【小5算数】合同な図形と角を図解で総まとめ—合同の条件・三角形の角の和・多角形の角の和｜武蔵野個別指導塾

向きの違う三角形の対応、定規とコンパスを使う作図、五角形の角の和を3枚の図で確かめます。例題と練習問題を通して、形を重ねる見方と角度を求める理由を家庭で説明できるように進めましょう。

よくあるのは、修学旅行前の教室で、しおりにはさむ三角形の紙を見比べ、「同じ形のはずなのに、向きが違うと、どの角が同じなのかわからない」と手が止まる場面です。一方の紙を回すとぴったり重なるのに、紙を動かせない問題になると、上にある頂点どうしを結びつけたくなります。ここで必要なのは、見た目の位置とは別に、重なる場所を探す見方です。

合同な図形の学習では、形と大きさが同じことを確かめ、対応する頂点、辺、角を見つけます。さらに、三角形をかくのに必要な情報を整理し、三角形や四角形、多角形の角の和を求めます。線を引く活動と角度の計算は別々に見えますが、どちらも「わかっている部分から、まだわからない部分を決める」という考え方でつながっています。

お子さまと確かめるときには、最初から式を急がず、指で角や辺をたどってみましょう。どの部分の話をしているかがそろうと、作図の手順も、180°から何を引くかも説明しやすくなります。

この単元で身につけること

• 合同の意味を説明します。移動したり、回したり、裏返したりしてぴったり重なる図形は、形も大きさも同じです。
• 対応する頂点、辺、角を見つけます。紙の上での上下左右ではなく、重ねたときに合う場所を手がかりにします。
• 三角形をかくための情報を選びます。3辺、2辺とその間の角、1辺とその両端の角という3通りを、実際の作図につなげます。
• 三角形の角の和を使います。3つの角を合わせると180°になることから、残りの角を計算します。
• 多角形の角の和を求めます。1つの頂点から対角線を引き、できた三角形の数を数えて180°をかけます。

前に学んだ角の大きさ、垂直と平行、二等辺三角形や正三角形の性質が、この単元の土台になります。分度器の中心や0°の線を合わせる操作があやふやな場合には、作図と一緒にそこを確かめるとよいでしょう。

学習の目安は、答えの数が合うことに加え、「この辺とこの辺が対応するから」「ここには三角形が3つあるから」と理由を短く添えられることです。長い説明を覚える必要はありません。図のどこを見て判断したのかを、自分の指と言葉で示すことを目指します。

基本の考え方

合同は「形も大きさも同じ」、対応は「重なる場所」

2つの図形をぴったり重ね合わせることができるとき、その2つの図形は合同であるといいます。紙を机の上でずらしても、回しても、裏返しても、紙そのものの形や大きさは変わりません。図形が向いている方向は、合同かどうかを決める条件ではありません。

一方で、同じ形に見えても、一方だけを大きくコピーしたものは合同ではありません。重ねると辺がはみ出してしまうからです。正三角形どうしでも、1辺が3 cmのものと4 cmのものは合同ではありません。「どちらも三角形」「どちらも角が同じ」というだけでは、大きさまで一致するとはいえません。

重ねたときに合う頂点を、対応する頂点といいます。同じように、合う辺は対応する辺、合う角は対応する角です。合同な図形では、対応する辺の長さは等しく、対応する角の大きさも等しくなります。この性質を使えば、実際に切り取って重ねなくても、別の図形に書かれた長さや角度から、求めたい値がわかります。

図1のように、一方の三角形を回すと、対応する辺は縦から横へ向きを変えることがあります。左のA、B、Cに対応する右の頂点は、順にD、E、Fです。辺ABは辺DE、辺BCは辺EF、辺CAは辺FDに対応します。角Bと角Eはどちらも直角です。

対応を探すときには、最初に特徴のはっきりした場所を見つけます。図1なら直角の頂点BとEを合わせ、そこから短い辺をたどるとAとD、長い辺をたどるとCとFが対応するとわかります。「左のいちばん上は、右でもいちばん上」と位置だけで決めず、辺と角のつながりを見ます。

頂点の対応を一度決めたら、辺の両端を一つずつ置き換えると取り違えを防げます。たとえば辺ACの両端はAとCです。AをD、CをFに置き換えるので、対応する辺はDFです。辺の名前は両端を逆に読んでも同じ辺を表します。辺DFと辺FDは別の辺ではありません。

三角形をかくための3通りの情報

合同な三角形をかくには、元の三角形のすべての長さと角度を測る必要はありません。必要な情報を組み合わせると、同じ形と大きさの三角形が決まります。ここでは、中学校で使う証明の書き方を覚えるのではなく、定規、コンパス、分度器をどう動かすかと結びつけて理解します。

1つ目は、3つの辺の長さがわかる場合です。まず1辺を引きます。その両端をそれぞれ中心にし、残りの辺の長さを半径としてコンパスで円の一部をかきます。2つの線が交わった点が、残りの頂点です。両端からの距離が両方とも決まるため、頂点の位置が決まります。

ただし、どんな3つの長さでも三角形ができるわけではありません。たとえば2 cm、3 cm、6 cmでは、短い2辺をつないでも5 cmなので、6 cmの辺の両端に届きません。2 cm、3 cm、5 cmでは一直線になり、三角形にはなりません。短い2辺の長さの和が、最も長い辺より長いことを確かめます。

2つ目は、2つの辺の長さと、その間の角の大きさがわかる場合です。1辺を引き、その端で決められた角を作ります。その角からのびる線上に、もう1辺の長さを取ります。最後に残りの頂点どうしを結びます。「その間の角」は、長さがわかっている2辺が出会う角のことです。別の場所の角を使ってよいわけではありません。

3つ目は、1つの辺の長さと、その両端の角の大きさがわかる場合です。初めに決められた長さの辺を引き、両端でそれぞれ角を作ります。辺の同じ側にのばした2本の線が交わる点を、3つ目の頂点にします。分度器では、中心を頂点に、0°の線をもとの辺に重ね、0°から増えていく方の目盛りを読みます。

3つの角の大きさだけでは、合同な三角形は決まりません。角を同じに保ちながら、辺を長くして大きな三角形を作れるためです。また、2辺の長さだけでは、その間の開き方を変えられます。情報が足りるかどうかは、「まだ動かせる部分が残っているか」と考えると理解しやすくなります。

角の和は、三角形を出発点に考えます

三角形の3つの角の大きさの和は180°です。正三角形だけでなく、細長い三角形でも、直角をもつ三角形でも同じです。紙の三角形の3つの角を切り取り、頂点を1か所に集めてすき間なく並べると、一直線の角になります。この活動で、3つの角を足すという意味を目で確かめられます。

図形の内側の角を内角といいます。小学校の問題で「三角形の角」「五角形の角」といったときは、通常、この内側の角を考えます。辺を外へ延ばしたところにできる角とは区別してください。紙の切り方や測り方で合計がわずかにずれることはありますが、図形の性質としての和は180°です。

四角形では、向かい合う頂点を結ぶ対角線を1本引くと、三角形が2つできます。したがって角の和は180° × 2 = 360°です。対角線の端では、四角形の角が2つに分かれます。その2つを合わせれば、もとの角に戻るので、三角形の角を集めた和と四角形の角の和は同じになります。

五角形や六角形でも、同じ見方が使えます。ここでは、へこみのない多角形を、1つの頂点から引いた対角線で分けます。五角形なら三角形3つ、六角形なら4つです。辺の数から2を引いた数だけ三角形ができるので、角の和は「180° ×（辺の数 – 2）」で求められます。式を先に覚えるより、どの三角形を数えているか確かめることが大切です。

例題で解き方を確かめる

例題1　対応する辺と角を使います

図1の三角形ABCと三角形DEFは合同で、A、B、Cには、順にD、E、Fが対応します。AB = 3 cm、BC = 4 cm、CA = 5 cm、角B = 90°です。辺EF、辺FDの長さと、角Eの大きさを求めましょう。

1. 対応する頂点をAとD、BとE、CとFの組にします。図の向きに引っぱられないように、問題で示された対応を先に整理します。
2. 辺EFの両端を左の図形に戻します。EにはB、FにはCが対応するので、辺EFに対応するのは辺BCです。したがってEF = 4 cmです。
3. 辺FDは辺CAに対応するので、FD = 5 cmです。長そうに見えるという理由ではなく、対応する辺が等しいことを使います。
4. 角Eは角Bに対応するので、角E = 90°です。合同な図形では、対応する角の大きさも変わりません。

答え：EF = 4 cm、FD = 5 cm、角E = 90°です。

求められた値を書き終えたら、対応する頂点を同じ順に指でたどってみましょう。AからB、BからCという動きが、DからE、EからFという動きに合えば、辺を途中で取り違えていないと確かめられます。図形の向きが変わる問題では、計算よりもこの対応づけが中心です。

例題2　3つの辺の長さから三角形をかきます

AB = 5 cm、AC = 4 cm、BC = 3 cmの三角形ABCをかきましょう。3つの長さを満たす頂点Cを探すために、定規とコンパスを使います。図2では、線分ABの上側にCを取っています。

1. 定規で5 cmの線分ABを引きます。基準にする辺を最初に決めると、残りの頂点までの距離を両端から調べられます。
2. コンパスを4 cmに開き、Aを中心にして円の一部をかきます。Aから4 cm離れた点は、この円の一部の上にあります。
3. コンパスを3 cmに開き直し、Bを中心にして円の一部をかきます。Bから3 cm離れた点の集まりと、先ほどの線との交点を探します。
4. 上側の交点をCとし、AとC、BとCを定規で結びます。交点ならAから4 cm、Bから3 cmという2つの条件を同時に満たします。

答え：AB = 5 cm、AC = 4 cm、BC = 3 cmの三角形ABCがかけます。

図2のように、円の一部を2本とも少し長めにかくと、交点が見つけやすくなります。コンパスの針をAからBへ移すときは、中心の位置と開きの両方を確認します。4 cmの開きのままBを中心にかくと、BCまで4 cmになってしまいます。

ABの下側にも交点を作れますが、下側にできる三角形は上側の三角形と合同です。紙を裏返すと重なるので、向きが違っても同じ形と大きさになります。作図の「決まる」とは、紙の上の置き場所までただ1つになるという意味ではありません。回転や裏返しで重なる三角形は、同じ形と大きさとして考えます。

できあがった図を確かめるときは、3辺の長さを測ります。画面や印刷の拡大率で図2そのものの長さは変わるため、手元の紙には定規で指定の長さを取ってください。図を見た印象だけでCを打つのではなく、2つの距離からCを決めることが作図の要点です。

例題3　三角形の残りの角を求めます

三角形の2つの角が48°と67°です。残りの角の大きさを求めましょう。残りの角を見た目で予想するのではなく、3つを合わせた大きさから考えます。

1. 三角形の角の和が180°であることを確認します。求めたい角を含めた3つ全部の合計を、先に決めます。
2. わかっている2つの角を足します。48° + 67° = 115°です。180°のうち、すでにわかっている分をまとめます。
3. 全体からわかっている分を引きます。180° – 115° = 65°です。残った分が、求める角になります。
4. 48° + 67° + 65° = 180°と確かめます。求めた値をもとの3つの角に戻すと、引き算の間違いを見つけられます。

答え：残りの角は65°です。

180° – 48° – 67°と順に引いても同じ答えです。ただし、途中で67°を足すと、わかっている分を取り除くという意味から外れてしまいます。保護者からは「3つ全部で180°です。もうわかっている角は、合わせて何度ですか」と声をかけると、式と図の関係を確かめやすくなります。

二等辺三角形では、等しい辺に向かい合う2つの角が等しいという性質も使えます。頂点の角を全体から引いた残りは、その2つの角を合わせた分です。残りをそのまま1つの角の答えにせず、2で割るところまで考えます。等しい辺に印を付けてから、等しい角にも同じ印を付けると、何を2等分するのかが見えるようになります。

例題4　五角形の角の和から1つの角を求めます

へこみのない五角形の角の和を求めましょう。さらに、その五角形が正五角形なら、1つの角は何度でしょうか。正五角形では、5つの辺の長さも5つの角の大きさも、それぞれ等しいことを使います。

1. 五角形の1つの頂点から、隣り合っていない頂点へ対角線を引きます。三角形の角の和を使える形に分けるためです。
2. できた三角形を数えます。2本の対角線で3つの三角形に分かれるので、180° × 3 = 540°です。
3. 正五角形の5つの角は等しいので、540° ÷ 5 = 108°です。合計を等しく5つに分けて、1つ分を求めます。
4. 108° × 5 = 540°と確かめます。5つ分に戻したときに、五角形の角の和になることを確認します。

答え：五角形の角の和は540°、正五角形の1つの角は108°です。

普通の五角形でも角の和は540°ですが、1つ1つの角がすべて108°とは限りません。最後に5で割って1つの角を出せるのは、5つの角が等しいという情報があるためです。「五角形」と「正五角形」の違いを、計算を始める前に確かめておきましょう。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　同じ位置にある辺を対応させます

誤った書き方：図1を見て「辺ABも辺EFも縦なので、EF = 3 cm」と書きます。どこが違うかというと、縦か横かは、図形を回すと変わる情報です。合同な図形の対応は、紙の上での向きからは決まりません。

正しい書き方：AとD、BとE、CとFを組にしてから、「辺BCと辺EFが対応するので、EF = 4 cm」と書きます。初めは対応の組を余白に書き、求める辺の両端を置き換えましょう。頭の中で回すことが難しいときには、薄い紙に写して重ねる方法でもかまいません。

この誤りには、計算をやり直すだけでは対応できません。答えの数字を直す前に、どの頂点とどの頂点を合わせたかを尋ねます。頂点の組がそろってから辺を見ると、見た目に頼った答えから、理由のある答えに変わります。

誤り2　2辺と、どこか1つの角があればよいと考えます

誤った書き方：「ABとACの長さ、それに角Bがわかれば、2辺とその間の角がわかっている」と書きます。どこが違うかというと、辺ABと辺ACが出会う頂点はAです。角Bは、この2辺の間の角ではありません。

正しい書き方：「ABとACの長さ、それに角Aがわかれば、2辺とその間の角を使ってかける」と書きます。長さがわかっている2辺を指で押さえ、両方の指が集まる頂点を探してください。そこが角を作る場所になります。

たとえばAB = 5 cm、AC = 4 cm、角A = 60°なら、ABを引いたあと、Aで60°の角を作り、その線上にAから4 cmの点Cを取ります。この例では、Bで60°を作ると、AB = 5 cm、AC = 4 cmを満たす三角形はかけません。60°の角は、指定どおりAで作ります。手順を暗記するだけでなく、角の場所を確かめる必要があります。

誤り3　多角形の辺の数だけ180°を足します

誤った書き方：「五角形だから180° × 5 = 900°」と書きます。どこが違うかというと、180°は三角形1つの角の和であり、五角形の辺1本に対応する量ではありません。かける数は、分けてできた三角形の数です。

図3のように、頂点AからCとDへ対角線を引くと、三角形ABC、ACD、ADEの3つができます。正しい書き方は「180° × 3 = 540°」です。Aの角は3つに、CとDの角はそれぞれ2つに分かれていますが、合わせるともとの五角形の角に戻ります。

対角線が2本だからといって、180° × 2にするのも違います。数える対象は線の本数ではなく、線で区切られた三角形です。各三角形の内側に小さく番号を書けば、重なりや数え落としを防げます。正五角形でない場合にも、同じように内側を3つの三角形に分けられれば、角の和は540°です。

中心に点を打って各頂点と結ぶ方法では、三角形が5つできます。ただし、そのまま180° × 5とすると、五角形の角だけでなく、中心のまわりの360°も加えています。この方法なら900° – 360° = 540°とする必要があります。最初は1つの頂点から分ける方法にそろえると、余分な角を引く操作がいりません。

練習問題

練習1

三角形ABCと三角形PQRは合同で、A、B、Cには、順にQ、R、Pが対応します。AB = 7 cm、BC = 5 cm、CA = 6 cmです。辺QRと辺PQの長さを求めましょう。図をかく場合は、頂点の名前を対応の順に付け、見た目の位置だけで決めないようにします。

練習2

AB = 6 cm、角A = 50°、角B = 60°の三角形ABCをかきます。どの情報の組を使う作図でしょうか。また、残りの角Cは何度でしょうか。実際にかくときは、AとBから線をABの同じ側にのばし、交点をCにしてください。

練習3

AB = ACの二等辺三角形ABCで、角A = 44°です。角Bと角Cを求めましょう。等しい角はどれかを確かめてから、残りの角の合計を求めます。2つの角を合わせた大きさと、1つの角の大きさを区別してください。

練習4

へこみのない六角形の6つの角のうち、5つが120°、110°、130°、100°、140°です。残りの角を求めましょう。六角形を1つの頂点から三角形に分けたとき、三角形がいくつできるかを考えるところから始めます。

答えと解説

練習1の答え：QR = 7 cm、PQ = 6 cmです。QにはA、RにはBが対応するので、辺QRは辺ABに対応します。PにはC、QにはAが対応するので、辺PQは辺CAに対応します。頂点が書かれた順番と、実際の対応の順番を区別して読みましょう。

練習2の答え：1辺とその両端の角を使う作図で、角C = 70°です。ABの両端はAとBなので、示された2つの角は、その辺の両端の角になっています。50° + 60° = 110°、180° – 110° = 70°です。かいたあとに角Cを測って確かめられますが、計算では正確に70°と求められます。

練習3の答え：角B = 68°、角C = 68°です。ABとACが等しいので、それぞれに向かい合う角Cと角Bが等しくなります。180° – 44° = 136°は角Bと角Cを合わせた大きさです。136° ÷ 2 = 68°として1つ分を求め、44° + 68° + 68° = 180°と確かめます。

練習4の答え：残りの角は120°です。六角形は1つの頂点から4つの三角形に分かれるので、角の和は180° × 4 = 720°です。わかっている5つの角の和は120° + 110° + 130° + 100° + 140° = 600°です。したがって720° – 600° = 120°となります。6つの角が等しいという条件はないため、720°を6で割って求める問題ではありません。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

対応する頂点や辺をたどる見方は、対称な図形や拡大図、縮図でも使います。合同では長さも角もそのままですが、拡大や縮小では長さの変わり方を調べます。また、1本の線を引いて三角形に分ける考え方は、複雑な図形の面積を求めるときにも役立ちます。分けた部分ともとの図形を行き来する力が、次の学習につながります。

家庭で5分ほど確かめるなら、次の2つを別の日に試してみてください。道具を使う活動と、図を見て説明する活動を分けると、どこで迷っているかを見つけやすくなります。

1. 紙に三角形をかき、もう1枚に写して切り取ります。片方を回したり裏返したりして置き、お子さまに対応する頂点を指してもらいます。重ねる前の予想と、重ねたあとの結果を比べ、同じ場所だと判断した理由を聞きます。
2. へこみのない五角形をかき、1つの頂点から対角線を引いてもらいます。三角形を指で1つずつ数え、「なぜ180°を3回足すのか」を説明してもらいます。時間があれば六角形でも試し、三角形が1つ増えることを確かめます。

個別指導で確かめる際は、対応の取り違えなら頂点と辺の読み方まで、作図のずれなら定規の0の位置や分度器の中心の合わせ方まで戻ります。角度の計算で止まる場合は、引き算の前に、求める角がどこで、わかっている角がどこかを指せるか確認します。

まとめ

合同な図形や角の問題で、答えにたどり着く道筋は図の中にあります。回された三角形でも頂点のつながりを追えれば、対応する辺が見つかります。五角形に引いた対角線の両側を見れば、180°を何回集めるのか説明できます。

お子さまが途中で止まったときには、まだ見つけていない対応や、数えられていない三角形があるかもしれません。「どこを見てそう考えたか」が聞き取れると、必要な助けが具体的になります。図に引いた1本の線を説明できることが、角度の答えを自分で確かめる力になります。