何gですか。

答えと考え方

問1の答え

90gです。300gの水は基準の100gの3倍です。30 × 3 = 90と計算します。温度が同じなので、表の限度を水の量に合わせて3倍します。水とDの重さを足した値を答える問題ではありません。

問2の答え

15gです。水50gは基準の半分なので、70℃では80 ÷ 2 = 40gが溶けています。30℃で溶けていられる限度は50 ÷ 2 = 25gです。40 − 25 = 15gが結晶となります。25gと15gを足すと40gになり、冷却前のEの量と一致します。

問3の答え

0gです。20℃で水200gに溶けるFの限度は30 × 2 = 60gです。実際に溶けていた40gはこの限度以下なので、冷やしても全部溶けたままです。60 − 40 = 20gはまだ溶ける余地であり、結晶の量ではありません。

問4の答え

水は200g、Gは50gです。飽和した液では、水100gとG25gを合わせた125gが1組です。250 ÷ 125 = 2なので、250gの液にはこの組が2組分あります。水は100 × 2 = 200g、Gは25 × 2 = 50gです。200と50を足すと液全体の250gに戻ります。

液全体を250gの水と見なすと、Gまで水に数えてしまいます。まず表から液全体の1組分を作り、その組が何組あるかを考える方法なら、水とGの両方を同じ倍率で求められます。求めた2つの重さの和が問題の液全体と一致することまで確かめましょう。

水と物を分けて覚える

水100gに対する限度を、実際の水の重さに合わせます。 冷却前の実際の量と、冷却後に溶ける限度を比べます。 実際の量が限度を超えるとき、その超過分が結晶です。 水の蒸発や最初の溶け残りは、問題の条件を別に読みます。

家で見守るときの一言

お子さまの答えが合わないときは、先に計算の速さではなく、式の数字が水・溶けた物・水溶液のどれを表すかを聞いてみてください。水溶液の重さを指して水と答えたら、図1に戻り、2つの部分を合わせたものが液全体だと指でたどります。表の100gが水を表すことを確かめてから、問題の水の量へ移ると、直す場所が具体的になります。

冷却の問題では、冷やす前に実際に溶けていた量と、冷やした後の限度を別の欄に書いてもらいます。飽和かどうかを本人が判断した後で、結晶が出るかを尋ねると、差を計算する理由が見えてきます。水と溶けた物を分けて書くことが、結晶の重さを追う道しるべです。