【小6算数】文字と式を図解で総まとめ—x と y・式に表す・x の値を求める｜武蔵野個別指導塾

タイルの配列、長方形の面積、残りのリボンを図で確かめ、x と y の意味から逆の計算まで順にたどれます。例題と練習を通じて、文字を使った式を数量の言葉に戻す力を育てましょう。

よくあるのは、美術室の床のタイルを見ながら、縦に4枚、横に6枚なら4 × 6と書けるのに、「横の枚数を x 枚とすると」と言われた途端、鉛筆が止まるという場面です。計算が難しくなったわけではありません。これまで数を書いていた場所に文字が入り、その文字で何を表すのかが見えにくくなっています。

文字と式では、まず文字を数の入る場所として読みます。横が6枚なら x に6を入れ、横が8枚なら8を入れます。縦の4枚はそのままです。横の枚数が変わっても同じ考え方で全体の枚数を求められることが、文字を使うよさです。

お子さまが止まったときには、「x は横に並ぶ枚数のことだね。6枚だったら、どんな式かな」と声をかけてみてください。数の式に戻せれば、そこから文字を使った式へ進めます。式を作ること、式の意味を読むこと、文字に数を入れること、結果から文字の値を求めることを、図と言葉でつないでいきましょう。

この単元で身につけること

• 文字が表す数量を決めます。「x は何か」だけでなく、「横に並ぶタイルの枚数を x 枚とする」のように単位まで添えると、数を入れる場所がはっきりします。
• 数量の関係を式に表します。全部の枚数、代金、面積など、求めたい数量に合う計算を選び、その中に x や y を使います。
• 文字に数を入れて計算します。かけ算を先にするなど、文字が入っていても計算の順序は変わりません。途中で文字と数を取り違えないことも目標です。
• 式を言葉に戻して読みます。例えば4 × x は「4に x をかける」だけでなく、場面に応じて「1列4枚のタイルが x 列分」と説明します。
• 結果に合う文字の値を求めます。たし算とひき算、かけ算とわり算の関係を使い、求めた数を元の式に入れて確かめます。

これまで学んだ、□を使う式や、変わる数量を表に並べる学習が土台になります。文字が出てきても、数量の関係そのものは変わりません。答えだけでなく、どの数が何を表すのかを短く説明できる状態を目指します。

基本の考え方

x と y は数量を表すための文字です

x は「エックス」、y は「ワイ」と読みます。文字だけを見ても、何の数量かは決まりません。問題の中で「横に並ぶタイルの枚数を x 枚」「全部のタイルの枚数を y 枚」と決めて、初めて意味を持ちます。同じ x でも、別の問題ではリボンの長さや箱の数を表すことがあります。

ここでは、タイルをすき間なく長方形に並べます。縦はいつも4枚です。横の枚数が3枚、6枚、8枚なら、全部の枚数を求める式は、それぞれ4 × 3、4 × 6、4 × 8です。違うのは横の枚数を表す数だけなので、その場所を x にすると4 × x と書けます。横の枚数を一つに決める前でも、計算の仕方を表せます。

図1のように、1列に4枚ずつあるまとまりを横に数えてみます。図は x が6のときの並びです。文字を使った説明と具体的な並びを対応させるため、まず一つの値を図にしています。x が変われば、横の列数も変わります。

図1では、4枚の列が6列あるので、4 × 6 = 24です。「文字の式は難しいもの」と構えるより、4 × x の x に6を入れた姿だと考えると読みやすくなります。全部の枚数を y 枚と決めたら、二つの数量の関係は4 × x = y と書けます。

x と y は、いつも同じ値になるという意味ではありません。このタイルの関係では、x が6なら y は24です。また、文字の名前だけで大小も決まりません。どの数量を表すか、どんな式で結ばれているかを合わせて読む必要があります。

式、式の値、等号を分けて読みます

4 × x は計算の仕方を表す式です。x に6を入れて得られる24は、そのときの式の値です。「x の値」は6であり、「4 × x の値」は24です。問いがどちらを求めているのか、最後に読み直す習慣をつけましょう。

4 × x = y の「=」は、左と右が同じ大きさであることを表します。左から右へ何かを移動させる印ではありません。「4に横の枚数をかけた数と、全部の枚数が等しい」と読めます。表にすると、二つの値の対応も見やすくなります。

表の同じ列にある上下の数が一組です。x が3の列では4 × 3 = 12、x が8の列では4 × 8 = 32です。x の行を横に追うだけでなく、上下を組にして読めることが大切です。式、表、図は、別々の問題ではなく同じ関係の表し方です。

文字には、場面に合う数を入れます。このタイルの問題で、横の枚数として2.5枚を使うことは、タイルを切らずに並べる条件には合いません。一方、長さを x cm とする場面では、2.5 cm が入ることもあります。文字だからどんな数でもよいと考えず、数量の意味を先に確かめます。

言葉の式を間に置くと、計算を選べます

式を作るときは、いきなり x を並べる必要はありません。「1冊の代金 × 冊数 = 全部の代金」のように言葉で関係を書き、それからわかっている数と文字に置き換えます。1冊80円のノートを x 冊買うときの代金なら、80 × x 円です。単位の円は、計算で求める数量が代金であることを知らせています。

たし算かかけ算かを迷ったら、具体的な少ない数に戻してみます。2冊なら80 + 80 = 160です。同じ80円が2つあるので80 × 2と書けます。その2の場所が冊数を表す x です。「文字があるから特別な計算をする」のではなく、もとの場面の計算をそのまま使います。

文字 x と、かけ算の記号 × は形が似ていますが、役割が違います。読むときも「80、かける、エックス」と区別します。ここでは、かけ算の記号を省かず80 × x と書きます。文字を使うことに慣れる段階では、何を何倍するのかが見える書き方で確かめましょう。

計算の順序も同じです。80 × x + 20なら、先に80 × x を計算してから20をたします。x に3を入れたときは80 × 3 + 20 = 240 + 20 = 260です。80と3と20を順に見つけたからといって、好きな順番で計算してよいわけではありません。式のまとまりを読むことが、文章題の意味を読むことにもつながります。

例題で解き方を確かめる

例題1　文字に数を入れて、全部の枚数を求めます

タイルを縦に4枚、横に x 枚並べます。全部の枚数を y 枚として、関係を式に表しましょう。また、x が7のときの y の値を求めましょう。タイルは重ねず、すき間なく並べるものとします。

1. 1列にある枚数と列数を確かめます。1列が4枚で、それが x 列分なので、「1列の枚数 × 列数」を使います。全部を1枚ずつ数えなくても、等しいまとまりで数えられるためです。
2. 関係を4 × x = y と書きます。4は変えない数、x は横の枚数、y は全体の枚数です。それぞれの役割を決めてから式にすると、入れ替えを防げます。
3. x に7を入れ、4 × 7 = 28と計算します。横の枚数が7と決まったので、x の場所だけを7に置き換えます。求めているのは全体の枚数のため、y は28です。

答え：4 × x = y、x が7のとき y は28で、全部で28枚です。

ここで「x は28」と書いていたら、かけ算の答えを訂正するより先に、問われた文字を確認します。「横の枚数は何枚と書いてあるかな。28枚はどこの枚数かな」と聞くと、計算と数量の対応を見直せます。数が合っていても、文字の意味が合っているかは別に確かめます。

例題2　式から、買い物の内容を読み取ります

1冊80円のノートを x 冊買い、全部をまとめて1枚20円の袋に入れます。支払う代金は80 × x + 20円です。この式の80 × x と20は、それぞれ何の代金ですか。また、x が4のときの代金を求めましょう。

1. 式を80 × x と20に分けて読みます。かけ算の部分が先にひとまとまりになるので、80 × x はノート x 冊分の代金です。80円を冊数分集めていると考えます。
2. 最後にたす20の意味を確かめます。袋は冊数にかかわらず1枚なので、20円を1回だけたします。「全部をまとめて」という言葉が、袋の代金の数え方を決めています。
3. x に4を入れ、80 × 4 + 20 = 320 + 20 = 340と計算します。先にノートの代金を求めると、何に支払った分かが途中の数にも対応します。

答え：80 × x はノート x 冊分、20は袋1枚の代金で、x が4のとき340円です。

この問題では、袋の代金を4回たさないことがポイントです。式に数を入れる前に「袋は全部で何枚か」を言えれば、場面を読めています。文章に出てきた順に数字を並べるだけでは、1回だけかかる代金と、冊数分かかる代金の違いを表せません。

例題3　面積から横の長さを求めます

縦が6 cm、横が x cm の長方形の面積は42 cm²です。面積を表す式を書き、x の値を求めましょう。図2には、求める横の長さに合う長方形を示しています。

図2のように、面積は長方形の内側全体の広さです。6 cm は縦の長さで、42 cm² は辺の長さではありません。単位を見分けることが、式を選ぶ手がかりになります。

1. 長方形の面積の求め方を使い、6 × x = 42と書きます。縦と横の長さをかけると面積になるので、6と x をかける関係です。
2. 6に何をかけると42になるか考え、42 ÷ 6 = 7と計算します。積を一方の数でわると、もう一方の数が求められるからです。文字を動かす手続きではなく、かけ算とわり算の関係を使います。
3. x に7を入れて6 × 7 = 42と確かめます。もとの面積と同じになったので、横の長さは7 cm で合っています。

答え：6 × x = 42、x は7で、横の長さは7 cm です。

式に42と6があるから機械的にわるのではなく、「6 cm の幅の列が、横に何 cm 分あるか」と読みます。図の中に1 cm²の正方形を思い浮かべるなら、縦に6個並ぶ列が7列ある形です。式だけで迷うときは、長方形の面積の求め方まで戻ると、わり算を使う理由がはっきりします。

例題4　長さから、使った枚数を求めます

長さ50 cm の紙テープから、長さ8 cm の飾りを x 枚切り取ります。切り取るたびに余分な長さは失われないものとします。残りは18 cm でした。この関係を式に表し、飾りの枚数を求めましょう。

1. 使った長さを8 × x cm と表します。同じ8 cm を x 枚分使うので、枚数に8をたすのではなくかけます。まず部分の長さを求める考え方です。
2. 「初めの長さ − 使った長さ = 残りの長さ」から50 − 8 × x = 18と書きます。使った長さ全体をひくので、8 × x をひとまとまりとして読みます。
3. 使った長さを50 − 18 = 32で求めます。初めの50 cm は使った部分と残った部分に分かれるので、残りを除けば使った分になるためです。
4. 32 ÷ 8 = 4で枚数を求めます。さらに50 − 8 × 4 = 50 − 32 = 18と確かめます。1枚分の長さでわると枚数になり、元の条件にも戻せます。

答え：50 − 8 × x = 18、x は4で、飾りは4枚です。

途中の32は、飾りの枚数ではなく使った長さです。ここで計算を終えた場合は、「32の単位は cm かな、枚かな」と聞いてみてください。必要な計算があと一つあることを、単位から判断できます。文字の値を求める問題でも、文章の数量を順に求める道筋を大切にします。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　同じ量の繰り返しを、たし算で書いてしまいます

誤った書き方は、1冊80円のノート x 冊の代金を80 + x 円とすることです。どこが違うかというと、80円に冊数の数をたしており、80円を x 冊分集める関係になっていません。正しい書き方は80 × x 円です。

x が2の場合で比べると、誤った式では80 + 2 = 82ですが、実際には80 + 80 = 160です。「2冊なら80円がいくつあるかな」と具体的に聞きます。小さい数で場面を確かめると、たし算とかけ算のどちらを選ぶかが見えます。ただし、違う式でも一つの値では偶然同じ答えになることがあるので、最後は式の各部分が何を意味するかを言葉で確かめます。

誤り2　残りの式で、ひく順番を逆にします

50 cm のリボンから x cm 使った残りを、x − 50 cm とするのが誤った書き方です。どこが違うかというと、初めの長さと使った長さが逆です。正しい書き方は50 − x cm です。「残り」は、初めにあった全体から、使った部分を取り除いた長さです。

図3のように、初めの50 cm を1本の線分で表すと、使った部分と残りの位置を確かめられます。図は x が20のときで、使った部分と残りの長さの比も20対30になるように描いています。

図3では、使った20 cm と残った30 cm を合わせると50 cm に戻ります。初めの長さが全体であることを指でたどり、「この全体から、どちらを取り除くのかな」と聞きます。文章に x が先に出てきたかどうかではなく、全体と部分の関係でひく順番を決めます。

誤り3　逆の計算で、どの数を求めるかを取り違えます

x − 12 = 28に対して、x は28 − 12 = 16とするのが誤った書き方です。どこが違うかというと、28は12を取り除いた後の数なのに、さらに12を取り除いています。正しくは28 + 12 = 40なので、x は40です。

「初めに x 個あり、12個使って28個残った」と読めば、初めの個数は残りに使った分を戻して求めます。確かめは40 − 12 = 28です。「ひき算の式だから答えもひき算」と覚えるのではなく、何を求めるのかを見ます。例えば50 − x = 18なら、求めるのは使った部分なので50 − 18 = 32です。文字が置かれた場所で考え方が変わります。

一度で式が読めない場合には、x の場所を□に書き換えてもかまいません。□ − 12 = 28を言葉で説明できたら、□を x に戻します。もとからわかっている数量の関係を足場にすると、新しい文字の形に気を取られずに考えられます。

ここで手が止まるなら、止まった単元まで一緒に戻ります。学年別個別指導コース／お問い合わせ

練習問題

紙に式を書く前に、各問題の x が何を表すかを声に出しましょう。値を求めたら、元の式にその数を入れて条件に合うか確かめます。計算だけでなく、答えの単位にも注意してください。

練習1

1袋に6個ずつ入ったあめが x 袋あります。全部の個数を y 個として関係を式に表し、x が5のときの y を求めましょう。すべての袋に同じ個数が入っています。

練習2

1個120円の品物を x 個買い、全部を1つの箱に入れます。箱の代金は30円です。代金の式120 × x + 30で、120 × x と30はそれぞれ何を表しますか。x が3のときの代金も求めましょう。

練習3

縦が5 cm、横が x cm の長方形の面積は17.5 cm²です。関係を式に表し、x の値と横の長さを求めましょう。長さを表す数なので、答えが整数になるとは限りません。

練習4

36 cm の紙テープから、同じ長さの飾りを4枚切り取ると8 cm 残りました。切り取るたびに余分な長さは失われないものとします。1枚の長さを x cm として関係を式に表し、x の値を求めましょう。

答えと解説

練習1の答えは6 × x = y、x が5のとき y は30で、全部で30個です。1袋の6個が5袋分なので、6 × 5 = 30です。5は袋数、30は個数です。表にするなら、この二つを同じ列の上下に書きます。

練習2の答えは、120 × x が品物 x 個分の代金、30が箱1つの代金で、x が3のとき390円です。120 × 3 + 30 = 360 + 30 = 390と計算します。箱は全体で1つなので、30円も1回だけたします。箱の代金を品物の個数分たしていないか確認しましょう。

練習3の答えは5 × x = 17.5、x は3.5で、横の長さは3.5 cm です。17.5 ÷ 5 = 3.5で求め、5 × 3.5 = 17.5で確かめます。面積の単位は cm²、横の長さの単位は cm です。タイルの枚数と違い、この問題では小数の長さも場面に合います。

練習4の答えは36 − x × 4 = 8、x は7で、1枚の長さは7 cm です。使った長さは36 − 8 = 28 cm なので、28 ÷ 4 = 7と求めます。36 − 7 × 4 = 36 − 28 = 8となり、残りの条件も満たします。例題4では1枚の長さがわかっていましたが、この問題では枚数がわかっています。文字が何を表すかを読み直してから式を作ることが必要です。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

文字を使って二つの数量の関係を表す考え方は、この先の比例や反比例の学習につながります。表の一組の値だけでなく、値が変わっても同じ決まりが成り立つかを調べる土台です。ただし、文字を使った式がすべて同じ種類の変わり方を表すわけではありません。まずは目の前の式を、場面と対応させて読みます。

家庭で5分ほど確かめるなら、次の二つをそれぞれ短い時間で試せます。全部を速く解くことより、文字の意味を言えるかを見てください。

1. 紙に「1箱4個、箱の数は x 箱」と書き、全部の個数の式を作ります。そのあと x を2、3と変えて、4 × 2 = 8、4 × 3 = 12を確かめます。「4は変わったかな。何が変わったかな」と聞くと、決まった数と変わる数を区別できます。
2. 「x + 9 = 25」を見せ、初めにあった個数に9個加えた場面を話してもらいます。25 − 9 = 16で求めたら、16 + 9 = 25まで戻します。説明が難しければ、全体25個を初めの分と9個に分けた線分を描いて確かめます。

個別指導で確かめるときも、文字の読み方だけでなく、□を使った式、全体と部分の区別、かけ算のまとまりまで必要に応じて戻ります。計算できないのか、文字が指す数量を見失ったのかを分けて見ると、練習する箇所を絞れます。

まとめ

美術室の床で見たタイルの並びは、横の枚数が変わるたびに別の数の式になります。それでも、縦の枚数に横の枚数をかける考え方は同じです。文字はその共通する関係を、数を一つに決める前に表せるようにします。

お子さまの説明を聞くときは、「x は何の数か」「計算した結果はどこの量か」の二つに耳を傾けてみてください。そこがつながれば、文字に数を入れる計算も、結果から逆にたどる計算も、場面の中で意味を持ちます。文字を使った式の意味は、文字が指す数量を言葉に戻したときに見えてきます。