中学受験の算数 旅人算—出会いと追いつきで縮む距離の速さを選ぶ｜武蔵野個別指導塾

向かい合う場合と追う場合の1分ごとの動きを比べ、出発時刻のずれから最初の間隔を求めます。

よくあるのは、小6が追いつきの問題で、2人の速さを足してしまう場面です。どちらも動いているので足したくなりますが、同じ向きなら前の人も先へ進みます。後ろの人が進んだ分から前の人が進んだ分を引くと、2人の間がどれだけ縮んだかが見えます。

道のりを求める前に、まず2人の位置と向きを紙に置いてみましょう。速さの数字だけを見るのではなく、同じ時間にそれぞれが何をするかを追うことが、旅人算の入り口です。

問題文から移動の型を見つける

旅人算では、2人の間の道のりが時間とともにどう変わるかを考えます。歩く速さが変わらず、道がまっすぐ続くものとして、次の3つを見分けます。

1つ目は、離れた2地点から向かい合って同時に出発し、出会う型です。2人とも間を縮める向きに進むので、同じ時間に進んだ道のりを合わせます。最初の間の道のりを、1分あたりに縮む道のりで割ると、出会うまでの時間が出ます。

2つ目は、同じ向きに進み、後ろの速い人が前の人に追いつく型です。前の人も進むため、後ろの人の進んだ道のり全部が間の縮みではありません。1分あたりの縮みは、後ろの人の速さから前の人の速さを引いて求めます。

3つ目は、出発する時刻が違う型です。後から出る人が動き始めるまでに、先に出た人がどこまで進んだかを調べます。そこで初めて2人が同時に動く時間を考えます。求める時間が先の人の出発からなのか、後の人の出発からなのかも、問題文で確かめましょう。

間の道のりを1分ごとに見る

速さは、一定の時間に進む道のりです。分速80 mなら、1分に80 m進みます。2人の速さを比べる前に、どちらも分速なのか、時速なのかをそろえます。時間の単位もそろっていなければ、足したり引いたりした結果の意味が変わってしまいます。

たとえば、向かい合う2人が1分にそれぞれ60 mと40 m進むとします。1分後、片方から60 m、もう片方から40 m、間が短くなります。合わせて100 m縮むので、間の道のりを100 mずつ減らしていくことになります。

先ほどの分速60 mと分速40 mの2人が同じ向きに進み、分速60 mの人が後ろにいる場合はどうでしょう。1分の間に後ろの人は60 m進みますが、前の人も40 m先へ進みます。間が縮むのは60 − 40で20 mです。図1のように、同じ1分の動きを並べると、足す場合と引く場合の違いを見分けられます。

図1の上では、2人が間の両側から近づきます。下では2人が右へ進み、後ろの人の進みが前の人より20 m長くなります。下の20 mは、どちらか1人の進んだ道のりではなく、2人の間が短くなった道のりです。

後ろの人と前の人の速さが等しければ、間は縮みません。後ろの人が遅ければ間は広がります。どちらの場合も、そのまま同じ速さで進む限り、後ろから追いつくことはありません。割り算を始める前に、追いつける向きと速さかを確かめます。

基本例題：向かい合って歩く

問題。公園の入口と図書室は一本道で720 m離れています。入口からあきさんが分速50 mで、図書室からいとさんが分速40 mで、互いに向かって同時に歩き始めます。2人が出会うのは出発から何分後ですか。また、入口から出会う場所まで何 mですか。時間と道のりを整数で答えましょう。途中で止まらず、速さは変わらないものとします。

図2のように、出発地点を両端に置き、矢印を内側へ向けます。720 mは片方の道のりではなく、出発時の2人の間の道のりです。

まず、1分に2人の間が何 m縮むかを出します。向かい合っているので、それぞれの1分の道のりを合わせます。

50 + 40 = 90（m）

次に、720 mの間が90 mずつ縮む時間を求めます。

720 ÷ 90 = 8（分）

出会うのは出発から8分後です。あきさんは入口から8分間、毎分50 m歩きます。入口から出会う場所までの道のりは次のとおりです。

50 × 8 = 400（m）

答えは8分後、入口から400 mです。もう一方からの道のりも計算して、元の条件に戻します。

40 × 8 = 320（m）

400 + 320 = 720（m）

2人が同じ8分間に進んだ道のりの合計は、はじめの間の720 mと一致します。図2でも、出会う場所までの400 mと320 mを合わせると、入口から図書室までの長さです。片方の道のりを答えた後も、もう片方から確かめると、場所の取り違えに気づけます。

もし時間を求める式で720を50で割ると、あきさん1人が720 mを歩く時間になります。その間にいとさんも歩いているので、出会うまでの時間にはなりません。何を割るのかと同時に、割る数が「1人の速さ」か「間の縮む速さ」かを言葉にしましょう。

出発時刻がずれたら、途中からそろえる

問題。一本道の同じ場所から、はるさんが分速60 mで先に歩き始めます。6分後に、そらさんが同じ向きに分速90 mで歩き始めます。そらさんがはるさんに追いつくのは、そらさんの出発から何分後ですか。また、はるさんの出発から何分後ですか。どちらも整数の分で答えましょう。2人の速さは変わらず、途中で止まりません。

最初の6分間にはるさんが進む道のりは、60 mを6回分です。

60 × 6 = 360（m）

そらさんが出発する時、はるさんは360 m先にいます。ここからは2人が同じ時間だけ進みます。1分間にはるさんは60 m先へ進み、そらさんは90 m進むため、間は次のように縮みます。

90 − 60 = 30（m）

はじめの間360 mを、1分あたり30 mずつ縮めます。

360 ÷ 30 = 12（分）

そらさんの出発から12分後に追いつきます。はるさんは、その前にも6分間歩いているので、はるさんの出発からは次の時間です。

6 + 12 = 18（分）

答えは、そらさんの出発から12分後、はるさんの出発から18分後です。出発地点からのそれぞれの道のりで確かめます。

90 × 12 = 1080（m）

60 × 18 = 1080（m）

同じ場所を出て同じ向きに進み、両方が1080 mの位置にいるので、追いついたことが確かめられます。時間が12分と18分で違うのは、同時に出発していないためです。

分かれ目は、360 mを求めた時点です。その前ははるさん1人の移動、その後は2人の間の変化です。最初から2人の速さを引いて6分間にかけると、まだ出発していないそらさんまで動いたことになってしまいます。計算の前に、誰が動いている時間かを線で区切ってください。

足してしまった答えを直す

先ほどの追いつきの問題で、90 + 60 = 150とし、360 ÷ 150で時間を出そうとする誤りがあります。これは、2人が互いに向かって進む場合の縮みを使っています。同じ向きなのに、前の人が後ろの人へ向かって60 m進んだと見てしまうことが原因です。

図3のように、1分後の2人の位置をそろえて見てください。そらさんは出発点から90 m進み、はるさんは最初の位置からさらに60 m先へ進みます。追いかける側が90 m進んでも、前の人の60 mの分は埋まりません。

図3の差の30 mが1分に縮む間です。90 − 60 = 30と直し、360 ÷ 30 = 12で、そらさんが出てからの時間を求めます。前の人の先行分を引き忘れた場合も、出発時の360 mを図に戻せば修正できます。

別の失敗は、12分をはるさんの出発からの時間として答えることです。12分の始まりは、360 mの間ができた時点、つまりそらさんの出発時です。はるさんについて聞かれたら先の6分を足します。答えに「誰の出発から」と書き添えると、時間の起点を確認できます。

条件を読み直すための小さな手順

式が決まらないときは、出発地点、進む向き、同時に動く時間の3つを順に書き出します。出会う問題でも、2人が向かい合うのではなく同じ方向に進んでいれば、速さを足すとは限りません。言葉の印象で決めず、矢印と位置を見て、1分後に間がどう変わるかを考えます。

答えが出たら、求めた分数だけそれぞれが進む道のりを書きます。向かい合う場合はその合計が最初の間に等しいか、追いつく場合は後ろの人が余分に進んだ道のりが最初の間に等しいかを確かめます。計算が合っていても、分速と時速を混ぜていれば意味のある答えにはなりません。単位をそろえたかも最後に見直します。

また、後ろの人が速くないとき、差を逆向きに引いて追いつく時間を作ってはいけません。前の人との間が縮むという条件自体が成り立つかを先に確かめると、割る数の選び間違いを防げます。

自分で解く4問

次の問題は、いずれも一本道を止まらず一定の速さで進みます。図に地点と矢印を書き、何を起点に時間を数えるかも書いてから解きましょう。答えは後にまとめています。

問題1

2つの広場は840 m離れています。両方の広場から2人が同時に互いに向かって歩き、分速70 mと分速50 mで進みます。出会うのは出発から何分後ですか。整数の分で答えましょう。

問題2

一直線の道で、前を歩く人とその180 m後ろを歩く人が同時に同じ向きに進みます。前の人は分速45 m、後ろの人は分速75 mです。後ろの人は何分後に追いつきますか。整数の分で答えましょう。

問題3

同じ地点から、兄が分速80 mで先に歩き、5分後に妹が分速120 mで同じ向きに歩き始めます。妹が兄に追いつくのは妹の出発から何分後ですか。整数の分で答えましょう。

問題4

1200 m離れた2つの門から、2人が同時に互いに向かって進みます。片方は分速80 m、もう片方は分速70 mです。出会うのは何分後ですか。また、分速70 mの人が出発した門から出会う場所まで何 mですか。時間と道のりを整数で答えましょう。

答えと道すじ

問題1

向かい合うので、間は1分に70 + 50 = 120（m）縮みます。840 ÷ 120 = 7（分）で、答えは7分後です。7分間の道のりはそれぞれ70 × 7 = 490（m）、50 × 7 = 350（m）です。490 + 350 = 840（m）となり、最初の広場の間と一致します。

問題2

同じ向きなので、1分あたりの縮みは75 − 45 = 30（m）です。180 ÷ 30 = 6（分）より、答えは6分後です。6分間に後ろの人は75 × 6 = 450（m）進み、前の人は45 × 6 = 270（m）進みます。450 − 270 = 180（m）で、最初の間を埋めています。

問題3

妹が出発するまでに兄は80 × 5 = 400（m）先へ進みます。2人が歩き始めてからの間の縮みは1分に120 − 80 = 40（m）です。400 ÷ 40 = 10（分）なので、答えは妹の出発から10分後です。兄は合計15分歩き、80 × 15 = 1200（m）進みます。妹も120 × 10 = 1200（m）進むので、同じ場所にいます。

問題4

間の縮みは1分に80 + 70 = 150（m）です。1200 ÷ 150 = 8（分）で、出会うのは8分後です。分速70 mの人は70 × 8 = 560（m）進むので、その人の出発した門から560 mです。もう1人は80 × 8 = 640（m）進み、560 + 640 = 1200（m）で門の間と合います。

覚えておきたいこと

向かい合うときは、2人の速さを足して間の縮みを出します。 同じ向きに追うときは、後ろの速さから前の速さを引きます。 出発時刻が違うときは、2人が動き始める時の間を先に求めます。 答えをそれぞれの移動に戻し、同じ場所で出会うか確かめます。

家で見守る方へ

お子さまが式を選べないときは、先に正しい記号を教えるより、紙に出発地点と進む向きを描いてもらいましょう。「1分後に前の人はどこにいるかな」と聞くと、後ろの人の進みだけを間の縮みと考えているのかを見分けられます。図のどこまで説明できるかを聞いたうえで、次に描く1分後の位置を一手だけ促してください。

時間の答えが合わないときは、計算の上手さだけで判断せず、どの出発から数えた時間かを確かめます。先に出た人の時間と後から出た人の時間を別々に書き、最後に同じ場所へ着くかを一緒に見直せます。2人の動きを同じ時間にそろえると、道のりの変化が読み取れます。