大学入試数学 連続する平方数の間隔—二つの平方で挟んで整数値の可能性を絞る｜武蔵野個別指導塾

二次式を隣り合う平方で挟み、等号と小さい値を調べる手順から、解の漏れを防ぐ平方数の間隔を追います。

よくあるのは、高校生が演習の解き直しで不等号の端の等号を落とす場面です。二次式が2つの平方の間にあると気づいても、端の平方に一致する値まで捨てれば、答えを失います。逆に、何個か試して平方が見つからなかっただけでは、先に現れるかもしれない解を否定できません。間隔がいつ開くかを式で調べ、境界と小さい値を別に戻して調べます。

どの条件を先に見るか

整数 n に対する二次式が平方数になる問題では、まず n の範囲と、平方する整数の符号を読みます。平方数とは整数の平方であり、0 も含みます。自然数は 1 以上の整数とします。平方する整数は符号を反転しても平方が変わらないので、平方根に当たる整数を非負に選べます。

典型的には、式が n² に近い場合、n² と (n + 1)² の差を調べます。また、n² + 2n に近いなら (n + 1)² と (n + 2)² を比較します。いずれも、端の平方との差が正か零か負かによって結論が変わります。ある範囲では厳密に間に入り、残りの有限個では一致する場合があります。

もう一つの型は、平方数になる n を求める問題です。大きい n で平方にならないと示した後、小さい n を全部確かめます。候補を試す段階は証明の一部ですが、試す範囲を先に証明することが必要です。上限を予想だけで置けば、その外側に解が残る可能性を消せません。

隣の平方を使う理由

非負整数 k について、隣り合う平方の差は次の通りです。

(k + 1)² - k² = 2k + 1

この間隔は k とともに大きくなります。整数 m の平方が k² より大きく、(k + 1)² より小さいと仮定すると、m を非負に選んだ場合、m > k かつ m < k + 1 です。ところが、その間に整数はありません。したがって、2つの平方の間に厳密に入る整数は平方数ではありません。

この議論で k が非負である点は欠かせません。負の数については、数の大小と平方の大小がそのまま対応しないからです。また、端に一致する数はこの排除の対象ではありません。図1のように、厳密な間、左右の端、外側を分けて判断します。

図1の端はどちらも平方数です。間の候補は平方数ではありませんが、外側の候補はこの図だけでは判断できません。上下の比較式を作った後、それぞれに等号が含まれるかを確かめると、端の扱いを答案に残せます。

例えば n² + c を n² と (n + 1)² で挟むには、c > 0 に加え c < 2n + 1 が必要です。c = 2n + 1 なら上端そのもので、平方を排除できません。c が負の場合は下端より小さくなるため、この挟み方自体を見直します。差を計算して条件を明示すれば、直感で「十分大きい」と言うより境目が明確です。

基本例題：上端に届く値を残す

【標準】自然数 n について、n² + 9 が平方数となる n をすべて求め、整数で答えてください。

n ≥ 1 なので n² と (n + 1)² は連続する非負整数の平方です。それぞれとの差を計算します。

(n² + 9) - n² = 9 > 0
(n + 1)² - (n² + 9) = 2n - 8

n ≥ 5 なら 2n − 8 > 0 です。この範囲では n² + 9 は連続する平方の間に厳密に入るため、平方数ではありません。残りの n は 1 から 4 までです。図2のように上端との差が 0 になる n = 4 は、間の値として捨てずに調べます。

小さい値を元の式に代入します。

n = 1：1² + 9 = 10
n = 2：2² + 9 = 13
n = 3：3² + 9 = 18
n = 4：4² + 9 = 25 = 5²

10 は 3² と 4² の間、13 は 3² と 4² の間、18 は 4² と 5² の間です。いずれも平方数ではありません。25 は平方数ですから、答えは n = 4 です。実際に元の条件へ戻すと 4² + 9 = 5² となります。n ≥ 5 の排除と 1 から 4 の確認で、自然数の範囲を尽くしました。

境界を先に式で解く方法もあります。2n − 8 = 0 から n = 4 とわかりますが、それより小さい n がすべて不適とは限りません。端の方程式だけを解いて終了する方法では、小さい範囲の解を取りこぼします。

二次式の中心をずらす

【やや難】非負整数 n について、n² + 4n + 7 が平方数となる n をすべて求め、整数で答えてください。

最初の2項を見て平方を作ると、n² よりも (n + 2)² が比較しやすくなります。n は非負なので n + 2 も非負です。

n² + 4n + 7 = (n + 2)² + 3
(n + 3)² - (n² + 4n + 7) = 2n + 2

2n + 2 は n ≥ 0 で正です。また対象の式は (n + 2)² より 3 だけ大きいので、常に次の厳密な不等式が成り立ちます。

(n + 2)² < n² + 4n + 7 < (n + 3)²

2つの端は連続する非負整数の平方です。よって条件を満たす n はありません。n = 0 でも 4 < 7 < 9 と元の式で確認でき、範囲の端も含まれます。解がないときも、どの範囲を排除したかを示せば、単に候補を見つけられなかった場合と区別できます。

別の見方として、平方を m² と置き、m² − (n + 2)² = 3 を因数分解できます。ただし因子の符号や、和と差の偶奇を追う必要があります。この問題では差が常に隣の平方まで届かないため、挟み込みが短く済みます。反対に、比較する平方が連続していない場合には、その間に別の平方があり得るので、同じ結論は出せません。

小さい値を先に分ける発展問題

【難】自然数 n について、n² + 6n + 20 が平方数となる n をすべて求め、整数で答えてください。

平方完成し、端との差の符号を調べます。

n² + 6n + 20 = (n + 3)² + 11
(n + 4)² - (n² + 6n + 20) = 2n - 4

n ≥ 3 では 2n − 4 > 0 です。n + 3 は非負なので、この範囲で対象の値は連続する平方の間にあります。したがって平方数ではありません。残る自然数 n = 1, 2 を元の式へ代入します。

n = 1：1² + 6・1 + 20 = 27
n = 2：2² + 6・2 + 20 = 36 = 6²

27 は 5² と 6² の間なので平方数ではありません。36 は平方数です。答えは n = 2 です。元の条件に戻すと 2² + 6・2 + 20 = 6² であり、確かに条件を満たします。

上端との差が 0 となる n = 2 は解です。ここで n ≥ 2 に対して厳密な不等式を書けば、まさに必要な値を消します。一方、n = 1 では対象の値が (n + 4)² より大きくなり、この2つによる挟み込みが成立しません。挟めないことから平方だと結論することもできず、別途調べます。

平方完成の定数が負であれば、作った平方を上端にして、その1つ前の平方との比較を試せます。ただし、前の底が負になる小さい範囲では、平方の並びが非負整数の順序と対応するかを再確認します。文字の係数だけを見て機械的に前後を選ばないことが大切です。

誤答をどこで直すか

基本例題で「2n − 8 ≥ 0 だから n² < n² + 9 < (n + 1)²」とするのは誤りです。左側は厳密ですが、右側は等号を含みます。n = 4 では右側の差が 0 なので、図3のように値は上端にあります。

図3のように、差が正の範囲と零の範囲を分ければ、誤りを修正できます。差が負の範囲も忘れず、元の式を計算します。等号を残した不等式から言えるのは「端または間」というところまでです。間なら排除できますが、端は平方なので候補として残ります。

別の失敗は、n = 1 から数個を調べて平方が現れなければ、以後も現れないと考えることです。数値の確認は予想には役立ちますが、無限に続く自然数を尽くしません。差の符号によって残り全体を排除し、有限の残りを調べる順番に直します。また、候補を得ただけで終わらず、元の式が実際に整数の平方になるかを代入します。

練習：境界を自分で仕分ける

次の各問では、条件を満たすすべての n を整数で答えてください。自然数は 1 以上、非負整数は 0 以上です。

1. 【標準】自然数 n について、n² + 7 が平方数となる n を求めてください。
2. 【標準】非負整数 n について、n² + 2n + 3 が平方数となる n を求めてください。
3. 【やや難】自然数 n について、n² + 4n + 13 が平方数となる n を求めてください。
4. 【やや難】非負整数 n について、n² + 10n + 34 が平方数となる n を求めてください。
5. 【難】自然数 n について、n² + 8n + 31 が平方数となる n を求めてください。

練習の答えと考え方

1. 答えは n = 3 です。上端との差は次の通りです。

(n + 1)² - (n² + 7) = 2n - 6

n ≥ 4 では厳密に挟まれます。残る n = 1, 2, 3 では元の値がそれぞれ 8, 11, 16 です。8 は 2² と 3²、11 は 3² と 4² の間、16 = 4² です。3² + 7 = 4² と元の条件も満たします。

2. 平方完成すると次のようになります。

n² + 2n + 3 = (n + 1)² + 2
(n + 2)² - (n² + 2n + 3) = 2n + 1

右端との差は n ≥ 0 で正なので、実は全範囲で厳密に挟まれます。したがって答えは解なしです。n = 0 の元の値は 3 で平方数ではありません。

3. 答えは n = 2 です。次の差を使います。

n² + 4n + 13 = (n + 2)² + 9
(n + 3)² - (n² + 4n + 13) = 2n - 4

n ≥ 3 は挟まれます。n = 1 の値 18 は 4² と 5² の間、n = 2 の値 25 は 5² です。2² + 4・2 + 13 = 25 と元の条件を確認できます。

4. 答えは解なしです。次の変形から、非負整数 n の範囲で連続する平方に挟まれます。

n² + 10n + 34 = (n + 5)² + 9
(n + 6)² - (n² + 10n + 34) = 2n + 2 > 0

下端との差は 9 で正です。n = 0 も 25 < 34 < 36 ですから除外されます。端を含む全範囲で根拠が有効です。

5. 答えは n = 3 です。平方完成と比較は次の通りです。

n² + 8n + 31 = (n + 4)² + 15
(n + 5)² - (n² + 8n + 31) = 2n - 6

n ≥ 4 では厳密に挟まれます。残る n = 1, 2, 3 の元の値は 40, 51, 64 です。40 は 6² と 7²、51 は 7² と 8² の間にあり、64 = 8² です。3² + 8・3 + 31 = 64 と確かめます。

挟み込みが使えるか判断する際には、まず比較する2つの数が本当に隣り合う整数かを確認します。例えば底が k と k + 2 の平方を選ぶと、その間には (k + 1)² があります。この中間の平方に対象が一致する可能性を調べないまま、平方ではないと結論してはいけません。端の差が正であっても、端の選び方が連続していることは別の条件です。

値が負の場合にも注意が必要です。整数の平方は 0 以上なので、対象の式が負とわかれば平方数ではありません。ただし、値が 0 なら 0² として条件を満たします。平方根を非負に選ぶ操作は、元の整数 n まで非負と仮定することではありません。n が負も取り得る問題では、与えられた範囲を保ち、平方完成した底の符号によって場合を分けます。

答えの形も論証の終点を決めます。平方となる n を求める問いなら n の一覧が答えで、平方根の候補を列挙するだけでは不十分です。反対に、平方する整数も求める問いなら、正の平方根に加えて負の平方根も戻します。平方が 0 の場合は符号を変えても同じ 0 なので、重複して数えません。小さな確認ですが、解の個数を問われた場合には結果が変わります。

候補を調べるとき、ある値が平方でない理由は、近くの2つの平方を示せば整数の範囲だけで説明できます。小数の平方根を計算し、その表示が整数に見えないと判断する必要はありません。例えば 20 は 4² と 5² の間です。この比較は正確な整数演算であり、丸めによる誤判定も避けられます。対象が大きくなる場合も、適切な底を見つける方針は同じです。

手元に残す要点

• 非負整数の連続する平方を選び、両端との差を計算します。
• 差がともに正の範囲では、間に平方数はありません。
• 差が 0 の境界と、比較が成立しない小さい値を分けます。
• 有限の候補を元の式に代入し、平方かどうかを確かめます。

解き直しで確認する一行

式を見ても比較する平方が決まらないときは、まず二次式を平方完成し、余った定数と次の平方までの差を書き出します。個別指導で確かめるなら、どの n から差が正になるかを本人の言葉で説明し、その直前の値を元の式へ戻せるかを見ると、端の見落としを特定できます。平方の間隔を使う証明は、境界の確認まで書いて完成します。