高校数学A 組合せ—順序を区別しない選び方を順列との違いから判断する｜武蔵野個別指導塾

役職のない担当者3人を選ぶ際に6で割る理由をたどり、選ばずに残す人へ注目した組合せの計算も確かめましょう。

よくあるのは、定期テスト前の高校生が代表を選ぶ問題を解くとき、選ぶ順序まで別として数えてしまう場面です。例えば、先にAさん、次にBさんを選んでも、先にBさん、次にAさんを選んでも、代表がAさんとBさんという結果は変わりません。問題が求める結果を言葉にしてから式を作ると、この重なりに気づけます。組合せの記号を使う前に、何を同じ結果とみなすかを決めましょう。

選んだ後に役割は残りますか

出方の1つは、異なる人や品物から決まった個数を選ぶ問題です。選ばれたものの顔ぶれだけを問うなら、順に取り出したときの順番は結果に残りません。この場合は組合せを使います。例えば委員を2人選ぶとき、委員に区別される役職がなければ、同じ2人を選んだ順番が違っても同じ選び方です。

もう1つは、選ぶと同時に異なる役割を割り当てる問題です。代表と副代表を1人ずつ決めるなら、Aさんが代表でBさんが副代表の場合と、その逆の場合は違います。こちらは選択の順序を役割に対応させて順列で数えられます。同じ「2人を選ぶ」という言葉でも、答えとして何を区別するかが分かれ目です。

さらに、選ぶ人数が多いときは、選ばれない人数に注目する型があります。全体が決まっていれば、選ばれない人が決まると選ばれる人も決まります。選ぶ側と残す側のどちらを数えても同じ結果に対応することを、具体的に説明できるようにします。ここでは顔ぶれを選ぶところまでを扱い、複数の組に分ける数え方には立ち入りません。

順列から組合せへ

異なるn個から異なるr個を選んで一列に並べる方法は nPr 通りです。最初の場所にn通り、次に残りのn − 1通りと、選ぶたびに候補が1個ずつ減ります。最後は n − r + 1 通りです。ここで n と r は整数で、0 ≦ r ≦ n とします。

一方、異なるn個からr個を選び、順序を区別しない選び方を nCr と書きます。読み方は「n個からr個を選ぶ組合せ」です。r個の顔ぶれを1つ固定すると、そのr個の並び方は r × (r − 1) × … × 1 通りです。この積を r! と表し、階乗と呼びます。したがって r が1以上のとき、順列で数えた中には、同じ顔ぶれが r! 回ずつ現れます。

nCr = nPr ÷ r!

図1のように、3人から2人を選ぶとき、ABとBAは順列では別ですが、組合せでは同じ顔ぶれです。ACとCA、BCとCBもそれぞれ同じ組にまとまります。6通りの並びを、1組につき2通りずつに分けるので、選び方は3通りです。

図1の各列では、上と下が同じ2人を表します。割り算が使えるのは、どの顔ぶれにも同じ2通りの並びがあるからです。単に「順列だから2で割る」と覚えると、3人選ぶ場合に必要な 3! = 6 で割り忘れます。

何も選ばない方法は、空の選択という1通りです。この約束に合わせて 0! = 1、nC0 = 1 とします。また全員を選ぶ方法も1通りなので nCn = 1 です。選べる個数が足りない状況を見たら、公式に負の数を入れる前に、条件を満たす選び方がないと判断します。

選ばれたr個と、残った n − r 個は互いに決まります。どちらの側から数えても同じ選択を1回ずつ表すので、nCr = nC(n − r) です。例えば9人から7人を選ぶことは、残る2人を決めることに対応します。計算が短い方を使っても、答えの意味は元の7人の選び方です。

基本例題：展示の担当者を選ぶ

異なる6人から、展示の担当者を3人選びます。担当者に区別される役職はありません。選び方は何通りですか。答えは整数で表してください。

図2のように、まず3人を順に選んで並べ、その後で同じ顔ぶれをまとめます。3つの場所を設けると、最初は6人、次は残る5人、最後は残る4人から選べます。

6P3 = 6 × 5 × 4

6P3 = 120

この120通りは、並んだ順序を区別した数です。例えばA、B、Cを選ぶ場合、ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBAの6通りがすべて同じ担当者の顔ぶれを示します。どの3人を選んでも並べ方は同じく 3 × 2 × 1 = 6 通りなので、120を6で割ります。

6C3 = 6P3 ÷ 3!

= (6 × 5 × 4) ÷ (3 × 2 × 1)

= 120 ÷ 6

= 20

答えは20通りです。図2で上の3つの場所は数えるために仮に設けたもので、実際の担当者に役職があるという意味ではありません。並びを顔ぶれに戻して重複を除くと、求める結果になります。

図2の割る数6は、候補者の人数ではなく、選ばれた3人の並べ方です。もし担当者のうち1人を責任者にするなら、同じ顔ぶれでも責任者を3通りに決められます。その場合は 20 × 3 = 60 通りとなり、元の問題の20通りとは区別します。問題文に役割がないのに、この3倍を加えてはいけません。

答えを場面へ戻しても確認できます。20通りの各顔ぶれを6通りずつ並べると120通りで、最初に3つの場所を埋めた数に戻ります。割った後で掛け戻せることに加え、各顔ぶれの並びが6通りずつであることを確かめるのが要点です。

条件を満たす人数で分ける

異なる赤いカード5枚と異なる青いカード4枚があります。合わせて4枚選ぶとき、赤いカードをちょうど2枚含む選び方は何通りですか。選ぶ順序は区別せず、答えは整数で表してください。

赤が2枚と決まると、4枚にするため青も2枚です。赤から2枚を選ぶ方法と青から2枚を選ぶ方法を、それぞれ別に数えます。

5C2 = (5 × 4) ÷ (2 × 1) = 10

4C2 = (4 × 3) ÷ (2 × 1) = 6

赤の選び方を1つ決めるたびに、青の選び方は6通りあります。したがって積を取り、10 × 6 = 60 通りです。赤2枚と青2枚の組は、完成した4枚から色ごとに取り出せるので、別の組を選んで同じ4枚になる重複はありません。

条件が「赤を少なくとも2枚」に変わると、赤の枚数は2、3、4のいずれかです。それぞれ青の枚数は2、1、0となります。赤の枚数が異なれば同じ4枚にはならないため、場合を足せます。

5C2 × 4C2 + 5C3 × 4C1 + 5C4 × 4C0

= 10 × 6 + 10 × 4 + 5 × 1

= 105

赤を5枚選ぶことは、全部で4枚という条件に合いません。また赤が1枚以下の選択は「少なくとも2枚」に合わないため含めません。条件の境目を調べてから式を作ると、存在しない場合や不足する場合を区別できます。

別の確認として、9枚から4枚を選ぶ全体は 9C4 = 126 通りです。赤が0枚の場合は1通り、赤が1枚の場合は 5C1 × 4C3 = 20 通りなので、条件に合わない選択は21通りです。126 − 21 = 105 となり、元の条件を満たす場合を直接足した結果と一致します。

間違えた式から戻る

基本例題で 6 × 5 × 4 = 120 通りと答えたとします。3つの場所を埋める計算自体は正しくても、役職のない担当者を選ぶ答えとしては大きすぎます。ABCとBACは並びとして別ですが、どちらもA、B、Cが担当する同じ結果だからです。

図3のように、同じ顔ぶれを並べ替えた6通りを1つにまとめます。間違いの原因は、計算の途中に作った場所を、問題が求める役割と取り違えたことです。修正後は 120 ÷ 6 = 20 通りです。

図3では6つの並びをまとめていますが、1組だけを引くのでは足りません。どの顔ぶれにも6通りずつ並びがあるので、全体を6で割ります。一方、責任者が指定される問題では、責任者が誰かによって結果が変わります。その違いまで消してしまわないよう、まとめる前に問題の条件を読み直します。

もう1つの誤りは 6P3 を3で割ることです。3は選ぶ人数ですが、3人の並びの個数は3ではなく6です。まず1人目を3通り、2人目を2通り、最後を1通りと数え、割る数を 3! と決めます。選ぶ人数と、同じ結果が繰り返される回数は別の量です。

練習問題

いずれも対象は互いに区別でき、選ぶ順序は区別しません。答えは通り数を整数で表してください。

1. 異なる8冊の本から、読書会に持っていく本を2冊選びます。選び方は何通りですか。
2. 異なる10本の苗から、植える苗を8本選びます。選び方は何通りですか。
3. 異なる白い石6個と黒い石3個から、白をちょうど3個含むように4個選びます。選び方は何通りですか。
4. 異なる7人から係を3人選び、そのうち1人を連絡役にします。係の残り2人に役割の区別はありません。決め方は何通りですか。

練習の答えと考え方

1. 8C2 = (8 × 7) ÷ 2 = 28 通りです。順に2冊を置くと56通りですが、各2冊は置く順番が2通りあります。28組をそれぞれ2通りに並べ直すと56通りへ戻ります。

2. 10C8 = 10C2 = (10 × 9) ÷ 2 = 45 通りです。選ばない2本を決めれば、残る8本が一意に決まります。選ばない組が違えば植える8本も違うので、45を元の選び方に対応させられます。

3. 白3個と黒1個を選びます。6C3 × 3C1 = 20 × 3 = 60 通りです。できた4個を色別に見ると白3個、黒1個に戻り、異なる選び方が同じ4個になることもありません。白4個を選ぶ場合は、白がちょうど3個という条件に合わないので数えません。

4. 先に係の3人を選び、その中の1人を連絡役にします。7C3 × 3 = 35 × 3 = 105 通りです。連絡役を先に7通りで決め、残る6人から係2人を選えても、7 × 6C2 = 7 × 15 = 105 通りです。どちらも連絡役1人と役割のない係2人に戻せます。3人を順に並べた 7P3 = 210 のままでは、残る2人の入れ替えを二重に数えます。

手元に残す要点

選んだ顔ぶれだけが結果なら、順序を区別しません。 nCr は nPr を選ばれたr個の並び方 r! で割ります。 選ぶ側と残す側が対応するので nCr = nC(n − r) です。 条件ごとに場合を分けるときは、重なりと数え漏れを確かめます。

選ぶ対象が区別できることも前提です。同じ色というだけで同一のものと決めず、問題文で個々の対象を区別できるかを読みます。区別の有無が変われば、同じ公式をそのまま使えるとは限りません。

どこで迷ったかを見つける

式に進めないときは、まず小さい人数に置き換えて、同じ顔ぶれを異なる順で書いてみます。その2つを問題の答えとして区別するか説明できれば、順列か組合せかを選ぶ根拠が見えてきます。計算だけが合わないときは、分子が順に選ぶ数、分母が同じ顔ぶれの並び方になっているかを別々に見ます。

個別指導で確かめるなら、6人から3人を選ぶ式について、なぜ6を掛けるのか、なぜ最後に6で割るのかを本人の言葉でたどります。条件付きの問題では、赤と青の枚数を先に書き、完成した選択から元の条件へ戻せるかも確認します。選択の結果を言葉で定めると、式に含まれる重複が見えてきます。

選ぶ数が変わるときの点検

組合せの式は、何個から何個を選ぶのかを明確にして初めて使えます。例えば候補の中に必ず選ぶ人がいるなら、その人を先に確定し、残りの候補と残りの人数で考えます。必ず選ばない人がいる場合は、その人を候補から外します。どちらも、元の人数と選ぶ人数を同時にそのまま使うと、指定された人の扱いが式に反映されません。

反対に、特定の人が選ばれるかどうかが指定されていないとき、勝手にその人を除いてはいけません。その人を含む場合と含まない場合に分ければ、両方を合わせて元の選択に戻せます。分けた後に足す際には、同じ顔ぶれが両方に入らないことと、どちらにも入らない顔ぶれがないことを確認します。

計算の途中では、割り算の対象にも注意します。分子の一部だけを先に割るなら、その部分が割り切れるように約分するか、分数全体として計算します。途中で端数を切り捨てると、最後に整数となる組合せの値まで変わってしまいます。式を簡単にした後は、元の積に戻して等しいかを確かめます。

問題文に「少なくとも」とある場合は、その数に等しい場合に加えて、それより多い場合も候補です。ただし、用意された個数や選ぶ総数を超える場合は作れません。「ちょうど」なら指定された数以外を含めないという違いを、数式を書く前に短くメモしておきます。条件の読み違いは計算を正しく続けても直らないため、答えた後にも選んだ個数と指定の個数を照合します。