中学受験理科の輪軸—半径と力の対応をそろえてつり合いを求める｜武蔵野個別指導塾

輪の直径と軸の半径が混ざる問題を、図と表で整理して力と移動距離をたどって読み解く輪軸です。

輪軸（りんじく）では、同じ中心を持つ輪と軸が一体となって回ります。つり合いを調べるときは、それぞれのひもがつく位置までの半径と、そのひもを引く力を組にします。輪と軸の数字を見つけたら、まず同じ種類の長さにそろえましょう。

よくあるのは、輪の直径と軸の半径をそのまま比べてしまう小6の場面です。どちらも長さの数字なので、そのまま計算に入れたくなります。しかし、直径は中心をはさんで端から端までの長さで、半径は中心から端までの長さです。同じ基準にしてから比べなければ、力の大小を正しく求められません。

問題の聞き方には、輪のひもを引く力を求める型、軸側のおもりの重さを求める型、ひもが動く距離を比べる型があります。どの型でも、輪と軸が一体で同じ角度だけ回る装置を想像します。力の問題と距離の問題では比の使い方が逆になることに注意します。

中心から測る長さと引く向き

図1のように、輪と軸は中心が同じで、輪の方が大きい装置です。輪に巻いたひもと軸に巻いたひもが、それぞれの円の端から接する向きに引かれています。輪のひもは輪を回そうとし、軸のひもは反対向きに回そうとします。2つの回そうとする働きが等しいと、静かにつり合います。

図1では中心から輪の端までが輪の半径、中心から軸の端までが軸の半径です。ひもが離れる位置は別々でも、どちらも同じ中心から測ります。半径を表す長さは cm、力はここではおもりの重さで表す g 重を使います。100 g 重は、100 g のおもりがひもを引く力と考えます。重さの g と力の g 重を混同しないようにします。

輪軸の重さやひもの重さ、中心の摩擦（まさつ）は考えず、ひもはすべらずに巻きつくものとします。ひもは円に接する向きに引きます。こうした条件のもとでは、輪側の「力 × 輪の半径」と軸側の「力 × 軸の半径」が等しいときにつり合います。これは回そうとする働きを中心からの距離で比べる考え方です。式の左右は装置の左右ではなく、互いに反対向きに回そうとする2つの側を表します。

直径が与えられたら2で割って半径に直します。輪と軸の両方が直径なら両方を2で割ります。両方の直径を使っても比は同じですが、片方だけを直径のままにしてはいけません。数値の横に「輪の半径」「軸の半径」と書くだけで、対応を確認しやすくなります。

輪のひもを引く力を求める

例題です。輪の半径は 12 cm、軸の半径は 3 cm です。軸のひもに 160 g のおもりをつるします。輪のひもを反対向きに回すように引き、静かにつり合わせるには何 g 重の力が必要でしょうか。装置とひもの重さ、摩擦は考えず、ひもはすべりません。

図2のように、輪には求めたい力が、軸には 160 g のおもりによる 160 g 重の力が働きます。まず表に、同じ側の力と半径を横に並べます。

軸側の回そうとする働きを計算します。

160 × 3 = 480

輪側も同じ働きになるので、輪の力に 12 をかけた値が 480 です。求める力は次のように割って出します。

480 ÷ 12 = 40

答えは 40 g 重です。確かめると、輪側は 40 × 12 = 480、軸側は 160 × 3 = 480 となり、2つがそろいます。輪の半径が軸の半径の 4 倍なので、輪側の力は軸側の 4 分の 1 です。大きい輪ほど小さい力でつり合わせられるという見通しとも合います。

ここで 160 × 12 としてしまうと、軸のおもりの力に輪の半径を組み合わせたことになります。表の同じ行だけをかけるようにすれば、この取り違えを防げます。また、40 という数を出したら、何の量を求めたかを問題文に戻って確認します。答えは長さでもおもりの個数でもなく、輪のひもを引く力です。

直径を直し、動いた距離も追う

次は条件を少し変えます。輪の直径が 30 cm、軸の半径が 5 cm の輪軸があります。軸のひもに 90 g のおもりをつるし、輪のひもを引いて静かにつり合わせます。必要な力と、軸のひもが 10 cm 巻き取られる間に輪のひもが動く距離を求めます。重さや摩擦は考えず、ひもはすべりません。

まず輪の直径を半径に直します。

30 ÷ 2 = 15 cm

輪の半径と軸の半径の比は 15 対 5、つまり 3 対 1 です。輪の半径が軸の 3 倍なので、つり合う輪側の力は軸側の 3 分の 1 です。

90 ÷ 3 = 30 g 重

式でも、30 × 15 = 450、90 × 5 = 450 と確かめられます。直径の 30 をそのまま輪側の半径として使うと、輪側の長さを実際の 2 倍と見てしまいます。この例で出る 15 g 重はつり合う力ではありません。

距離では考える向きが変わります。輪と軸は一体なので、同じ時間に同じ角度だけ回ります。同じ角度で進む円周上の長さは半径に比例します。ひもがすべらないため、動くひもの長さも輪と軸の半径の比 3 対 1 になります。

10 × 3 = 30 cm

輪のひもは 30 cm 動きます。輪側の力は小さくなりましたが、その側のひもは長く動きます。力を求めるときの 3 分の 1 を、そのまま距離にも使うと逆になります。何を比べる式かを先に書くと、比の向きを選びやすくなります。

ひもの移動距離は、輪軸が何回転したかがわからなくても、両側が同じ角度だけ回ったとわかれば比べられます。反対に、ひもがすべる条件では円周上を進んだ長さとひもの移動距離をそのまま対応させられません。問題にある条件を省かずに読むことが、計算に入る前の分かれ目です。

混ざった長さをそろえ直す

図3は、輪の直径と軸の半径を直接比べた誤りと、その直し方です。輪の直径が 24 cm、軸の半径が 4 cm のとき、24 対 4 と比べると、輪を実際より大きく見積もります。輪の半径は 24 ÷ 2 = 12 cm なので、正しい半径の比は 12 対 4 です。

図3のように、直径の横に「半径に直す」と書いてから比を作ります。どちらも直径に直す方法でも比は同じですが、力の式に入れる際は中心からの距離である半径にそろえると混乱しません。図を見た印象で長さを選ぶのではなく、数値が何を表すかを確かめます。

もう1つの誤りは、どちらのひもも同じ向きに輪軸を回そうとしているのに、力の大きさだけを比べてつり合うと判断することです。つり合いの式を使う前に、各ひもが輪軸を時計回りと反時計回りのどちらに回そうとするかを確かめます。反対向きの働き同士が等しいときに、ここで扱うつり合いが成り立ちます。

単位の混同にも気をつけましょう。半径に mm と cm が混じる場合は同じ単位に直してから比べます。また、おもりの重さを聞かれているのか、ひもを引く力を聞かれているのかで答えの単位を選びます。計算結果の数字だけを見直すより、表の見出しから点検すると誤りの場所を見つけやすくなります。

図を式に移すときの点検

輪軸を正面から見ると、輪と軸の中心は同じ点です。輪の外側にあるひもが長く見えても、つり合いの式に入れるのはひもの長さではありません。中心からひもが接する場所までの半径です。ひもが長く垂れ下がっていても、それだけで回そうとする働きが大きくなるわけではありません。

軸側におもりをつるす場合、おもりが引く力はひもを通じて軸に伝わります。一方、手で輪側のひもを引く場合は、問題文で与えられた引く力を輪側に置きます。おもりの重さがどちら側にあるかを図でたどり、輪と軸の表に記入してから計算します。輪側のおもりと軸側のおもりを入れ替えると、それぞれに組み合わせる半径も入れ替わります。

つり合いの式では、求めたい数が輪側でも軸側でも手順は同じです。先に数値がそろっている側の力と半径をかけ、その値をもう片方の半径で割ります。求める数が大きくなるか小さくなるかを半径の大小から予想しておき、計算後の答えと比べます。たとえば大きい輪の側にある力が小さい軸の側より大きい答えになったら、力と半径の対応を見直します。

ただし、予想だけで答えを決めることはできません。半径が何倍かを正確に求め、計算した後に両側の積を比べます。2つの積が違うときは、数をかけ直す前に、半径への直し忘れ、単位の違い、力を置いた側の取り違えを順に調べます。1つずつ原因を調べると、どの行を修正したかも追えます。

距離の問題でも、最初に輪側と軸側を区別します。輪のひもが引き出される間、軸のひもは反対に巻き取られる場合があります。このとき移動方向は反対ですが、移動した長さの比は半径の比で考えます。方向と距離の大きさを別々に記録すれば、巻き取る側を読み違えずに済みます。

同じ輪軸でも、回した角度が変われば両側の移動距離は変わります。けれども、その都度輪と軸が一緒に回るので、ひもがすべらない限り両側の移動距離の比は半径の比のままです。力のつり合いを考える条件と距離を考える条件をそれぞれ言葉で確かめ、必要な関係を選びます。

比を約束どおりに並べることも大事です。輪対軸と決めたら、半径も距離も同じ順に書きます。途中で軸対輪に変えると、同じ数字を使っていても反対の答えになります。表の左端に輪、次の行に軸と書いておくと、順序を保てます。答えには単位も添えます。

自分で確かめる問題

いずれも輪軸とひもの重さ、摩擦は考えず、ひもはすべりません。ひもは円に接する向きに引き、2つの力は互いに反対向きに回そうとします。

1. 井戸の模型で、輪の半径は 20 cm、軸の半径は 4 cm です。軸側に 250 g のおもりをつるします。輪のひもを何 g 重で引くと静かにつり合いますか。
2. 巻き上げ装置の模型で、輪の直径は 36 cm、軸の直径は 12 cm です。輪のひもを 70 g 重で引くとき、軸側には何 g のおもりをつるせばつり合いますか。
3. 工作の巻き取り器では輪の半径が 16 cm、軸の半径が 8 cm です。軸のひもが 7 cm 巻き取られる間に、輪のひもは何 cm 動きますか。
4. 輪の直径が 40 cm、軸の半径が 10 cm の装置で、半径の比を 40 対 10 とした人がいます。どのように直せばよいですか。

答えと道筋

1. 輪の半径は軸の 20 ÷ 4 = 5 倍です。つり合う輪側の力は軸側の 5 分の 1 なので、250 ÷ 5 = 50 g 重です。確かめると 50 × 20 と 250 × 4 はどちらも 1000 です。力と半径が同じ側で組になっています。

2. 輪の半径は 36 ÷ 2 = 18 cm、軸の半径は 12 ÷ 2 = 6 cm です。輪の半径は軸の 3 倍なので、つり合う軸側の力は輪側の 3 倍です。70 × 3 = 210 g 重となり、つるすおもりは 210 g です。70 × 18 と 210 × 6 が等しいことでも確かめられます。

3. 半径の比は 16 対 8、つまり 2 対 1 です。同じ角度だけ回り、ひもがすべらないので、輪側のひもの移動距離は軸側の 2 倍です。7 × 2 = 14 cm です。力の比を求める場合と違い、大きな輪の側の移動距離が長くなります。

4. 輪の直径 40 cm を 2 で割り、輪の半径を 20 cm に直します。軸はすでに半径なのでそのまま 10 cm です。半径の比は 20 対 10、つまり 2 対 1 です。片側だけを直径にした比は使えません。両方を直径にして 40 対 20 としても、比は同じ 2 対 1 になります。

覚えておくこと

輪と軸の力には、それぞれ同じ側の半径を組み合わせます。
反対向きに回す働きが等しいと、輪軸はつり合います。
同じ角度だけ回り、ひもがすべらなければ、移動距離は半径の比になります。
直径と半径は同じ種類にそろえて比べます。

家で見守るとき

お子さまが答えを出したら、まず「その数字は輪のどこからどこまでの長さかな」と尋ねてみてください。直径と半径の言い間違いなら中心を指して測り直し、力の対応の間違いなら輪と軸の表に数値を置き直します。最初から式を代わりに書く必要はありません。

移動距離で迷ったときは、輪と軸が一緒に回ることと、外側の輪の方が同じ角度で長い道のりを進むことを図に戻って確かめます。力の大小と距離の長短を別々に説明できたら、自分の式が何を表すかも点検できます。輪軸の中心を見つける一手が、比の向きを整えます。