大学入試数学 期待値と指示変数—数える対象ごとに小さな変数を置き総数の平均を求める｜武蔵野個別指導塾

当たりの個数を場合分けで書き並べる代わりに、1個ずつへ0か1を置いて足すと平均が見える。複雑な当たりの数ほど効く指示変数。

当たりの個数を全部書き並べる前に

よくあるのは、袋から何枚かを取り出し、その中の当たりの枚数の平均を問われて、0枚、1枚、2枚の場合の数を一列に書き出し、それぞれの確率を分数にして足し始めると、表の行が増えるほど数え間違いが怖くなり、手が止まるという場面です。当たりが3枚で、取り出すのが5枚になると、場合の数は組合せの計算に変わり、確率を並べるだけでも一苦労になります。

問われ方は大きく三つに分かれます。第一は、引いた中に含まれる当たりの枚数の平均です。第二は、並んだもののうち条件を満たす位置の数の平均です。第三は、続けて起こる比較が成り立つ回数の平均です。三つとも、求めたいものは「条件を満たす対象の個数」であり、対象は一つずつ判定できます。

個数を直接数える代わりに、対象ごとに「満たしたら1、満たさなければ0」を割り当てて足す。この小さな変数が指示変数です。総数の平均は、対象ごとの確率の和に変わります。分布表を完成させなくても平均に届く、というのがこの考え方の利点です。

用語と考え方

結果が有限個しかない試行を考えます。それぞれの結果に実数を対応させたものを確率変数といい、値 x₁, x₂, …, xₘ をとる確率が p₁, p₂, …, pₘ であるとき、期待値 E(X) を x₁p₁+x₂p₂+…+xₘpₘ で定めます。確率の総和は1で、各 p は0以上です。

事象Aが起きたときに1、起きないときに0をとる確率変数を、事象Aの指示変数といいます。事象Aの起こる確率を P(A) と書きます。指示変数 I の期待値は、1・P(A)+0・(1-P(A))=P(A) です。つまり、指示変数の平均は、その事象の起こる確率そのものです。

数えたい総数 X が X=I₁+I₂+…+Iₙ と書けるとき、期待値は次のように分けられます。

E(X)=Σ[k=1..n] E(Iₖ)
E(X)=P(A₁)+P(A₂)+…+P(Aₙ)

導き方は、期待値の定義に戻って和の順序を入れ替えるだけです。結果 ω の確率を p(ω) とすると、各結果について p(ω)(I₁(ω)+…+Iₙ(ω)) を足したものを、k ごとにまとめて足す順序に組み替えます。結果は有限個なので、足す順序を変えても値は変わりません。k ごとにまとめた内側の和は E(Iₖ)、すなわち P(Aₖ) です。

ここで大事なのは、I₁とI₂が独立である必要がないことです。和の期待値を分けるときに使うのは、各事象の確率を同じ試行の模型で数えた値だけであり、同時確率は使いません。独立でないと成り立たないのは、積の期待値を分ける E(XY)=E(X)E(Y) のほうです。積の期待値と分散はこの題材の範囲外なので、ここでは触れません。

使う前に確かめる条件は三つあります。結果が有限個であること。各結果の確率が0以上で、総和が1であること。そして、どの事象の確率も同じ試行の模型で数えていることです。抽選の方法を途中で変えたり、条件付きの割合と全体の割合を混ぜたりすると、和の意味が崩れます。

手順は四段階です。第一に、数えたい総数を決めます。第二に、その総数を対象ごとの0か1の変数に分けます。第三に、各変数が1になる確率を、同じ模型の上で数えます。第四に、確率を足し、結果が実現値の範囲に収まっているか確かめます。たとえば当たりの枚数なら、0以上で当たりの総数以下です。この四段階の流れを図1にまとめます。

図1のように、事象ごとの0か1を並べ、その確率を足すだけで総数の平均になります。大きな分布表を作る作業が、小さな確率の計算の集まりに変わるわけです。

基本例題　印の付いたカードの枚数（標準）

5枚のカードがあり、そのうち2枚に印が付いています。5枚から3枚を無作為に選ぶとき、選ばれた3枚に含まれる印付きカードの枚数 X の期待値を求めてください。答えは既約分数で答えます。

印の付いた2枚を、区別するために印1、印2と呼びます。それぞれに指示変数 I₁、I₂ を置くと、X=I₁+I₂ です。以下では C(n,k) を、n 個から順序を区別せずに k 個を選ぶ組合せの数とします。印1が選ばれる確率は、残り4枚から2枚を選ぶ場合の数を全体の場合の数で割って求めます。

P(印1が選ばれる)=C(4,2)/C(5,3)=6/10=3/5
P(印2が選ばれる)=C(4,2)/C(5,3)=3/5
E(X)=E(I₁)+E(I₂)=3/5+3/5=6/5

答えは 6/5 です。実現値は0枚から2枚までなので、6/5 はその範囲に収まっています。

分布表を作って確かめます。3枚のうち印付きが k 枚である場合の数は C(2,k)C(3,3-k) です。

P(X=0)=C(3,3)/C(5,3)=1/10
P(X=1)=C(2,1)C(3,2)/C(5,3)=6/10
P(X=2)=C(2,2)C(3,1)/C(5,3)=3/10
E=0・1/10+1・6/10+2・3/10=12/10=6/5

二つの指示変数は独立ではありません。両方の印が選ばれる確率は C(3,1)/C(5,3)=3/10 で、それぞれの確率の積 (3/5)・(3/5)=9/25 とは一致しません。それでも和の期待値は 6/5 です。独立でないことと、和の期待値を分けられることは、別の話だからです。

別解として、選ばれない2枚に注目する方法があります。印1が選ばれない確率は2/5なので、選ばれない印の枚数の期待値は 2・2/5=4/5 です。印は全部で2枚だから、選ばれる印の枚数の期待値は 2-4/5=6/5 になります。ここまでの数え方を図2に整理します。

図2のように、各印が選ばれる確率を3/5と数え、二つを足すと6/5です。場合の数が増えても、見る対象は2枚のままです。

標準例題　非復元で引くときの当たりの枚数（標準）

8本のくじがあり、そのうち3本が当たりです。8本から5本を続けて引き、引いたくじは戻しません。引いた5本に含まれる当たりの本数 X の期待値を求めてください。

戻さないので、2本目以降に当たる割合は、それまでに引いた結果で変わります。しかし、特定の1本に注目すると、そのくじが引かれる5本に含まれる確率は 5/8 です。当たりのくじは3本あるので、指示変数を3つ置きます。

P(当たりくじ1が引かれる)=5/8
P(当たりくじ2が引かれる)=5/8
P(当たりくじ3が引かれる)=5/8
E(X)=5/8+5/8+5/8=15/8

答えは 15/8 です。当たりは3本しかないので、実現値は0以上3以下であり、15/8 はその範囲にあります。

位置を固定して確かめます。2本目に引くくじが当たりである確率を、1本目の結果で場合分けして数えます。

P(2本目が当たり)=(3/8)(2/7)+(5/8)(3/7)
=6/56+15/56=21/56=3/8

1本目が当たりである確率も3/8です。位置を変えても当たりの割合が3/8でそろうのは、くじの並びが無作為だからです。各回の条件付きの割合が変わることと、位置を固定した確率が一定であることは、両立します。

分布表でも確かめます。5本のうち当たりが k 本である場合の数は C(3,k)C(5,5-k) です。

P(X=0)=C(3,0)C(5,5)/C(8,5)=1/56
P(X=1)=C(3,1)C(5,4)/C(8,5)=15/56
P(X=2)=C(3,2)C(5,3)/C(8,5)=30/56
P(X=3)=C(3,3)C(5,2)/C(8,5)=10/56
E=(0・1+1・15+2・30+3・10)/56=105/56=15/8

別解として、引かれない3本に注目します。当たりくじ1本が引かれない確率は3/8なので、引かれない当たりの本数の期待値は 3・3/8=9/8 です。当たりは全部で3本だから、引かれる当たりの本数の期待値は 3-9/8=15/8 になります。

この例題の盲点は、2本目に当たる割合が1本目の結果で変わるのに、なぜ一定の5/8で数えてよいのか、という点です。変わるのは、それまでの結果を与えた条件付きの割合です。条件を付けずに1本のくじが引かれるかを見ると、確率は5/8で一定です。指示変数に置くのは、後者の確率です。

標準例題　席替えで元の席に戻る人数（やや難）

6人が6つの席に無作為に座ります。人にも席にも1から6までの番号があり、最初は全員が自分の番号の席に座っていました。席替えのあと、元の席に戻る人数 X の期待値を求めてください。

特定の1人が元の席に座る確率は1/6です。6人それぞれに指示変数を置けば、期待値は6つの確率の和になります。

P(1番の人が1番の席に座る)=1/6
E(X)=6・1/6=1

答えは1人です。人数を6人から増やしても、1人あたりの確率が 1/n になるだけなので、期待値は n・(1/n)=1 のままです。人数が増えても平均は1人で、分布の広がりだけが変わります。

分布表で確かめます。6人の並びは全部で720通りあり、元の席に戻る人数ごとの場合の数は次のとおりです。

0人:265通り
1人:264通り
2人:135通り
3人:40通り
4人:15通り
5人:0通り
6人:1通り
E=(0・265+1・264+2・135+3・40+4・15+5・0+6・1)/720
=720/720=1

5人が元の席に戻ることはありません。5人が戻れば、残る1人が座れる席は自分の席だけだからです。表に0通りの行が現れるのは、この理由です。

表を見ると、最も多いのは0人の265通りで、平均の1人とは一致しません。平均は度数を人数で重み付けした値であり、最も起こりやすい人数とは別の量です。平均と最頻値、平均と上限は、それぞれ別の問いへの答えです。

発展例題　直前より大きい目が出た回数（難）

1から6までの目が等しい確率で出るさいころを3回投げます。2回目が1回目より大きく、3回目が2回目より大きい、という比較を考えます。成り立つ比較の回数 X の期待値を求めてください。X は0、1、2のいずれかです。

比較は2か所あり、それぞれに指示変数を置けます。2回目が1回目より大きくなる確率は、36通りの目の組のうち、後の目が前の目より大きい15通りを数えて 15/36=5/12 です。3回目と2回目の比較も同じ確率です。

P(2回目>1回目)=15/36=5/12
P(3回目>2回目)=15/36=5/12
E(X)=5/12+5/12=5/6

答えは 5/6 です。実現値は0以上2以下で、5/6 はその範囲にあります。

216通りの目をすべて書き出して確かめます。成り立つ比較が0回の組は56通り、1回は140通り、2回は20通りです。

E=(0・56+1・140+2・20)/216
=180/216=5/6

二つの比較は独立ではありません。両方が成り立つ確率は 20/216=5/54 で、それぞれの確率の積 (5/12)・(5/12)=25/144 とは一致しません。2回目の目が、1つ目の比較と2つ目の比較の両方に登場するからです。それでも和の期待値は分けられます。

別解として、比較の総和を直接数える方法があります。1つの比較について、前の目と後の目が15通り、残りの1回の目が6通りなので、成り立つ比較の延べ数は 15・6=90 です。比較は2か所あるので延べ数は180、これを216で割って 5/6 になります。比較の箇所が増えても、1か所あたりの確率5/12は変わりません。

誤答を直す

5枚のカードのうち2枚に印が付いています。この5枚から2枚を続けて引き、引いたカードは戻しません。印付きのカードの枚数 X の期待値を問う場面を考えます。ここで、次のような答案がよく出ます。

「1回目に印が出る確率は2/5、2回目も2/5です。しかし2回目は1回目の結果で確率が変わるので、二つの回は独立ではありません。独立でない確率変数の期待値は足せないので、この問題は分布表を作るしかありません。」

この答案は、和の期待値に独立が必要だと思い込んでいます。誤りの理由は、独立が必要なのが積の期待値の分解であり、和の期待値の分解には不要だという点を見落としていることです。直し方は、各回に印が出る確率を、場合分けで数え直すことです。

P(1回目が印)=2/5
P(2回目が印)=(2/5)(1/4)+(3/5)(2/4)
=2/20+6/20=8/20=2/5
E(X)=2/5+2/5=4/5

2回目に印が出る確率は、1回目が印だった場合とそうでない場合に分けて足すと2/5です。どちらの回も同じ確率なので、期待値はその和の4/5になります。

同時確率は、戻す場合と戻さない場合で変わります。戻す場合は各回が独立で、2回とも印の確率は (2/5)・(2/5)=4/25 です。戻さない場合は (2/5)・(1/4)=1/10 です。しかし、どちらの場合も期待値は 2・2/5=4/5 で同じです。この違いを図3に並べます。

図3のように、各回の確率が2/5で共通なら、同時確率が変わっても和の期待値は4/5のままです。独立かどうかで変わるのは同時確率であり、和の期待値ではありません。

分布表でも確かめます。戻さない場合、2枚のうち印が k 枚である場合の数は C(2,k)C(3,2-k) です。

P(X=0)=C(3,2)/C(5,2)=3/10
P(X=1)=C(2,1)C(3,1)/C(5,2)=6/10
P(X=2)=C(2,2)/C(5,2)=1/10
E=0・3/10+1・6/10+2・1/10=8/10=4/5

もう一つの誤りは、印が2枚あるから平均も2枚だと答える型です。平均は、実現値にその確率を掛けて足した値であり、対象の総数とは違います。上限の2枚と平均の4/5を混同しないようにしてください。

練習問題

次の5問を解いてください。答えは整数または約分した分数で示します。

1.（標準）赤4枚、白6枚の合計10枚のカードが袋に入っています。袋から同時に5枚を取り出すとき、赤のカードの枚数 X の期待値を求めてください。

2.（標準）12人の生徒のうち5人が希望者です。12人から4人を無作為に選ぶとき、選ばれた4人に含まれる希望者の人数 Y の期待値を求めてください。

3.（やや難）1から7までの番号が1つずつ書かれた7枚のカードを、でたらめに一列に並べます。左から2番目、4番目、6番目の位置のうち、偶数の番号のカードが置かれる位置の個数 Z の期待値を求めてください。

4.（やや難）1から10までの番号が1つずつ書かれた10冊の本を、でたらめに一列に並べます。左から i 番目の本の番号が i より大きい、という位置の個数 W の期待値を求めてください。

5.（難）出席番号1から12までの12人の生徒が、でたらめに一列に並びます。出席番号と、左からの並び位置の差の絶対値が1以下である生徒の人数 V の期待値を求めてください。

練習問題の答えと考え方

1. 赤のカード1枚に注目すると、同時に5枚を取り出す操作でそのカードが選ばれる確率は 5/10=1/2 です。赤は4枚あるので、期待値は 4・1/2=2 です。

E(X)=4・5/10=2

分布表でも、赤が k 枚である場合の数は C(4,k)C(6,5-k) となり、k=0から4まで順に6、60、120、60、6通りです。合計252通りで重み付きの和を取ると 504/252=2 になります。

2. 希望者の1人に注目すると、12人から4人を選ぶ操作でその人が選ばれる確率は 4/12=1/3 です。希望者は5人なので、期待値は 5・1/3=5/3 です。

E(Y)=5・4/12=5/3

分布表では、希望者が k 人である場合の数が k=0から4まで順に35、175、210、70、5通りで、合計495通りです。重み付きの和は 825 で、825/495=5/3 と一致します。

3. 偶数のカードは2、4、6の3枚です。左から2番目の位置に注目すると、そこに置かれるカードが偶数である確率は 3/7 です。4番目、6番目も同じ確率だから、期待値は 3・3/7=9/7 です。

E(Z)=3・3/7=9/7

7枚の並べ方5040通りを書き出して確かめると、条件を満たす位置が0個、1個、2個、3個の場合の数は順に576、2592、1728、144通りです。重み付きの和は6480で、6480/5040=9/7 になります。3か所の判定は同じ並びを共有するので独立ではありませんが、和の期待値は分けられます。

4. 左から i 番目の位置に注目します。そこに置かれる本の番号が i より大きいのは、i+1 から10までの 10-i 冊のいずれかが来る場合です。どの本も等しい確率で各位置に来るので、確率は (10-i)/10 です。i を1から10まで動かして足します。

E(W)=Σ[i=1..10] (10-i)/10
=(9+8+7+6+5+4+3+2+1+0)/10
=45/10=9/2

小さい場合で確かめます。5冊なら位置ごとの確率が 4/5、3/5、2/5、1/5、0 で、和は2です。5冊の並べ方120通りを書き出しても平均は2になり、位置ごとの確率の和と一致します。

5. 両端では、条件を満たす番号の個数が中ほどより少なくなります。左から1番目の位置では、差の絶対値が1以下になる出席番号は1と2の2人分です。12番目の位置では、11と12の2人分です。2番目から11番目までの10か所では、前後と自分の3人分が条件を満たします。

1番目:2/12
2番目から11番目:3/12ずつ
12番目:2/12
E(V)=2/12+10・3/12+2/12
=34/12=17/6

小さい場合で確かめます。4人なら両端が2人分、中ほど2か所が3人分で、(2+3+3+2)/4=5/2 です。4人の並べ方24通りを書き出しても平均は5/2になります。端の位置を中ほどと同じ3人分で数えると、34ではなく36となり、17/6ではなく3になってしまいます。

覚えておくこと

• 数えたい総数は、対象ごとの0か1の変数の和に分ける。
• 指示変数の期待値は、その事象の起こる確率に等しい。
• 和の期待値は各期待値の和であり、独立である必要はない。
• 各事象の確率は、同じ試行の模型の上で数える。
• 端の対象は、許される場合の数が中ほどと違うことがある。

つまずきの見分け方と確かめる箇所

分布表を埋めようとして途中で止まる場合は、まず何を数えたい総数なのかを一文で書きます。その総数が、対象ごとの0か1に分けられるかを見るだけで、計算の見通しが立ちます。分けられないように見えるときは、対象の区切り方が粗すぎるか、複数の性質を一度に数えようとしています。

独立でないから足せない、と止まる場合は、和の期待値の導出に戻ります。定義の式で和の順序を入れ替えるところに、独立の条件が一度も出てこないことを確かめてください。同時確率を掛けている式があれば、それは積の期待値の計算であり、和の期待値とは別の式です。

端点を同じ確率で扱ってしまう場合は、端の対象が条件を満たす場合の数を、中ほどの対象と別に書き出します。並びの位置や、抽出の順番が端にあるときは、前後があるかどうかで場合の数が変わります。

平均と最頻値、あるいは平均と上限を混同している場合は、実現値の範囲と、度数が最も大きい値の両方を並べて書きます。平均が範囲の外に出たら計算の誤りです。範囲の中にあっても、最も起こりやすい値と同じとは限りません。

個別指導の場では、次の三つを口に出して説明してもらうと、どこで止まっているかが見えます。どの事象に0か1を置いたかを指で示せるか。その事象の確率を、どの試行の模型で数えたかを説明できるか。足した確率の個数が、対象の総数と一致しているか。この三つがそろえば、分布表を作らずに平均へ進めます。

複雑な平均を開く鍵は、大きな表を埋める根気ではなく、数えたい対象を小分けにする視点にあります。