大学入試数学 三成分のコーシー・シュワルツ—平方差の和から不等式を作り等号の組を求める｜武蔵野個別指導塾

二組の数の比例を二か所だけで確かめて等号とすると、三つ目のずれを見落とします。平方の差を並べて上界を作り、等号の鍵は三成分です。

よくあるのは、三成分の不等式を扱う自習の場面で、a と x、b と y の比だけを計算し、「これで等号が成り立ちます」と答案に書いて、三つ目の c と z を確かめずに次の問題へ移るという場面です。二組の数のうち二つが同じ割合で並んでいると、残りも同じだろうと感じやすいのですが、三成分ではそこが分かれ目になります。どこまで確かめれば等号と言えるのかを、式の形から決めていきます。

三成分で問われる三つの型

三成分の評価は、二組の実数 (a,b,c) と (x,y,z) の間に成り立つ不等式として出ます。問われ方は大きく三つに分かれます。

一つ目は、x²+y²+z² の値が決まっているときに、2x+3y+6z のような一次式の最大値や最小値を求める型です。二つ目は、一次式の和が決まっているときに、x²+y²+z² の最小値を求める型です。三つ目は、不等式そのものを証明し、等号が成り立つ組を答える型です。どれも同じ不等式の使い方の違いで、覚える式は一つで足ります。

使う道具は三成分のコーシー・シュワルツです。a、b、c、x、y、z はすべて実数とします。平方は実数なら0以上という性質だけを使うので、正の条件がない問題にもそのまま当てはめられます。二成分版を復習した人にとっての新しい点は、比例の確認が三組に増えることです。

証明型では、差を平方の和に直す変形そのものを答案に書きます。係数に文字が入っていても、三つの平方を並べる形は変わりません。たとえば (a²+b²+c²)(3²+1²+2²) ≥ (3a+b+2c)² を示せ、という形で出ても、右辺を引いて三つの差に分ける作業は同じです。数字が入った問題と文字だけの問題を別物として覚える必要はありません。

答案の運びは、評価を出して上界か下界を決め、その値を実際に取る組を条件に戻して確かめる、という順になります。評価だけでは「その値より大きくならない」ことしか言えず、その値に届くかどうかは別の仕事です。届かない場合の見分け方も、後の例題で扱います。型の見分けは、固定されている量が二乗和か一次式かで決まります。

三成分のコーシー・シュワルツと等号の読み方

三成分のコーシー・シュワルツは、実数 a、b、c と x、y、z に対して次の不等式です。

(a²+b²+c²)(x²+y²+z²) ≥ (ax+by+cz)²

左辺は二組の二乗和の積、右辺は対応する成分の積の和の二乗です。等号は二組が比例するときに限って成り立ちます。証明は、左辺から右辺を引いた差を平方の和に直します。

まず左辺の積を展開します。

(a²+b²+c²)(x²+y²+z²) = a²x²+a²y²+a²z²+b²x²+b²y²+b²z²+c²x²+c²y²+c²z²

この式から (ax+by+cz)² を引くと、a²x²、b²y²、c²z² が打ち消えます。

(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)-(ax+by+cz)²
= a²(y²+z²)+b²(x²+z²)+c²(x²+y²)-2(abxy+bcyz+cazx)

残った式は三つの平方の和にまとまります。

= (ay-bx)²+(bz-cy)²+(cx-az)²

右辺を展開すると、交差項が -2abxy、-2bcyz、-2cazx として現れ、直前の式と一致します。平方の和は0以上なので、差は0以上、すなわち不等式が従います。この変形は覚える価値があります。差を平方の和で書いておけば、等号の条件がそのまま三つの式として見えるからです。

二成分版は (a²+b²)(x²+y²)-(ax+by)² = (ay-bx)² で、差が一つの平方です。この形だけを見ていると、三成分でも差は一つだと思い込みやすくなります。成分が一つ増えると差も一つ増える、というのが三成分の最初の関門です。三成分の式は、二成分の式を三つに増やしたのではなく、三組のずれを足し合わせた形になっています。

等号が成り立つのは、三つの平方がすべて0のときです。

ay-bx = 0, bz-cy = 0, cx-az = 0

これは (x,y,z) が零でないとき、実数 k を用いて a=kx、b=ky、c=kz と書けることと同じです。ただし答案では割り算の形に直さず、ay=bx の形を残してください。x=0 のときに a/x は定義できず、そこで答案が止まるからです。等号の三つの式は連立して使い、二つから比例定数を決めて、残り一つに代入して矛盾が出ないかを確かめる、という順が確実です。

図1のように、三成分の場合は「ずれ」が三つあります。二成分なら差は一つの平方で済みますが、三成分では ay-bx、bz-cy、cx-az の三つを並べます。三つのうち二つが0でも、残りが0でなければ差は正のままなので、不等式は狭いままです。二つの比が合っただけで等号と書くと、この残り一つを見落とすことになります。

零成分の扱いも、この形なら迷いません。x=0 のときは ay=0 という条件が残り、a が0でなければ y=0 が要求されます。比 a/x を書くと0で割ることになるので、答案では ay=bx の形を最後まで保ちます。二組のうち片方が (0,0,0) のときは両辺が0になり、等号はいつでも成り立ちます。この場合は比例の相手を決めようがないので、等号成立の組を答える問題では別に断ります。

不等式をどちら向きに使うかで、答えの形も変わります。二乗和が一定なら、一次式の絶対値が上から押さえられ、最大値と最小値が対になって出ます。一次式が一定なら、二乗和が下から押さえられ、最小値が出ます。どちらの場合も、右辺の平方根を取るときに絶対値が付くことを忘れないでください。二乗の評価から元の符号へ戻す操作が、次の例題の中心になります。

基本例題　二乗和が一定のときの一次式

例題1（基本）　実数 x、y、z が x²+y²+z²=1 を満たすとき、2x+3y+6z の最大値と最小値を求めよ。また、それぞれの値を取る (x,y,z) の組を求めよ。

(a,b,c)=(2,3,6) として三成分のコーシー・シュワルツを当てます。

(2x+3y+6z)² ≤ (2²+3²+6²)(x²+y²+z²)
= (4+9+36)・1
= 49

両辺の平方根を取ると、2x+3y+6z の絶対値が7以下だとわかります。すなわち -7 ≤ 2x+3y+6z ≤ 7 です。ここで止めずに、等号を取る組を探します。等号の条件は (x,y,z)=k(2,3,6) かつ 49k²=1 なので、k=1/7 または k=-1/7 です。

k=1/7 のとき (x,y,z)=(2/7,3/7,6/7) で、2x+3y+6z=(4+9+36)/7=7 になります。k=-1/7 のとき (-2/7,-3/7,-6/7) で、値は -7 です。どちらの組も x²+y²+z²=(4+9+36)/49=1 を満たすので、上界と下界は実際に達成されます。したがって最大値は7、最小値は-7です。

図2は、係数の組 (2,3,6) と等号を取る組 (2/7,3/7,6/7) の対応を並べたものです。係数の組を7で割ると等号の組になり、そのとき値も7になります。係数の二乗和が49なので、二乗和が1の条件では値の限界がちょうど7になる、という関係が見えます。

この例題で身につけたいのは、評価と達成を分けて書く運びです。不等式だけでは最大値が7以下だと言えただけで、7を取る組が存在するかは別に示します。逆に、等号の組を先に見つけても、それが条件を満たすかは代入して確かめます。二つの作業を一つの答案に並べることで、最大値の証明が完成します。

検算では、求めた組を二つの式に戻します。x²+y²+z²=1 と 2x+3y+6z=7 の両方が成り立てば、上界を取る組として合格です。片方だけ確かめて終わると、係数の取り違えに気づけません。最小値の組についても同じ二つを計算し、符号が反転していることを見ます。

標準例題　和が一定のときの二乗和

例題2（標準）　正の実数 x、y、z が x+2y+3z=6 を満たすとき、x²+y²+z² の最小値を求めよ。

今度は一次式の値が決まっているので、同じ不等式を逆向きに読みます。(a,b,c)=(1,2,3) とおくと、次の評価になります。

(x+2y+3z)² ≤ (1²+2²+3²)(x²+y²+z²)
36 ≤ 14(x²+y²+z²)
x²+y²+z² ≥ 18/7

等号の条件は (x,y,z)=k(1,2,3) です。これを条件 x+2y+3z=6 に代入すると、k+4k+9k=14k=6 となり、k=3/7 です。よって (x,y,z)=(3/7,6/7,9/7) のときに等号が成り立ちます。

この組は三つの成分がすべて正なので、問題文の「正の実数」という条件を満たします。値を代入して確かめると、x+2y+3z=(3+12+27)/7=42/7=6、x²+y²+z²=(9+36+81)/49=126/49=18/7 です。最小値は 18/7 で、これを取る組は (3/7,6/7,9/7) です。

ここで確かめておきたいのは、正の条件が等号の組で満たされているかどうかです。もし等号の組のどれかが0以下なら、その組は条件の外にあり、下界 18/7 は達成されません。そのときは最小値が別の点で決まり、評価だけでは答えになりません。正の条件が付いた問題では、等号の組を求めたあとに必ず条件へ戻します。

この運びは、係数が (p,q,r) で一次式の和が決まっている問題にそのまま移せます。二乗和の最小値は (和)²/(p²+q²+r²) で、等号の組は係数の組を (和)/(p²+q²+r²) 倍したものです。公式として暗記するよりも、評価を書いて等号を条件に代入する手順を覚えるほうが、係数に0が入ったときや、和の値が文字で与えられたときに強くなります。係数に0が入れば、その成分は等号の組でも0に固定されます。

やや難例題　零を含む組で等号を取る

例題3（やや難）　実数 x、y、z が x²+y²+z²=5 を満たすとき、2x+y の最大値と最小値を求めよ。

目的式に z が入っていないので、係数の組は (2,1,0) と見ます。三成分のまま当てると、次のようになります。

(2x+y)² ≤ (2²+1²+0²)(x²+y²+z²)
= 5・5
= 25

よって -5 ≤ 2x+y ≤ 5 です。等号の条件は (x,y,z)=k(2,1,0)、すなわち x=2k、y=k、z=0 です。x²+y²+z²=5k²=5 から k=±1 となり、最大値5は (2,1,0)、最小値-5は (-2,-1,0) で達成されます。

三つ目の成分が0の係数でも、比例の式は生きています。cx-az=0 は 0・x-2z=0、つまり z=0 という条件です。z は目的式に現れないので自由に見えますが、等号を取る組では0に固定されます。この固定を見落とすと、等号の組を (2,1,1) のように書いてしまい、代入したときに値が5になりません。

零成分は「比が書けない」だけで、条件が消えるわけではありません。比を書かない形で進めれば、零が入った組でも同じ手順で等号を絞れます。この例題のように、係数の側に0が現れる問題は多いので、三つ目の式を省略しない習慣がそのまま得点差になります。

最大値と最小値は、係数の組を -1 倍すると入れ替わります。絶対値が同じで符号だけが違うので、片方を求めればもう片方は組の符号を反転させるだけで済みます。答案では両方を書き、それぞれの組を添えてください。値だけを書いて組を落とすと、達成の確認が抜けた答案になります。

難例題　上界がぴったり合う条件から組を決める

例題4（難）　実数 x、y、z が x²+y²+z²=9 と x+2y+2z=9 を同時に満たすとき、(x,y,z) を求めよ。

条件の係数 (1,2,2) でコーシー・シュワルツを使います。右辺の二乗和も係数の組から決まるので、上界の値を先に計算します。

(x+2y+2z)² ≤ (1²+2²+2²)(x²+y²+z²)
= 9・9
= 81

左辺は 9²=81 なので、この評価は等号で成り立っています。等号の条件から (x,y,z)=k(1,2,2) と書け、x²+y²+z²=9k²=9 から k=±1 です。さらに x+2y+2z=k(1+4+4)=9k=9 なので k=1 に決まります。したがって (x,y,z)=(1,2,2) です。

代入して確かめると、x²+y²+z²=1+4+4=9、x+2y+2z=1+4+4=9 で、どちらの条件も満たします。条件を満たす組はこれ一つです。

この問題が一つに決まるのは、条件の右辺9が上界 √81 と一致したからです。もし右辺が3なら、左辺の二乗は9で上界81には届かず、等号は成り立ちません。そのとき条件を満たす点は平面と球面の交わる円の上に無数にあり、組を一つに決めることはできません。値を代入する前に、上界と条件の値が一致するかを見る。この見方が、等号を使う問題と使わない問題の分かれ目になります。

解が一つに決まらないことを、具体的に見ておきます。x+2y+2z=3 と x²+y²+z²=9 を同時に満たす点には (3,0,0) と (-9/5,0,12/5) があります。どちらも二乗和は9で、一次式の値は3です。二つあるので、条件から組を一つに決めることはできません。等号が崩れると、上界は「超えない」ことしか教えてくれないのです。

一般に、x+2y+2z=m と x²+y²+z²=9 の共有点は、|m| ≤ 9 のときに存在します。|m|=9 のときだけ共有点が一点になり、その座標は m/9 倍の (1,2,2) です。上界に触れるかどうかが、解の個数の違いとして現れます。

よくある誤り　比例を二組だけで済ませる

誤りとして多いのは、(a,b,c)=(1,2,4) と (x,y,z)=(1,2,8) を並べ、a/x=1、b/y=1 を確かめて「等号が成り立つ」と結論する答案です。二つの比がそろっているので、正しそうに見えます。

しかし三つ目を計算すると、bz-cy=2・8-4・2=16-8=8、cx-az=4・1-1・8=-4 となり、平方の和は 8²+(-4)²=64+16=80 です。差が0ではないので等号ではありません。実際、左辺の積は (1+4+16)(1+4+64)=21・69=1449、右辺は (1+4+32)²=37²=1369 で、差は80あります。不等式は成り立っていますが、等号ではないのです。

図3のように、確認する場所は三か所あります。二か所だけで合格にすると、残りの一か所がずれたときに等号の判定を誤ります。直し方は単純で、ay-bx、bz-cy、cx-az の三つを書き、それぞれが0になるかを調べます。三つとも0のときだけ等号です。

もう一つの誤りは、x=0 のときに a/x を書いてしまうことです。0で割る式は定義できないので、答案としてはそこで破綻します。ay=bx の形にしておけば、x が0でも ay=0 という条件として読めます。零成分を含む組を扱うときは、比の形を最初から使わないのが安全です。

二乗の評価から戻すとき、絶対値を落とす誤りもあります。(2x+3y+6z)² ≤ 49 から 2x+3y+6z ≤ 7 だけを書き、最小値の -7 を落とす答案です。二乗の不等式は |2x+3y+6z| ≤ 7 と読み、そこから両側の不等式に開きます。片側だけでは、値がどこまで下がるかを示せていません。

さらに、上界を出しただけで「最大値が求まった」と書く誤りもあります。上界はすべての組で成り立ちますが、その値を取る組があるかは別です。最大値と書く前に、等号の組を条件へ戻して値を計算します。この三つを順に点検すると、等号に関する誤りはほとんど消えます。

練習問題

1. 実数 x、y、z が x²+y²+z²=1 を満たすとき、3x+4z の最大値と最小値を求めよ。また、それぞれの値を取る (x,y,z) の組を求めよ。

2. 正の実数 a、b、c が a+b+c=1 を満たすとき、a²+b²+c² ≥ 1/3 を示せ。また、等号が成り立つ組を求めよ。

3. 実数 x、y、z が x²+y²+z²=14 を満たすとき、x+2y+3z の最大値を求めよ。

4. 実数 x、y、z が x²+y²+z²=3 を満たすとき、2x+2y+z の最大値を、根号を用いた形で求めよ。

5. 実数 x、y、z が x²+y²+z²=1 を満たすとき、xy+yz+zx の最大値を求めよ。

練習問題の解答

解答1　係数の組は (3,0,4) です。

(3x+4z)² ≤ (3²+0²+4²)(x²+y²+z²)
= 25

よって -5 ≤ 3x+4z ≤ 5 です。等号は (x,y,z)=k(3,0,4)、25k²=1、すなわち k=±1/5 のときです。最大値5は (3/5,0,4/5)、最小値-5は (-3/5,0,-4/5) で達成されます。確認すると、9/25+16/25=1 で条件を満たし、値は 9/5+16/5=25/5=5 になります。

解答2　(1,1,1) を係数の組として使います。

(a+b+c)² ≤ (1²+1²+1²)(a²+b²+c²)
1 ≤ 3(a²+b²+c²)
a²+b²+c² ≥ 1/3

等号の条件は a=b=c です。a+b+c=1 に代入すると 3a=1 で a=1/3 となり、(1/3,1/3,1/3) が等号の組です。この組は正なので、問題の条件を満たします。よって最小値 1/3 が達成され、不等式の証明と等号の確認がそろいます。

解答3　係数の二乗和は 1+4+9=14 です。

(x+2y+3z)² ≤ (1²+2²+3²)(x²+y²+z²)
= 14・14
= 196

よって x+2y+3z ≤ 14 です。等号は (x,y,z)=k(1,2,3)、14k²=14 から k=1 のときで、組は (1,2,3) です。このとき値は 1+4+9=14 となり、最大値14が達成されます。

解答4　係数の二乗和は 4+4+1=9 です。

(2x+2y+z)² ≤ (2²+2²+1²)(x²+y²+z²)
= 9・3
= 27

よって 2x+2y+z ≤ 3√3 です。等号は (x,y,z)=k(2,2,1)、9k²=3 から k=1/√3 のときで、組は (2/√3,2/√3,1/√3) です。値を確かめると (4+4+1)/√3=9/√3=3√3 で、二乗和は (4+4+1)/3=3 です。最大値は 3√3 です。

解答5　二組の数 (x,y,z) と (y,z,x) に不等式を当てます。

(xy+yz+zx)² ≤ (x²+y²+z²)(y²+z²+x²)
= 1・1
= 1

よって xy+yz+zx ≤ 1 です。等号は二組が比例するとき、すなわち (y,z,x)=k(x,y,z) のときです。両方の二乗和は1なので |k|=1 です。k=-1 とすると x=-y、y=-z、z=-x となり、三つを合わせると x=y=z=0 になって二乗和1に反します。したがって k=1 で、x=y=z です。x²+y²+z²=1 から x=±1/√3 となり、どちらの組でも xy+yz+zx=3・(1/3)=1 です。最大値は1です。

覚えておくこと

• (a²+b²+c²)(x²+y²+z²)-(ax+by+cz)² = (ay-bx)²+(bz-cy)²+(cx-az)²
• 二乗和が一定なら一次式の絶対値が押さえられ、最大と最小が対で出る
• 一次式が一定なら二乗和が下から押さえられる
• 等号は三つの差が同時に0のときで、比ではなく ay=bx の形で書く
• 上界を出したら、その値を取る組を条件に戻して確かめる

つまずきの見分け方

答案を見て、比の式が二組しか並んでいなければ、三つ目の差を書かせます。ay-bx と bz-cy は書けても cx-az を落とす人は、等号の判定を二成分の感覚のまま使っています。三つを横に並べ、それぞれ0になる組を代入させる作業を一度やると、抜けが自分で見えるようになります。

0で割る式が答案に現れたら、ay=bx の形へ書き直させます。x=0 を含む具体例を一つ入れて、比の式が使えない場面を経験させると定着します。上界だけで終わっている答案には、等号の組を条件へ戻して値を計算させ、その値が上界と一致するかを見せます。一致しなければ、その上界は最大値ではありません。

説明を確かめるときは、三つの差の意味を言葉にさせます。二組の数が同じ割合で並んでいれば三つの差はすべて0になり、一つでも割合がずれれば差が残る、と言えれば十分です。計算の手順だけでなく、なぜ三つとも見るのかを言えるかどうかが、条件の変わった問題への対応力を分けます。

最後に、求めた組が問題文の条件を満たすかを、式だけでなく文章でも説明させます。正の実数という条件なら三つの成分の符号を読み上げ、二乗和の条件なら値を計算し直す、という具合です。式の計算が合っていても、条件の読み違いで失点することがあります。等号の確認と条件の確認を、答案の最後に並べて書く習慣をつけます。

二つ目の比で手を止めず、三つ目の差まで書く。その一手間が、係数に0が混じる問題や、上界と条件が一致する問題でも同じ運びで通る答案を作ります。