共通テスト数学の接線が指定の点を通らない—接点と通過点を別の文字で置く｜武蔵野個別指導塾

放物線の外の点を通る接線は、未知の接点から式を作って選びます。指定点の横座標をそのまま接点に使う誤りも点検できます。

曲線の外にある指定点を通る接線は、その点を接点として微分係数に代入して求めることはできません。曲線上の接点の座標を文字で置き、そこでの傾きから直線を作って、最後に指定点を通る条件を使います。接点が複数見つかれば、対応する直線もそれぞれ確かめます。

よくあるのは、高3の冬、問題に与えられた点の横座標で微分しても接線が図と合わず、計算用紙を見直している夜という場面です。微分の計算自体が合っていても、代入した数がどの点の横座標かを取り違えると、求めた直線は指定点を通らないことがあります。

点の役割が入れ替わるところ

たとえば、曲線 y = x² と点 P(0, -1) を考えます。P の横座標は 0 ですが、曲線上で x = 0 の点は (0, 0) です。P は曲線上にありません。したがって、x = 0 を接点の横座標にして傾きを求めると、得られるのは原点で曲線に接する直線であり、P を通る直線とは限りません。

図1のように、同じ横座標を持つ2点でも縦座標が違います。与えられた点から曲線へ縦に移った点を、無意識に接点として採用することが間違いの始まりです。P は直線が通ることを要求する点であり、接点は曲線と直線が接する場所です。接点の位置はまだ決まっていません。

図の縦の線は2点の横座標が同じことを示します。線そのものを接線と読むのではありません。原点の接線 y = 0 は P の縦座標 -1 を満たさず、通過条件に失敗します。この確認で、微分の結果が正しくても、問題への答えになっていないことがわかります。

接点では曲線上にあることと、直線の傾きがその場所の微分係数に一致することを使います。一方、通過点では求めた直線の式に両座標を代入し、等式が成り立つかを見ます。2つの役割を同じ代入として扱わず、どちらを確認しているかを式の横に書くと、作業の途中で戻る場所が見えます。

答案のどこを調べるか

まず問題文で、点が「接点」と指定されているのか、「通る点」と指定されているのかを囲みます。通る点という言葉から、接点であることまでは決まりません。実際に曲線の式へその点の横座標を代入し、与えられた縦座標と一致するかを調べれば、曲線上にあるかどうかを判定できます。

次に答案の最初の代入を見ます。微分して得た式に P の横座標を入れているなら、その数を接点の横座標として扱った理由が必要です。点が曲線外にあるとわかった場合、その代入は接点を求める操作になっていません。微分の符号を何度も直す前に、接点の置き方まで戻ります。

一方、接点を文字で置き、その文字を使った直線ができている答案なら、直線へ通過点を代入した行を調べます。横座標と縦座標を逆に入れていないか、負の数を括弧に入れて計算したか、方程式の解をすべて直線に戻したかを順番に見ます。代入後の方程式が合っている場合は、そこから先の計算の誤りと切り分けられます。

導関数が 0 となる点から極値を判断する話とは、ここでの問いが違います。必要なのは、接点の傾きと通過点という2条件を同じ直線に課すことです。傾きが 0 かどうかだけでは、指定点を通るか判定できません。

計算の前に大まかな図を描くことも役立ちます。ただし図の見た目で接点の個数を決めて終わるのではなく、文字の方程式から候補を求め、各候補を元の条件へ戻します。図が大ざっぱなときは接して見えても、式では通過点を外れる場合があるからです。

未知の接点から直線を作る

先ほどの y = x² と P(0, -1) を例に進めます。曲線の定義域は実数全体です。接点の横座標を a と置けば、接点は曲線上なので T(a, a²) です。P の座標と a を混ぜず、T が曲線の式を満たすことを最初に明記します。

曲線を微分すると傾きは 2x です。したがって T における傾きは 2a となり、T を通る接線は y = 2a(x − a) + a²、整理すると y = 2ax − a² です。ここまでで作ったのは、曲線上の T に接する直線です。まだ P を通るかどうかは選んでいません。

図2のように、接点の位置から直線を作ってから、P を通る条件を渡します。P(0, -1) を代入すると -1 = -a² なので、a² = 1、a = 1 または a = -1 です。両方とも定義域の実数に含まれます。

それぞれを接線の式に戻すと、a = 1 では y = 2x − 1、a = -1 では y = -2x − 1 です。どちらも x = 0 のとき y = -1 となり、P を通ります。また接点はそれぞれ (1, 1)、(-1, 1) で、どちらも y = x² 上にあります。傾きも順に 2、-2 で、接点における微分係数と一致します。

この例では2つの接点が得られ、2本の異なる直線になります。方程式の一方の解を見つけただけで作業を終えると、もう一方を落とします。逆に方程式を解いた後は、その解を直線の式に戻し、求めるものが接点なのか直線なのかという問題文にも合わせます。

検算には差を使う方法もあります。曲線の値から直線 y = 2x − 1 の値を引くと、x² − (2x − 1) = (x − 1)² です。x = 1 で差は 0 になり、そこで傾きも一致します。もう一方も差は (x + 1)² で、x = -1 で接します。通過条件と接する条件を別々に見直せるため、途中の符号の誤りを見つけやすくなります。

途中で a = 0 として計算した場合は、T が原点になり、y = 0 が得られます。この直線が曲線に接するという事実と、P を通るという要求は別です。後者を代入して失敗したら、直線を無理に修正せず、未知の a を置いた段階へ戻りましょう。

与えられた点が曲線上なら

たとえば同じ曲線 y = x² 上の Q(2, 4) を通る接線を考えます。Q は曲線上にありますが、それだけで他の接点から引いた接線がないと決めず、通過条件で確かめます。接点を S(t, t²) とすると接線は y = 2tx − t² です。Q を代入して 4 = 4t − t²、整理して (t − 2)² = 0 となり、接点の横座標は t = 2 です。

図3のように、この例では指定点と接点が重なり、接線は y = 4x − 4 になります。x = 2 で y = 4、傾き 4 はその点の微分係数とも一致します。先の曲線外の点の例とは異なる結果ですが、同じ手順で接点を選べます。重解が現れても、この例で得られる接点の位置は1か所です。

点が曲線上かどうかの確認は、接点と通過点を区別する出発点です。曲線外なら両者は一致しません。曲線上なら一致する可能性がありますが、他の多項式では別の接点を持つ直線がその点を通る場合もあるので、曲線の形を限定せずに個数を決めないでください。

手を動かして確かめる

たとえば、曲線 y = x² + 3 と点 R(0, 2) について、R を通る接線をすべて求めてください。接点の横座標を文字で置き、直線が R を通る条件を書いた後、接点と傾きを検算します。

解答は y = 2x + 2 と y = -2x + 2 です。接点の横座標を b とすると接点は (b, b² + 3)、傾きは 2b です。接線 y = 2b(x − b) + b² + 3 に R を代入すると 2 = 3 − b² となり、b = 1 または b = -1 です。接点は (1, 4)、(-1, 4) で、それぞれの傾きは 2、-2 です。いずれの直線も R を通り、求めた2つの値以外は方程式を満たしません。

もし y = 3 と答えたなら、それは x = 0 の曲線上の点での接線です。R の縦座標を代入すると一致しないので、接点を未知数に置く行へ戻ります。2本のうち1本しか出なかったときは、b² = 1 から正負の解を両方取り出したかを確かめます。符号が合わないときは、直線の式を整理する前の括弧へ戻って展開してください。

条件を失った行から戻る

接線の式を作った後で通過点を代入し忘れると、a を含む式が残ります。その式は接点を動かしたときに得られる直線の集まりを表しており、指定点を通る候補がまだ選ばれていません。問題の求める直線として提出する前に、残った文字が何を表すか、条件によって値が決まっているかを確認します。

反対に、通過条件から方程式を作った後、その解を接線の式へ戻さずに終えることもあります。接点の横座標は途中の答えであり、直線を求める問いの最終結果ではありません。解を一つずつ代入し、傾きと切片を整理して書くところまで進めます。接点を求める問いなら、横座標に加えて曲線の式から縦座標を求めます。

接線の式を整理するときは、接点を通る形を一度残しておくと検算が容易です。そこに接点の横座標を入れれば、括弧の中が 0 になり、縦座標がそのまま残ります。整理後の式でも同じ座標になるかを照合すれば、展開や符号の誤りを調べられます。通過点の検算はさらに別に行い、2つの点を同じ点と決めつけないようにします。

また、接点の方程式に実数解がない場合は、置いた文字の実数の範囲で候補が得られないという結果です。計算違いがないか確認したうえで、条件を満たす接線がないと判断します。文字の方程式が重解を持つ場合は、同じ接点の値を重ねて数えないようにします。複数の解がある場合も、直線の式に戻して、同じ直線が重なっていないか確かめます。

たとえば多項式が3次以上の場合、曲線の形によっては一つの直線が異なる位置で接する可能性もあります。接点の個数と異なる直線の本数を機械的に同一視せず、それぞれの候補を整理して比較します。今回の放物線の計算では傾きが異なるため、2本は別の直線だと確認できます。

点が曲線上にあるかを調べる際にも、横座標だけを見ないことが必要です。曲線の式へ横座標を入れて得た値と、指定された縦座標を比較します。一致しない場合は、その指定点での曲線の傾きという表現は使えません。同じ横座標の曲線上の点で傾きを計算することはできますが、それが指定点を通る接線の傾きになるとは限りません。

答案を見直す順番を短く決めるなら、接点が曲線上か、傾きがその接点の微分係数か、直線が指定点を通るか、最後に候補を落としていないか、という順です。それぞれ別の条件なので、一つが合っていても残りを省略できません。誤りが見つかった行より前の正しい部分は残し、役割が入れ替わった行から組み直します。

式と図の食い違いを調べる

図を描くときには、点の高さだけでなく座標の対応も確かめます。通過点が曲線より下に描かれているかを、同じ横座標での関数の値と比較します。接線の傾きが正なら右に進むにつれて直線は上がり、負なら下がります。曲線との接触位置と直線の向きが答案と反対なら、式の傾きや接点の符号に戻る手がかりになります。

手描きの図は候補を見通すための補助で、厳密な交点の個数を確定する計算の代わりにはなりません。接点の文字について立てた方程式を解き、通過条件を満たすことを確認してから、図に候補を書き込むと、見た目に引きずられずに比較できます。図と式のどちらかに食い違いがあるときは、座標と傾きの順に調べます。

質問するときに持っていくもの

教科書の微分係数と接線の項目を開き、曲線上の点で傾きを定める説明と、自分が置いた接点の座標を並べます。接点の縦座標が曲線の式から得られているか、点を通る直線の式に傾きと座標が正しく入っているかを指で追えます。公式を暗記していても、どの点の座標を入れるかを問えば、今回の混同を具体的に確かめられます。

質問には問題文、曲線上かを調べた計算、接点を置いた行、通過点を代入した行を持っていきます。「この数字は接点と通過点のどちらの座標ですか」「この式は接する条件と通る条件のどちらを表しますか」と聞くと、修正する位置を絞れます。お子さまが解き直す際も、答えの式だけでなく、候補を2本とも確かめた途中の紙を残すと会話しやすくなります。

個別指導で確認するときは、最初の答案と、点の役割を書き込んだ解き直しを見比べます。接点を曲線上に置けたか、通過条件を使う前と後で未知数の意味が変わっていないかを、各行に沿って確かめます。答えが合った場合も、それぞれの接点と直線の対応を説明できるかを見ます。

接線を探すとき、接点は曲線上の未知の位置、指定点は直線が通る位置として分けます。両方の条件を満たした候補を元の式へ戻せば、図と答案の食い違いを点の役割から確かめられます。