共通テスト情報I 散布図と相関—点の配置から関係の向きと強さを読み分ける｜武蔵野個別指導塾

傾きの異なる点の並びと外れ値を含む表から、向きと強さを読み解く鍵は散布図と相関です。

よくあるのは、高校生が散布図の点の並びを見て、傾きが大きいほど相関も強いと考える場面です。縦軸の単位や目盛りを変えれば、同じデータでも見た目の傾きは変わります。一方、点が直線の近くに集まるかどうかは、関係の強さを読む手掛かりです。ここでは自作の対応データを使い、向き、直線への集まり方、外れた点の影響を順に調べます。

点の並びから何を答えるか

まず出方の1つは、散布図を見て正の相関、負の相関、または明瞭な直線的関係が見られないという説明を選ぶ型です。横の値が大きい点ほど縦の値も大きい傾向なら正、縦の値が小さい傾向なら負です。点が右上がりか右下がりかを、全体の傾向として読みます。1組の点の大小だけで全体を決めないことが出発点です。

2つ目は、複数の散布図や相関係数を比べ、直線的関係の強さを判断する型です。係数の符号は向き、絶対値は直線的関係の強さを表します。例えば負の係数と正の係数を比べるときも、強さの比較には符号を外した大きさを使います。見かけの傾きの急さは、強さの基準にはなりません。

3つ目は、他から離れた点を含めたときと除いたときの変化を調べる型です。点を除く操作は、何を対象にした値かを変えます。除く理由と前後の結果を明示し、都合が悪いからという理由で消さないことが必要です。相関が見えても原因と結果を断定できないことにも注意します。

1点が表す対応と係数の読み方

散布図の1点は、同じ対象について測った2つの値の組です。横軸を x、縦軸を y とすると、座標 (x, y) は1対象の記録です。別々に並べ替えた x と y を組み直すと、元の対応を失うので、元の関係を表さなくなります。単位と対象を軸のそばで確認してから点を追います。

図1のように、右へ進むにつれて上へ集まる配置と下へ集まる配置では、関係の向きが逆です。点が一直線に近いほど直線的関係は強く、広く散らばるほど弱くなります。ただし点が曲線に沿う場合、はっきりした関係があっても直線的な相関は弱いことがあります。係数が0に近いことは、あらゆる関係がない証明ではありません。

図1の左右ではそれぞれ右上がりと右下がりを示しています。軸の目盛りを伸縮すると画面上の角度は変わりますが、正の単位換算で各軸の値を一律に伸縮したとき、相関係数は変わりません。例えば縦の長さをメートルからセンチメートルに直すだけでは、対象間の対応も直線への集まり方も変わらないためです。

相関係数 r は、各値からそれぞれの平均を引いた偏差を使って計算します。偏差の積の合計を、x の偏差の2乗の合計と y の偏差の2乗の合計の積の平方根で割ります。値の範囲は -1 以上 1 以下です。両方が平均より大きい、または両方が平均より小さい組は積が正になり、逆側にある組は負になります。正と負の積がどのように釣り合うかを追えば、符号の意味も見えます。

この計算は両方の項目に変化があるときに使えます。片方が全件同じ値なら、その偏差の2乗の合計が0になり、分母が0です。相関係数を0と決めず、定義できないと扱います。欠損がある場合も0として埋めず、対応する2値がそろった組と対象数を明示して考えます。

基本例題：傾きが違う2組を比べる

4つの対象 A〜D について、横の値 x は順に 1、2、3、4 です。縦の値は、組 P では 2、4、6、8、組 Q では 1、2、3、4 です。両方とも欠損はありません。各組の相関係数を整数で求め、直線的関係の強さを比較してください。x と縦の値の単位はそれぞれ同じとします。

図2のように、P の点は (1, 2)、(2, 4)、(3, 6)、(4, 8) です。Q は (1, 1)、(2, 2)、(3, 3)、(4, 4) です。横の値が1増えると、P の縦の値は2、Q は1増えます。P の直線は急ですが、どちらの4点もそれぞれ右上がりの直線上にあります。

図2の点の座標を表に戻すと、同じ x に対して P は Q の2倍です。P の平均は x が 2.5、y が 5 です。x の偏差は順に -1.5、-0.5、0.5、1.5 で、y の偏差はその2倍です。x の偏差の2乗の合計は 5、y の偏差の2乗の合計は 20、偏差の積の合計は 10 です。したがって P の r は 10 を √100 で割った 1 です。

Q の平均は両方とも 2.5 です。2つの偏差は各対象で等しいので、それぞれの偏差の2乗の合計と積の合計はすべて 5 です。Q の r は 5 を √25 で割った 1 です。答えは P も Q も 1 で、直線的関係の強さは同じです。元の4組をそれぞれ直線の式に戻すと、P は y が x の2倍、Q は y が x と等しい関係を満たします。

途中で急な直線に注目して P を強いと選んだ場合は、各点が直線からどれだけ離れているかを見直します。どちらも離れはありません。なお、すべての点が同じ座標に重なる場合は、直線上にあるように見えても両方の変化がなく、係数は定義できません。見た目だけで 1 を付けず、変化があるかも確かめます。

単位を変えたときの確認

基本例題の P の縦の値を、すべて10倍して 20、40、60、80 とします。横の値は変えません。縦の平均は 50、縦の偏差も元の10倍なので、その2乗の合計は 2000、偏差の積の合計は 100 です。分母は √10000 の 100 となり、係数はやはり 1 です。縦の数値の増加幅は大きくなっても、同じ対象の組と直線的関係の強さは保たれます。

逆に、縦軸の目盛りの間隔を紙の上で広げるだけなら、数値自体は変わりません。図の線が急に見えることと、データの値を単位換算することは別の操作ですが、どちらの場合も傾きの見た目だけで強さを判定できない点は共通です。数表が与えられたら、図の角度を測る前に対応する組を確認します。

点が直線に近いかを比べる問題では、点の一部だけを見て結論を急がないことも必要です。たまたま隣り合う2点は常に1本の直線で結べます。残りの点まで含めて同じ傾向が続くかを調べて初めて、集団全体の配置を説明できます。点が重なっている場合は、記録の件数も表で確認します。同じ座標が複数回現れても、それぞれ別の対象なら複数組として計算します。図だけでは重なりが見えないため、元の表と照らし合わせることが必要です。

少し難しい例題：離れた点を加える

ある自作の記録で、5組の値は順に (1, 1)、(2, 2)、(3, 3)、(4, 4)、(5, 0) です。欠損はありません。最後の組を含む5組と、最後の組を除いた4組について相関係数を求め、分数または平方根を含む式で答えてください。また、除外の影響を述べてください。最後の組が入力誤りかどうかは与えられていません。

5組の x の平均は 3、y の平均は 2 です。対応する偏差の積は順に 2、0、0、2、-4 となり、合計は 0 です。x の偏差の2乗の合計は 10、y の偏差の2乗の合計も 10 です。分母は √100 なので、5組の係数は 0 です。最後の点は右側にありながら縦の値が小さく、それまでの右上がりを打ち消しています。

最後の組を除いた4組では両方の平均が 2.5 です。偏差の積の合計は 5、各偏差の2乗の合計も 5 なので、係数は 1 です。4組に戻しても各組の x と y が等しく、右上がりの直線上にあることを確かめられます。5組を対象とする係数は0、4組に限定した係数は1で、1点の有無が結果を大きく変えました。

ただし、この点が離れていることと、誤りであることは別です。正しい記録なら対象の一部ですし、入力誤りなら原記録に戻って確認する必要があります。記録の状態が不明なこの問題では、5組の結果を報告したうえで、除外した場合の比較を添えるのが適切です。4組の結果を5組全体の係数として使うことはできません。

誤答を表に戻して直す

基本例題について「P の傾きは Q の2倍だから、相関も2倍」と答えたとします。図3のように、この判断は縦の増え方と、点が直線の周囲にどれほど集まるかを混同しています。傾きは単位の変更にも影響される量で、相関係数とは異なる意味です。

図3では、傾きの比較から直接強さへ進む経路を止め、各点の直線への集まり方へ戻しています。P と Q は両方とも対応する直線からのずれが0で、計算した係数も 1 です。直すときは「P の増え方は大きい」と「どちらも完全な正の直線的関係」を別々に書きます。

もう1つの誤りは、係数の大小をそのまま強さとすることです。例えば -0.9 と 0.4 では、数としては 0.4 の方が大きいものの、絶対値は 0.9 の方が大きく、前者の方が直線的関係は強いと読みます。符号を消してよいのは強さの比較のときで、向きを答えるときに消してはいけません。

また、係数が0なら点が完全にばらばらだと決めるのも誤りです。先の5組では係数が0でも、4組は同一直線上にあり、残る1組が計算に影響しています。係数と点の配置を併せて見れば、1つの数だけでは伝わらない形を拾えます。点を除く前後は対象が違うことも答えに残します。

自分で確かめる4問

次のデータは練習用に作ったものです。各組には欠損がなく、並んだ2値は同じ対象の記録です。指定された形で答えてから、後の解答で元の組へ戻して確認してください。

1. 3組 (1, 6)、(2, 4)、(3, 2) の相関係数を整数で求め、向きを答えてください。
2. 3組 (1, 2)、(2, 5)、(3, 2) の相関係数を整数で求めてください。また、係数だけから関係が全くないと判断できるか答えてください。
3. 4組 (1, 3)、(2, 3)、(3, 3)、(4, 3) の相関係数は計算できるか答え、理由を述べてください。
4. 2つの集団の相関係数がそれぞれ -0.8、0.6 です。直線的関係が強い集団と、それぞれの向きを答えてください。両方の係数は対応する元データから正しく算出されたものとします。

解答と確かめ方

1. 答えは -1、負の向きです。x の平均は 2、y の平均は 4 です。偏差の組は順に (-1, 2)、(0, 0)、(1, -2) なので、積の合計は -4、2乗の合計は x が 2、y が 8 です。分母は √16 で、係数は -4 を4で割った -1 です。元の3組でも、x が1増えるたび y は2減り、一直線上にあります。

2. 答えは 0 で、全く関係がないとは判断できません。平均は x が 2、y が 3 です。偏差の積は順に 1、0、-1 で合計は0です。両方の偏差の2乗の合計は正なので、係数は0と計算できます。元の3組を見ると、中央の y が両端より大きい形です。右上がりでも右下がりでもないという結果と、中央が高い配置は両立します。

3. 答えは計算できません。縦の値は4組とも3で、その平均も3です。y の偏差はすべて0、偏差の2乗の合計も0となり、分母が0になるからです。元の表に戻すと、横の値は変化していますが縦の値は一定です。係数を0と答えるのではなく、定義できない理由まで記します。

4. 答えは -0.8 の集団が強く、向きは前者が負、後者が正です。絶対値を比べると 0.8 が 0.6 より大きいからです。負の係数の集団では横の値が大きいほど縦の値は小さい傾向、正の係数の集団では大きい傾向です。係数の値から各対象の座標や、個々の点が必ず傾向に従うことまでは決められません。

持ち帰る要点

• 1点は同じ対象の2値の組です。
• 符号で向きを、絶対値で直線的関係の強さを読みます。
• 傾きの急さは相関の強さではありません。
• 外れた点の有無と対象数を示し、配置も確かめます。
• 変化がない項目があれば係数は定義できません。

どこで迷ったかを見つける

向きで迷ったら、横軸の小さい側と大きい側で点の高さを見比べます。強さで迷ったら、軸の目盛りを確認し、点がそれぞれどの直線の近くにあるかを描き込みます。計算が合わないときは、平均、対応する偏差の積、2乗の合計の順に表へ戻ります。

個別指導で確かめるなら、最初に1点がどの対象の2値を表すかを説明してもらい、次に除外前後で対象が何組かを数えます。係数だけを暗記していても、対応を入れ替えたり、分母が0のまま計算したりすると結論は変わります。点の配置と元の組を行き来することで、散布図の読み取りは確かなものになります。