武蔵野個別指導塾の特徴

中学受験算数台形の面積—同じ形を並べて公式の意味と高さを確かめる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.11更新 2026.11.11武蔵野個別指導塾の特徴中学受験の算数図形

上底の逆算と2枚の平行四辺形を通じ、割る2の理由を台形で解く。

よくあるのは、上底と下底を足して高さを掛けたところで計算を終える小5の場面です。数字の使い方は途中まで合っていますが、その答えは元の台形が2枚分ある形の面積です。どこで2枚になったのかを図で追うと、最後に2で割る理由が見えてきます。

台形は向きが変わっても、平行な2辺とその間の垂直な距離に注目します。面積を出す問題から、面積を使って上底を求める問題まで、同じ関係を使って順に考えましょう。

どの量を求める問題か

第一の型は、上底、下底、高さが与えられ、台形の面積を求める問題です。公式を覚えているとすぐ掛け算に進めますが、その前に高さが平行な辺の間の垂直な距離かを確かめます。斜めの辺の長さが書いてあっても、それを高さとして使うことはできません。

第二の型は、面積、下底、高さから上底を求める問題です。このときは公式の計算を逆にたどります。まず面積を2倍して、2枚分の平行四辺形の面積に戻します。次に高さで割れば、その底辺、つまり上底と下底の和が出ます。最後に下底を引くと上底が残ります。

第三の型は、台形を2枚並べた図から、面積や辺の長さを考える問題です。並べた後にできる形の底辺がどこか、元の台形が何枚入っているかを見分けます。元の台形の面積を聞かれているのに、2枚分を答えないようにしましょう。

2枚を合わせると何が変わるか

台形の向かい合う辺のうち、平行な2辺を上底、下底と呼びます。図を上下逆に置けば呼び名は入れ替わりますが、2辺の和は変わりません。高さは、その平行な2辺を結ぶ垂直な線の長さです。辺が斜めでも、平行な直線の間の距離は一定です。

図1の淡い青と淡い緑は同じ台形です。青の台形を半回転させた緑の台形を、斜めの辺が重なるように並べています。上側の一直線は元の上底と下底を合わせた長さになり、下側も同じ長さです。左右の斜めの辺も平行なので、全体は平行四辺形です。

この平行四辺形の底辺は「上底 + 下底」、高さは元の台形と同じです。2枚の台形は形も面積も等しいため、全体の面積を2で割れば1枚の面積に戻ります。したがって、台形の面積は次の式で求められます。

（上底 + 下底）× 高さ ÷ 2

括弧の中を先に計算します。先に上底と下底の和を2で割り、その平均に高さを掛けても同じ面積です。ただし、先に2で割る方法では、どこを平均したのかを式に残しましょう。上底か下底の一方だけを2で割ると、平行な2辺全体の平均にはなりません。

斜めの辺は2枚をつなぐ目印になりますが、面積を出す式にその長さは必要ありません。高さは斜めの辺に沿って測るのではなく、平行な辺に直角に引きます。図の外に垂直な線を延ばす必要がある形でも、平行な2直線の間の距離を高さとします。

基本例題：2枚分を出してから戻す

上底が6 cm、下底が14 cm、高さが5 cmの台形があります。この台形の面積を求めましょう。図2は同じ台形をもう1枚用意し、半回転させて並べたものです。

図2では、上の辺に6 cmと14 cmが並びます。2枚を合わせた平行四辺形の底辺は20 cm、高さは台形と同じ5 cmです。順に表へ整理します。

調べる量	計算	結果
平行四辺形の底辺	6 + 14	20 cm
2枚分の面積	20 × 5	100 cm²
1枚分の面積	100 ÷ 2	50 cm²

答えは50 cm²です。最初の20 cmは長さ、次の100 cm²は面積です。単位を一緒に書くと、和を出した段階と面積を出した段階を区別しやすくなります。

1行の式なら（6 + 14）× 5 ÷ 2 = 50です。別の順序では、6 + 14 = 20、20 ÷ 2 = 10、10 × 5 = 50となります。この10 cmは平行な2辺の長さの平均であり、斜めの辺の長さを表しているわけではありません。

答えの見当もつけてみます。上底と下底の平均は6 cmと14 cmの間ですから、同じ高さを掛けた面積も、6 × 5 = 30 cm²と14 × 5 = 70 cm²の間にあります。50 cm²はこの範囲に入ります。一方、100 cm²は上底も下底も14 cmの長方形より大きく、1枚の答えとしては不自然です。

図2の全体の面積を聞かれた場合は100 cm²が答えです。1枚を聞かれた場合は50 cm²です。どちらも同じ途中計算を使いますが、問題が指定した範囲を最後に確認します。

逆向きにたどって上底を求める

面積が84 cm²、下底が17 cm、高さが7 cmの台形があります。上底は何 cmでしょうか。求める上底を先に決められないので、面積から公式の計算を逆に戻します。

まず同じ台形を2枚並べます。2枚分の面積は84 × 2 = 168 cm²です。並べた平行四辺形の高さは7 cmなので、底辺は168 ÷ 7 = 24 cmです。この24 cmが上底と下底の和です。下底17 cmを引くと、上底は24 − 17 = 7 cmになります。

最後に元の式へ戻して確認します。（7 + 17）× 7 ÷ 2 = 84 cm²です。上底7 cmは下底17 cmより短く、問題の条件に合います。高さは平行な2辺の距離として取れるので、この寸法の台形は作れます。

ここでの分かれ目は、168 ÷ 7の答えを何と読むかです。高さで割った時点では、上底と下底を合わせた長さが出ています。これをそのまま上底と答えると、下底の分が余計に入ります。和から既知の下底を引く一手まで書きましょう。

もし引き算で0以下になったら、与えられた正の長さの台形にはなりません。計算の写し間違い、面積の単位、高さの読み取りを順に点検します。問題の条件自体が成立するかも確かめ、無理に正の答えを作らないことが大切です。

割る2を落とした答えを直す

たとえば上底4 cm、下底10 cm、高さ6 cmの台形で、（4 + 10）× 6 = 84 cm²と答えるのは誤りです。この式は途中として正しいものの、84 cm²は同じ台形を2枚並べた平行四辺形の面積です。

図3で色の違う2つの部分は等しい形です。84 cm²の範囲を指で囲むと両方が入り、求めたい台形はその片方です。84 ÷ 2 = 42 cm²とすれば、1枚分に直せます。元の式は（4 + 10）× 6 ÷ 2 = 42 cm²です。

誤りの原因は、公式の最後を忘れたことだけではありません。途中の84が何枚分かを言葉で持っていないと、答えの範囲を確かめられません。「2枚分」「1枚分」と式の横に書き、求める範囲と合わせます。

もう一つの間違いは、上底と下底の和ではなく、斜めの2辺の和を使うことです。図を回して見ても、平行な2辺は変わりません。辺に平行の印をつけ、高さには直角の印をつけてから数を拾います。見た目の上下より、平行という条件を優先しましょう。

条件を読み直すための小さな手順

問題文に数が並んでいると、見えた順に掛けたくなります。先にそれぞれの数が長さなのか面積なのかを分け、長さならどの線を表すか図に書きます。平行な辺に対応する数を2つ拾い、直角の印で高さを確かめます。面積の単位がcm²で、辺の単位がcmであることも、読み間違いを見つける手がかりです。

2枚を並べるときは、同じ向きのまま横にずらして置くだけでは、図1の平行四辺形にはなりません。片方を半回転し、対応する斜めの辺をぴったり重ねます。上底の隣にもう1枚の下底が来るので、全体の底辺が2種類の辺の和になります。上底を2回足すのでも、下底を2回足すのでもありません。

高さについては、並べた形が横に広くなっても、平行な上下の線の間隔が増えないことを見ます。2枚分だから高さも2倍にする、と考えると面積を余計に増やしてしまいます。増えるのは横に並んだ範囲で、高さは1枚のときと同じです。面積が2倍になる理由は、同じ大きさの部分が2つあることにあります。

逆算では式を一度に変形せず、「1枚の面積」「2枚の面積」「2辺の和」「求める辺」と戻る順を言葉で書きます。途中で得た和が既知の下底より短ければ、上底を正の長さにできません。たとえば数字の写し間違いがないか、2倍と割り算を取り違えていないかを確認します。条件の成立を確かめることも、答えを出す過程の一部です。

面積を求めるときにも、計算が終わったらおよその範囲を見ます。同じ高さなら、台形の面積は上底を底辺とする長方形の面積と、下底を底辺とする長方形の面積の間にあります。2辺の平均がその間にあるからです。範囲内という確認だけでは正しい計算の証明にはなりませんが、2枚分をそのまま答えた場合などに気づけます。