中学受験理科の滑車—糸の本数と動く距離から必要な力を考える方法｜武蔵野個別指導塾

荷物と一緒に動く滑車を囲み、外から支える糸を数えます。引く力と距離を求めるときは、固定端と引く端の動きに注目しましょう。

滑車（かっしゃ）の問題では、輪の数を数える前に、持ち上がる部分をどの糸が支えているかを見ます。支える糸に同じ大きさの力がかかる条件なら、荷物の重さをそれぞれの糸が分けて受け持ちます。糸を引く距離は、短くなる部分を順に追って求めます。

よくあるのは、動滑車を支える糸の本数を数え違える小6の場面です。輪が1個だから糸も1本と考えたり、上にある輪から垂れる糸を全部数えたりすると、力の大きさが変わってしまいます。糸が輪に触れている場所と、荷物と一緒に上がる部分を見分けることから始めましょう。

問われ方には、荷物をゆっくり持ち上げる力を求める型、荷物を決まった高さまで上げるために糸を引く長さを求める型、定滑車を加えた図で力の向きや大きさを比べる型があります。どの型でも、装置のつながりをたどってから数字を書き入れると、違う量を混ぜずに考えられます。

動く輪と止まる輪を見分ける

定滑車（ていかっしゃ）は、輪の中心が固定されている滑車です。糸を上から下へ折り返すなど、力を加える向きを変えられます。一方、動滑車（どうかっしゃ）は、輪の中心が荷物と一緒に動く滑車です。図1のように、固定した端から糸を下ろし、動滑車の下を回して反対側の端を上に引くと、動滑車は左右の2本の糸に支えられます。

図1の左では、荷物に直接つながる糸は1本です。右では、荷物と動滑車をひとまとめに見ると、上へ引く糸が左右に1本ずつあります。左右は1本の糸の別々の部分ですが、支える部分としては2本と数えます。引く端も、動滑車から上へ伸びて輪を支える部分なら数えます。

ここでは糸と滑車の重さ、糸と滑車の間の摩擦（まさつ）を無視し、糸は伸びず、たるまないものとします。荷物は急に動かさず、ゆっくり一定の速さで上げるか、つり合わせます。また、糸は動滑車の両側で鉛直（えんちょく）に伸びているものとします。こうした条件では、1本の連続した糸の各部分にかかる引く力は同じ大きさです。

重さや引く力は、ここでは何gのおもりを支える力に当たるかという「gの力」で表します。長さはcmでそろえます。gは荷物の重さ、gの力は引く力として区別し、数字が同じでも何を表すのかを書き添えます。問題で別の単位が与えられたときは、その単位に合わせます。

2本で支えるときの計算

例題です。図2のように、天井に一端を固定した糸を1個の動滑車の下に回し、もう一端を真上に引きます。動滑車には240gの荷物をつるします。荷物を6cm上げるには、何gの力で糸を何cm引きますか。糸と滑車の重さ、摩擦を無視し、糸は伸びず、たるまず、両側は鉛直です。荷物はゆっくり一定の速さで上げます。

図2のように、まず荷物と動滑車をまとめて囲んだと考えます。そのまとまりを上向きに支えるのは、輪の左右にある糸の2本です。2本は同じ力で引くので、240gの荷物を半分ずつ受け持ちます。

240 ÷ 2 = 120

したがって引く力は120gの力です。引く手が1本の糸を持っているからといって、荷物を支える部分が1本になるわけではありません。固定端側の糸も、輪を上へ引いています。

次に距離です。荷物と動滑車が6cm上がると、固定端から輪までの左側は6cm短くなります。糸全体の長さは変わらず、輪にかかる部分も同じ長さなので、輪から引く端までの右側は6cm長くなります。引く端は、輪の上昇6cmに、この長くなった6cmを加えた距離だけ上がります。

6 + 6 = 12

よって糸を引く長さは12cmです。力と距離の対応を表にすると、取り違えを見つけやすくなります。

力は荷物の重さを2等分します。距離では、固定端側で短くなった分だけ、輪から引く端までの糸が長くなります。引く端は輪よりもその分多く上がるので、荷物の上昇距離の2倍動きます。求めるのは糸全体の長さではなく、端を持つ手の移動距離です。

上にもう1個の輪があるとき

次は糸の向きが変わる場合です。天井に固定した糸を下へ伸ばし、動滑車の下を通してから上に戻します。その糸を天井の定滑車にかけて折り返し、端を下向きに引きます。動滑車に180gの荷物をつるし、荷物を8cm上げます。ほかの条件は先ほどと同じです。引く力と引く長さを求めます。

分かれ目は、上の輪が荷物と一緒に上がるかどうかです。上の輪の中心は固定されているので定滑車です。下の輪は荷物とともに動くので動滑車です。荷物と下の輪をひとまとめに囲むと、そのまとまりを支えるのは下の輪の左右にある2本の糸です。

180 ÷ 2 = 90

引く力は90gの力です。定滑車の両側は糸の向きを変える部分ですが、定滑車自体は荷物とともに上がりません。上の輪から垂れる糸を見えるまま全部足して、支えが3本だとすることはできません。

距離も下の輪に注目します。下の輪が8cm上がると、下の輪の両側にある2つの部分がそれぞれ8cm短くなります。上の定滑車は固定されているので、糸を折り返す位置は動きません。

8 + 8 = 16

端を下向きに16cm引きます。上の定滑車は引く向きを上向きから下向きに変えますが、この条件では力の大きさや引く距離をさらに半分にはしません。図が複雑に見えるときほど、輪の個数と、動く部分を支える糸の本数を別々に書くと整理できます。

数え違いを図に戻して直す

図3は、基本例題で240gを3本で支えると考えて80gの力とした誤りと、その直し方です。上へ伸びる線を見た順に数えると、荷物をつるす短い部分まで、支える糸に加えてしまうことがあります。

図3のように、荷物と動滑車を一緒に囲み、その外から上向きに引く糸を数え直します。荷物と輪をつなぐ部分は囲みの内側にあります。そこを加えず、左右の2本を数えると、240 ÷ 2 = 120で、120gの力になります。

もう1つの誤りは、荷物が6cm上がると糸の端も6cmだけ上がるとする答えです。基本例題では固定端側が6cm短くなり、輪から手元までの糸は6cm長くなります。手元は輪と一緒に上がる6cmに加えて、さらに6cm上がるので、移動距離は12cmです。

逆に、基本例題の糸の端を上向きに12cm動かしたときは、輪の上昇分と、輪から手元までの糸が長くなる分に分けます。この2つの長さは等しいため、荷物が上がる高さは12 ÷ 2で6cmです。問題が糸の端と荷物のどちらの移動を聞いているか、先に確かめます。

図の読み取りを確かめる

問題の図が小さく、糸が重なって見えることもあります。そのときは固定端から指でたどり、どの輪の下を通ってどこに出るかを紙の上で描き直します。糸が連続していても、動く輪の左右にある部分は別々に輪を支えています。糸の本数を答える前に、何を支える本数なのかを決めておきます。

荷物を囲む範囲には、荷物と一緒に動く輪も入れます。輪から荷物へ伸びる短いひもは、囲んだ中で荷物と輪をつなぐ役目です。このひもを輪の左右の支えに足すと、同じまとまりの内部を数えることになります。固定端から輪に向かう部分と、輪から引く端へ向かう部分をそれぞれ確認します。

次に、同じ力としてよい条件を読みます。ここでは摩擦を無視し、連続した糸の両側が鉛直で、輪や糸の重さも無視できる設定です。もし問題で滑車の重さを考えるように求められたら、荷物だけの重さをそのまま2で割る手順は使えません。条件が違うときは、何を合わせて支えるのかから考え直します。

長さの図では、輪の前後の位置と、引く端の前後の位置を別々に見ます。図2では、左の固定端側が短くなった分だけ、輪から手元までの右側が長くなります。手元の上昇距離は、輪の上昇距離と右側の増加分を足して求めます。上の定滑車を通して下向きに引く配置なら、動滑車から上の固定位置までの2部分がともに短くなり、その合計が引く長さになります。輪にかかる糸の長さは、どちらの配置でも変わりません。

答えを文章で確かめるときは、力なら「何gの力」、距離なら「何cm」と書きます。力と長さは別の量なので、それぞれの数字を足し合わせることはしません。図、式、単位の順で見直すと、計算が合っていても問われたものを取り違えた場合に気づけます。

自分で確かめる4問

どの問題も糸と滑車の重さ、摩擦を無視します。糸は伸びず、たるまず、動滑車の両側の糸は鉛直です。荷物はゆっくり一定の速さで動きます。まず図を描き、答えを見る前に支える糸と動く部分に印をつけてみましょう。

1. 机上の図で、320gの箱を1個の定滑車にかけた糸でつるし、下向きに引いて箱を9cm上げます。引く力と、糸を引く長さを求めます。
2. 1個の動滑車に460gの袋をつるします。糸の一端は天井に固定し、輪の下を通したもう一端を上向きに引きます。袋を7cm上げるときの引く力と引く長さを求めます。
3. 1個の動滑車に荷物をつるし、糸の一端を天井に固定して、もう一端を上向きに18cm引きました。荷物は何cm上がりますか。
4. 動滑車に280gの荷物をつるし、一端を天井に固定した糸を輪の下から上の定滑車へ通して、端を下向きに引きます。荷物を5cm上げるとき、引く力と長さを求め、上の輪を加えた役割も答えます。

答えと道筋

1. 320gの力、9cmです。定滑車は固定され、荷物を支える糸の部分は1本です。力の大きさは荷物の重さに対応し、糸を引いた分だけ荷物が上がります。下向きに引く方向に変わる点も確認します。
2. 230gの力、14cmです。荷物は同じ力の2本の糸に支えられるので、460 ÷ 2 = 230です。輪が7cm上がると固定端側は7cm短くなり、輪から引く端までの糸は7cm長くなります。引く端は輪よりさらに7cm多く上がるので、7 + 7 = 14cm動きます。
3. 9cmです。固定端側の糸が短くなった分は、輪から引く端までの糸が長くなる分と等しくなります。端の上昇18cmは、輪の上昇分と右側の増加分を足した長さです。この2つが等しいので、18 ÷ 2 = 9cmが荷物の上がる高さです。
4. 140gの力、10cmです。荷物と動滑車を支えるのは左右の2本なので、280 ÷ 2 = 140です。両側は各5cm短くなり、5 + 5 = 10cm引きます。上の定滑車は引く向きを下向きに変えますが、支える本数を増やしません。

途中で答えが合わなかったときは、計算だけを消してやり直す前に、囲んだ範囲を見ます。動く輪を囲みから外すと、どの糸を数えたかがあいまいになります。また、定滑車を通った後の端の向きと、荷物の上がる向きは同じとは限りません。図の矢印をそれぞれ描くと、向きと長さを区別できます。

問題を解く途中で糸がどちらに動くか迷ったときは、動滑車の左右の部分を別々に見ます。固定端側は手で引いていなくても、輪が上がれば短くなります。引く端側は、手が動く距離と輪が動く距離の両方に関係します。固定端側を数え忘れると、引く長さを小さく見積もります。

また、荷物が静止してつり合っている場面と、ゆっくり一定の速さで上がる場面では、この条件のもとで同じ力の関係を使います。急に引き始める場面や、摩擦の大きさが与えられた場面に、そのまま同じ答えを当てはめないようにします。

手元に残す要点

• 固定された中心の輪は定滑車、荷物と動く輪は動滑車です。
• 荷物と動滑車をまとめ、外から支える糸を数えます。
• 重さと摩擦を無視し、両側が鉛直で同じ力なら、2本で荷物を半分ずつ支えます。
• 端を上へ引く図では、輪が上がる分と、輪から手元までの糸が長くなる分を合わせて端の移動距離を求めます。
• 定滑車は、この条件では力の向きを変えます。

家で見守るとき

お子さまが答えを間違えたら、すぐに割り算を教えるより、荷物と一緒に動く輪を指してもらいます。次に、その輪と荷物を囲み、囲みの外から上に伸びる糸を指でたどります。輪を回る1本の糸でも、左右の2部分がそれぞれ支えていることを、図の上で確かめられます。

距離で迷ったときは、輪が上がった後と、糸の端を引いた後を別々に描きます。基本例題なら、固定端側は短くなり、輪から手元までの側は長くなります。お子さまには「輪と手元はそれぞれどれだけ上がったかな」と尋ねてみてください。輪の動きと糸の長さの変化を分けると、端が2倍動く理由を確かめられます。