【中3数学】円周角の定理の証明—中心の位置で分ける 3 つの場合と逆の使い方｜武蔵野個別指導塾

中心が角の辺上・内側・外側のどこにあっても、二等辺三角形と外角から 2 倍を導く手順を 3 つの図で追えます。4 点が同じ円周上にあると言う逆の例題や、鈍角の円周角の直し方まで、定期テストの形で手を動かせます。

よくあるのは、ノートを広げた図書室の窓辺で、円周角の定理の証明を写し終えたあとに手が止まるという場面です。ノートの図では中心 O が角の内側にあるのに、次のプリントの図では O が角の外に出ていて、同じ補助線を引いても式が合いません。「さっきの証明は、この図には使えないのか」と考え始めると、窓の外が暗くなるまでページが進まないこともあります。ここを抜けると、点がどこにあっても補助線を自分で決められるようになり、角度を求める問題も 4 点が同じ円周上にあると言う問題も同じ目で読めるようになります。

円周角の定理の証明は、中心 O が円周角の「辺の上」「内側」「外側」のどこにあるかで 3 つの場合に分けて進めます。まず辺の上の場合を二等辺三角形と外角で示し、残りの 2 つは直径を 1 本引いて、その結果を足すか引くかで示します。逆の定理は、同じ側にある 2 点から見た角が等しいときに、4 点が同じ円周上にあると言うために使います。

この単元で押さえること

• 円周角と中心角の関係: 1 つの弧に対する円周角は、その弧に対する中心角の半分です。
• 同じ弧に対する円周角: どれも中心角の半分なので、大きさはすべて等しくなります。
• 3 つの場合: 中心 O が円周角の辺の上、内側、外側のどこにあるかで証明を分けます。点 P をどこに置いても成り立つと言うためです。
• 証明の道具: 半径が等しいことからできる二等辺三角形と、三角形の外角の 2 つで足ります。
• 半円の弧: 半円の弧に対する円周角は 90 度です。直径を見たら直角を探します。
• 定理の逆: 2 点が直線 AB について同じ側にあり、AB を見込む角（その点から A, B を見る角）が等しければ、4 点は同じ円周上にあります。

中3の「円」の単元はこの定理が中心で、中2までに学んだ三角形の性質と証明の書き方が、ここで一度に使われます。

基本の考え方

円周角と中心角とは

円 O の周上に 2 点 A, B をとると、円周は 2 つの弧に分かれます。そのうちの弧 AB を除いた円周上に点 P をとるとき、∠APB を弧 AB に対する円周角といい、∠AOB を弧 AB に対する中心角といいます。頂点が円周の上にあれば円周角、中心にあれば中心角で、どちらも 2 辺のあいだに同じ弧 AB をはさんでいます。

A, B を両端とするステージがあり、A, B を通る円に沿って客席が並んでいるところを思い浮かべてください。ステージに近い席でも遠い席でも、両端を見る角の大きさは変わりません。距離が変われば見え方も変わりそうなのに、角だけは同じです。この少し不思議な事実を、図形の性質だけで言い切るのが、ここでの証明です。

定理の中身は 2 つあります。1 つの弧に対する円周角の大きさは、その弧に対する中心角の大きさの半分です。そして、同じ弧に対する円周角の大きさはすべて等しくなります。式で書くと ∠APB=(1/2)∠AOB です。証明するのは前半だけで足ります。中心角 ∠AOB は点 P の場所に関係なく 1 つに決まるので、どの P でもその半分だと言えれば、後半は自動で出るからです。

なぜ 3 つの場合に分けるのか

短いほうの弧 AB を 1 つ決め、点 P だけを長いほうの弧の上で動かしてみます。すると中心 O は、∠APB の 2 辺にはさまれた内側に入ることも、辺の上に乗ることも、外側に出ることもあります。O と角の関係はこの 3 つしかありません。証明したいのは「どの P についても」なので、1 か所に P を置いた図だけでは足りず、3 つの位置をすべて調べて初めて完成します。図1は、その 3 つを並べたものです。

ここでいう内側は、△APB の内側ではなく、2 辺 PA, PB にはさまれた部分のことです。円周角が 90° より大きいときは、O が弦 AB の向こう側にあっても内側に入ります。

場合 1: 中心 O が辺の上にあるとき

図1の左は、辺 PB が中心 O を通る図です。∠APB=x として、次の順に進めます。

1. OP と OA は、どちらも円の半径なので OP=OA です。よって △OPA は二等辺三角形です。
2. 二等辺三角形の底角は等しいので、∠OAP=∠OPA=x です。
3. P, O, B は一直線上にあるので、∠AOB は △OPA の頂点 O における外角です。
4. 三角形の外角は、となり合わない 2 つの内角の和に等しいので、∠AOB=x+x=2x です。

これで ∠APB=(1/2)∠AOB が言えました。半径で二等辺三角形を作り、外角で 1 つにまとめるという 2 手が、残りの 2 つの場合の土台にもなります。

場合 2: 中心 O が角の内側にあるとき

図1の中央では、点 P から中心 O を通る直径 PQ を引きます。補助線に直径を選ぶのは、∠APB を「辺の上に O がある角」2 つに分けられるからです。∠APQ=a, ∠BPQ=b とします。

1. ∠APQ は辺 PQ の上に O があるので、場合 1 より ∠AOQ=2a です。
2. 同じように、∠BPQ についても ∠BOQ=2b です。
3. ∠APB=a+b で、∠AOB=2a+2b=2(a+b) です。

よって ∠AOB=2∠APB です。ここで 2a+2b が 180° をこえても、O のまわりの角として同じように足せるので、円周角が 90° より大きいときもこの証明で通ります。

場合 3: 中心 O が角の外側にあるとき

図1の右でも、同じ直径 PQ を引きます。今度は PA が PQ と PB のあいだにあるので、∠QPA=a, ∠QPB=b とすると、∠APB は 2 つの差になります。

1. どちらも辺 PQ の上に O がある角なので、場合 1 より ∠QOA=2a, ∠QOB=2b です。
2. 図から ∠APB=b-a です。
3. 中心角も差になるので、∠AOB=∠QOB-∠QOA=2b-2a=2(b-a) です。

よって ∠AOB=2∠APB です。足し算が引き算に変わるだけで、補助線も、使う結果も、場合 2 と同じです。A と B の位置が入れかわった図なら、a と b を入れかえて同じように書きます。定期テストでは、どれか 1 つの場合の図を渡して証明を書かせる形や、空欄を埋める形で問われることがあります。どの場合でも「半径だから二等辺三角形」「外角」「場合 1 の結果を足す、または引く」の 3 つが書ければ、骨組みは崩れません。

半円の弧に対する円周角は 90 度

弧 AB が半円のとき、中心角 ∠AOB は一直線の角で 180° です。その半分なので、半円の弧に対する円周角は 90 度です。言いかえると、AB が直径なら、円周上のどの点 P でも ∠APB=90° です。

定理を使わずに確かめる道もあります。OA=OP=OB なので、△OAP と △OBP はどちらも二等辺三角形で、∠OAP=∠OPA=a, ∠OBP=∠OPB=b とおけます。△PAB の内角の和から 2a+2b=180° となり、∠APB=a+b=90° が出ます。2 つの道で同じ値になるので、この結果は安心して使えます。

また、1 つの円では、長さの等しい弧に対する円周角は等しく、円周角が等しければ弧の長さも等しくなります。弧の長さは中心角の大きさに比例するからで、円周を等分した図の角度を求めるときに働きます。

円周角の定理の逆

定理の逆は、次の形です。2 点 C, D が直線 AB について同じ側にあり、∠ACB=∠ADB ならば、4 点 A, B, C, D は同じ円周上にあります。もとの定理が「円があるから角が等しい」と言う道具なら、逆は「角が等しいから円がある」と言う道具です。

理由は、円の内側と外側で AB を見込む角の大きさが変わることにあります。3 点 A, B, C を通る円をかき、直線 AB について C と同じ側に点をとります。その点が円周上なら ∠ACB と等しく、内側なら大きく、外側なら小さくなります。

内側の点 Q なら、AQ を延ばして円と交わる点を S とします。∠AQB は △QBS の外角なので、∠AQB=∠ASB+∠QBS となり、円周角 ∠ASB より大きくなります。外側の点 R なら、線分 AR が円と交わる点を S とします。今度は ∠ASB が △SBR の外角なので、∠ASB=∠ARB+∠SBR となり、∠ARB のほうが小さくなります。ここでも働いているのは外角です。だから ∠ADB が ∠ACB と等しければ、D は内側にも外側にも置けず、円周の上にあるしかありません。

例題で解き方を確かめる

図2は、例題1から例題3の図です。どの問題でも最初にすることは同じで、求める角がどの弧を見ているかを決めます。

例題1 中心角から円周角を求める

図2の左で、∠AOB=110° です。点 P, Q は長いほうの弧 AB の上にあります。x=∠APB と y=∠AQB を求めなさい。

1. どの弧を見ているかを決めます。P, Q から A, B を見ると、角の内側に入っているのは短いほうの弧 AB です。使う中心角が 110° のほうだと確かめるために、最初にここを見ます。
2. x=110÷2=55 です。円周角は中心角の半分だからです。
3. y も弧 AB に対する円周角なので、y=x=55 です。同じ弧なら計算し直す必要がありません。

答え: x=55°, y=55°

例題2 直径から直角を作る

図2の中央で、AB は円 O の直径で、∠BAC=35° です。点 D は、直線 AB について C と反対側の円周上にあります。x=∠ADC を求めなさい。

1. AB が直径なので ∠ACB=90° です。直径は直角の合図なので、問題文から最初に読み取ります。
2. △ABC の内角の和から、∠ABC=180-90-35=55 です。x と同じ弧を見ている角を先に求めるためです。
3. ∠ABC と ∠ADC は、どちらも弧 AC に対する円周角です。B と D は直線 AC について同じ側にあるので、x=55 です。
4. 別の道で確かめます。∠BOC=2×35=70 なので ∠AOC=180-70=110 で、その半分も 55 です。2 つの道で同じ値が出れば、弧を読み違えていないと言えます。

答え: x=55°

例題3 交わる弦で同じ弧を探す

図2の右で、弦 AC と弦 BD が点 E で交わり、∠BAC=35°, ∠AEB=105° です。x=∠ACD を求めなさい。

1. x が見ている弧を決めます。∠ACD の内側に入っているのは弧 AD です。
2. 弧 AD に対する円周角をほかに探すと、∠ABD があります。x を直接求められないので、等しい角に置きかえるためです。
3. △ABE の内角の和から、∠ABE=180-35-105=40 です。∠ABE は ∠ABD と同じ角なので、x=40 です。
4. △DCE で確かめます。∠DEC=105° は対頂角、∠CDE=∠BAC=35° は弧 BC に対する円周角なので、105+35+40=180 となって合います。

答え: x=40°

例題4 逆を使って円を見つける

四角形 ABCD に対角線 AC, BD を引くと、∠BAC=∠BDC=40°, ∠ABD=35° でした。x=∠ACD を求めなさい。図3の右が問題の図で、破線の円は問題には描かれていません。

図3の左は、基本の考え方で述べた 3 つの位置を描いたものです。AB を見込む角は、内側の Q で大きく、外側の R で小さくなっています。右の問題では、この関係を逆向きに使います。

1. 等しい角の組を探します。∠BAC と ∠BDC はどちらも線分 BC を見込む角で、ともに 40° です。円が描かれていないときは、この組が手がかりになります。
2. A, D が直線 BC について同じ側にあることを確かめます。逆の定理に欠かせない条件だからです。
3. 円周角の定理の逆より、4 点 A, B, C, D は同じ円周上にあります。ここで初めて、破線の円を使えるようになります。
4. ∠ABD と ∠ACD は弧 AD に対する円周角なので、x=35 です。

答案には次のように書きます。「∠BAC=∠BDC で、点 A, D は直線 BC について同じ側にあるから、円周角の定理の逆より、4 点 A, B, C, D は同じ円周上にある。弧 AD に対する円周角は等しいから、∠ACD=∠ABD=35°」

答え: x=35°

まちがえやすいところと直し方

3 つの誤りを取り上げます。図4の左が誤り2、右が誤り3の図です。

誤り1 証明を図 1 枚で終える

誤った書き方は、中心が角の内側にある図だけを描き、直径 PQ を引いて ∠AOB=2a+2b と書いて終えるものです。

どこが違うかというと、これでは O が角の外に出る位置の P を証明していません。さらに、∠AOQ=2a と書いた根拠である辺の上の場合も示されていないので、途中の式が宙に浮いています。

正しい書き方では、先に「O が辺の上にある場合」を二等辺三角形と外角で示し、「O が内側なら場合 1 の結果を足す」「O が外側なら場合 1 の結果を引く」と続けます。1 つの場合だけを問う問題でも、「場合 1 より」と根拠を添えます。

誤り2 短い弧の上の点で中心角をそのまま半分にする

誤った書き方は、∠AOB=100° で点 P が短いほうの弧 AB の上にあるのに、∠APB=100÷2=50° とするものです。

どこが違うかというと、図4の左の P が見ているのは、P を含まない長いほうの弧 AB です。対応する中心角は 100° ではなく、O のまわりを反対に回った 360-100=260° です。

正しい書き方は、∠APB=260÷2=130° です。短いほうの弧の上の点から見る円周角は 90° より大きい、と知っておくと、50° という答えの不自然さに気づけます。

誤り3 逆で「同じ側」を確かめない

誤った書き方は、∠ACB=∠ADB=70° だから 4 点 A, B, C, D は同じ円周上にある、とだけ書くものです。

どこが違うかというと、図4の右のように C と D が直線 AB の反対側にあると、角が等しくても D は円周上にありません。3 点 A, B, C を通る円で、C と反対側の弧の上の点が AB を見込む角は、中心角 360-140=220° の半分の 110° で、70° にならないからです。

正しい書き方は、「点 C, D は直線 AB について同じ側にあり、∠ACB=∠ADB だから、円周角の定理の逆より」です。同じ側であることと、角が等しいことの 2 つを、どちらも答案に書きます。

用語のまとめ

練習問題

練習1 円 O で ∠AOB=130° です。点 P は長いほうの弧 AB の上に、点 Q は短いほうの弧 AB の上にあります。∠APB と ∠AQB を求めなさい。

練習2 AB は円 O の直径で、点 C は円周上にあり、∠CAB=25° です。∠ABC と ∠BOC を求めなさい。

練習3 円周を 5 等分する点を順に A, B, C, D, E とします。∠ACB と ∠ADC を求めなさい。

練習4 対角線 AC, BD が交わる四角形 ABCD で、∠ABD=∠ACD です。このとき ∠BAC=∠BDC であることを証明しなさい。

答えと解説

練習1 ∠APB=65°, ∠AQB=115° です。P が見ている弧の中心角は 130° なので、その半分です。Q が見ているのは長いほうの弧で、中心角は 360-130=230° なので、その半分の 115° になります。

練習2 ∠ABC=65°, ∠BOC=50° です。AB が直径なので ∠ACB=90° で、180-90-25=65 です。∠BOC は弧 BC に対する中心角で、同じ弧に対する円周角 ∠CAB の 2 倍なので、25×2=50 です。

練習3 ∠ACB=36°, ∠ADC=72° です。等分した弧 1 つ分の中心角は 360÷5=72° です。∠ACB は弧 1 つ分の AB を見ているので 72÷2=36、∠ADC は弧 2 つ分の AC を見ているので 36×2=72 です。

練習4 点 B, C は直線 AD について同じ側にあり、∠ABD=∠ACD だから、円周角の定理の逆より、4 点 A, B, C, D は同じ円周上にあります。∠BAC と ∠BDC は弧 BC に対する円周角だから、∠BAC=∠BDC です。逆で円を見つけ、もとの定理で別の角を等しいと言う、この順序が解答の骨組みです。

次の単元へのつながりと確かめ方

この定理は、円の中の相似の証明ですぐに働きます。2 つの弦が交わる図では同じ弧を見る角が 2 組そろうので、「2 組の角がそれぞれ等しい」がそのまま言えます。三平方の定理でも、直径から作った直角が計算の入口になります。高校では、円に内接する四角形や正弦定理へ続きます。

家で 5 分あれば、次の 2 つで確かめられます。

• 白紙に円と弧 AB をかき、O が辺の上、内側、外側になる点 P を 1 つずつ打って、それぞれの補助線と式を声に出して言います。
• コンパスと分度器で同じ弧に対する円周角を 3 か所測り、中心角の半分に近い値がそろうかを見ます。

個別指導では、証明で止まったときは二等辺三角形の底角と三角形の外角まで戻り、この 2 つを図を見ずに言えるかを確かめてから場合 1 に入ります。

まとめ

図書室の窓辺で止まったあの図は、定理が通じない図ではなく、まだ直径を引いていないだけの図です。次に見慣れない円の図を渡されたら、式を書く前に O の位置へ指を置いてみてください。そこから P へ引く 1 本の線が、足すのか引くのかを教えてくれます。点 P が円周のどこへ逃げても、半径 2 本と外角 1 つが 2 倍を連れて追いつきます。