大学入試数学 二次方程式の整数根—判別式の平方条件と根の整除条件を両方調べる｜武蔵野個別指導塾

判別式が平方でも根が整数とは限りません。文字係数を決める例で分子の整除まで追い、候補を原式へ戻す筋道を示す整数根判定。

よくあるのは、高校生が演習の解き直しで、二次方程式の判別式が平方数になったところで整数根があると決めてしまう場面です。解の公式の根号が外れても、分母による割り算が終わっているとは限りません。文字係数を決める問題では、平方の条件から出た候補にもう一段の検査を加え、最後に元の方程式へ戻す必要があります。

最初にどの整数条件を見るか

整数係数の二次方程式で、係数に整数の文字が含まれる問題を考えます。求めるものは文字の値であり、根そのものを求める問題とは答えの形が違います。「少なくとも1つの整数根」と「2つの根がともに整数」も区別します。重解は2つの根が一致する場合として扱います。

出方には、文字の範囲が決まっていて各値を調べる型、判別式を平方と置いて因数分解する型、根を整数と置いて係数との関係を利用する型があります。どれでも、二次の係数が0でないことを先に確認します。係数が文字で、0になる値を許すなら、その値では一次方程式などとして別に調べなければなりません。

判別式が負なら実数根がなく、整数根もありません。判別式が0以上の平方数なら根は有理数ですが、整数になるにはさらに条件があります。候補を見つける段階と、その候補が実際に設問を満たすと示す段階を分けると、解の取りこぼしや余分な候補を防げます。

平方と整除はどうつながるか

整数 a、b、c に対して a ≠ 0 とし、方程式 ax² + bx + c = 0 を考えます。判別式を D = b² − 4ac とすると、解は (-b ± √D)/(2a) です。整数根 r があれば、平方完成から次が成り立ちます。

4a(ar² + br + c) = 0
(2ar + b)² = b² - 4ac
D = (2ar + b)²

よって D は非負の整数の平方です。逆向きには、D = k² を満たす非負整数 k があるだけでは足りません。根の公式の分子 -b + k または -b − k が 2a で割り切れることが必要です。割り切れる分子に対応する根は整数なので、これは少なくとも1つの整数根について十分でもあります。

図1のように、平方の有無と分子の整除を順に調べます。2つの根がともに整数なら、2つの分子をそれぞれ確認します。k = 0 のときは分子が同じになり、重解について1回の確認で足ります。

図1の平方でない枝は、整数根を持つための必要条件を満たさないため終了します。平方の枝に残った値はまだ候補です。例えば 3x² − 2x − 1 = 0 の判別式は 16 で、根は 1 と -1/3 です。平方という情報だけでは両方が整数とは言えません。2a が負の場合も、整数倍という意味で割り切れるかを調べれば同じです。

候補の作り方にも注意します。k² = D と置くときは k を非負整数に限定でき、根号の符号は公式の ± が担います。これで k と -k を重複して数えずに済みます。一方、因数分解で負の因子が現れる場合、因子の組を正のものだけに限定する根拠は別に必要です。偶奇や積の符号を調べてから列挙します。

整数根の個数を判別式の符号だけで数えることもできません。正の判別式は異なる2つの実数根を与えますが、そのうち何個が整数かは分子の整除に依存します。判別式が0なら実数根は重なり、整数として数える値は高々1つです。設問が重解をどう数えるかは、根の値と重なりを明記すれば伝わります。

また、候補を原式に代入して0になったことは、その候補が解である証拠です。しかし、それだけでは別の候補がないとは示せません。範囲内の値をすべて表にするか、解が満たす約数条件から組を尽くす必要があります。逆に、必要条件で候補を絞っただけでも、残った値が実際に解を生むとは限りません。

基本例題：限られた係数を調べる

【標準】整数 n は 0 ≦ n ≦ 5 を満たします。方程式 2x² − 5x + n = 0 が少なくとも1つの整数根を持つような n をすべて求めてください。答えは n の値の集合で示します。

判別式は D = 25 − 8n です。n が範囲内の整数なので、図2のように6つの値を調べられます。平方数に0を含めますが、負の数は平方数ではありません。

n             0    1    2    3     4     5
D            25   17    9    1    -7   -15

平方となるのは n = 0、2、3 です。根の公式の分母は 4 なので、それぞれ分子が4で割り切れるかを確認します。

n = 0: x = (5 ± 5)/4 = 0, 5/2
n = 2: x = (5 ± 3)/4 = 2, 1/2
n = 3: x = (5 ± 1)/4 = 3/2, 1

いずれも少なくとも1つの整数根を持つので、答えは {0, 2, 3} です。図2で残した整数根 0、2、1 を原式に戻すと、それぞれ 0、8 − 10 + 2、2 − 5 + 3 となり、すべて0です。残る3値は判別式の必要条件で除かれているため、これで全候補を尽くしました。

別の方法として整数根を r と置けば n = 5r − 2r² です。ただし r が無限に動くままでは、求める n を列挙できません。0 ≦ n ≦ 5 を使って r の範囲も証明する必要があります。この問題では n が最初から6通りなので、判別式の表が短く確実です。

範囲のない文字をどう有限個にするか

【やや難】整数 m について、方程式 2x² − (m + 1)x + 3 = 0 の2つの根がともに整数となるような m をすべて求めてください。答えは m の値の集合で示します。

2つの根を整数 r、s とすると、係数と根の関係から次を得ます。

r + s = (m + 1)/2
rs = 3/2

ところが整数 r、s の積は整数であり、3/2 にはなりません。したがって条件を満たす m は存在せず、答えは空集合です。これは候補を探す前に、定数項と最高次の係数の比を見る方法です。実際、二次係数が2のまま定数項が奇数なら、整数根2つの積が整数にならないため同じ障害が生じます。

判別式から見ると D = (m + 1)² − 24 です。これが平方であっても、2つの分子がともに4で割り切れることはありません。もし両方が割り切れたなら2つの根は整数となり、その積が 3/2 になるからです。判別式だけを計算し続けるより、必要な積を先に見ると矛盾を短く示せます。

ただし、この議論は「2つとも整数」の場合です。片方だけ整数でよい条件では、もう片方が分数でも構いません。実際 m = 3 とすると式は 2x² − 4x + 3 = 0 ですが、これは実数根すら持ちません。別の m で片方が整数となる可能性まで、この積の議論で排除してはいけません。

【難】整数 t について、方程式 x² − tx + 12 = 0 の2つの根がともに整数となるような t をすべて求めてください。答えは t の値の集合で示します。

整数根を r、s とすると、積と和は次の通りです。

rs = 12
r + s = t

積が正なので、r と s はともに正か、ともに負です。正の組を順序を区別せずに並べると (1, 12)、(2, 6)、(3, 4) です。これは小さい方を r とすると r² ≦ 12 であり、正の約数のうち r ≦ 3 を調べれば尽くせるためです。両方を負にした組も加え、和を取ります。

1 + 12 = 13
2 + 6 = 8
3 + 4 = 7
(-1) + (-12) = -13
(-2) + (-6) = -8
(-3) + (-4) = -7

必要な候補は {-13, -8, -7, 7, 8, 13} です。逆に、各組について積は12、和は上の t なので、原式は (x − r)(x − s) = 0 と書けます。したがって各候補で整数根が2つ存在し、上の集合が答えです。和を求めた後にも、積と和を元の式に戻して十分性を示しています。

判別式を使う別解では D = t² − 48 = k² と置きます。すると (t − k)(t + k) = 48 です。2因子の積が固定されるため、正負を含む有限個の因子の組を調べられます。ただし t − k と t + k の偶奇が一致し、k ≧ 0 であることも必要です。さらに根 (t ± k)/2 の整除を確かめます。この問題は先頭係数が1なので、整数根の積が12とすぐ決まり、根の組から出発する方が短く済みます。先頭係数が1でない問題に同じ積の列挙をそのまま使うことはできません。

平方と判定した後に何を直すか

次の答案を考えます。「2x² − 3x − 2 = 0 は D = 25 だから、2つの根は整数である」。D の計算は正しいものの、結論への橋渡しが抜けています。解の公式に戻すと、分母は4です。

x = (3 ± 5)/4
x = 2, -1/2

図3のように、分子 8 は4で割り切れますが、-2 は割り切れません。整数根は 2 のみです。実際に代入すると 2・2² − 3・2 − 2 = 0 で、もう一方の -1/2 は整数という条件を満たしません。誤りの原因は、根号が整数になることと、分数全体が整数になることの混同です。

図3の修正は「平方だから正しい」と「平方でも必ず誤り」のどちらでもありません。平方なら分子を計算し、求める根の個数に応じて片方または両方の整除を判断します。判別式が平方でなければ、整数根はないとそこで結論できます。D が0のときも、重解 -b/(2a) が整数とは限らないので割り算を省けません。

手を動かして確かめる5問

いずれも文字は整数とします。方程式が条件を満たす文字の値をすべて求め、集合で答えてください。解なしの場合は空集合と書きます。

1. 【標準】0 ≦ n ≦ 4 のとき、3x² − 7x + n = 0 が少なくとも1つの整数根を持つ n を求めてください。
2. 【標準】x² − px + 15 = 0 の2つの根がともに整数となる p を求めてください。
3. 【やや難】2x² − qx + 5 = 0 の2つの根がともに整数となる q を求めてください。
4. 【やや難】0 ≦ u ≦ 5 のとき、2x² − 6x + u = 0 の2つの根がともに整数となる u を求めてください。
5. 【難】x² − vx − 8 = 0 の2つの根がともに整数となる v を求めてください。

5問の答えと戻し方

1の解答

判別式は 49 − 12n です。指定範囲で順に 49、37、25、13、1 となります。平方となる n は 0、2、4 です。

n = 0: x = (7 ± 7)/6 = 0, 7/3
n = 2: x = (7 ± 5)/6 = 2, 1/3
n = 4: x = (7 ± 1)/6 = 4/3, 1

答えは {0, 2, 4} です。整数根をそれぞれ原式に入れると、0、12 − 14 + 2、3 − 7 + 4 はいずれも0です。平方でない2値は整数根を持てません。

2の解答

整数根の積は15、和は p です。正の組は (1, 15)、(3, 5)、負の組はそれぞれ両方の符号を変えたものです。和を取ると答えは {-16, -8, 8, 16} です。各組の和と積を展開に戻せば、指定された係数と定数項15が再現されます。

3の解答

2つの整数根の積は 5/2 となるはずですが、整数の積は整数です。したがって答えは空集合です。判別式が平方になる q があるとしても、2根の両方が整数になることはありません。

4の解答

整数根を r、s とすれば、和は3、積は u/2 です。0 ≦ u ≦ 5 より 0 ≦ rs ≦ 5/2 です。和が正で積が非負なので、2つはともに非負整数です。和が3となる順序を除いた組は (0, 3)、(1, 2) です。

(r, s) = (0, 3): u = 2rs = 0
(r, s) = (1, 2): u = 2rs = 4

答えは {0, 4} です。実際にそれぞれ 2x(x − 3) = 0、2(x − 1)(x − 2) = 0 となり、元の式と範囲を満たします。積が負の組や和が3でない組は条件を満たしません。

5の解答

整数根の積は -8、和は v です。正の根と負の根の絶対値の組を順に (1, 8)、(2, 4)、(4, 2)、(8, 1) とすると、和は -7、-2、2、7 です。答えは {-7, -2, 2, 7} です。各組の積は -8 で、和を係数に戻すと元の式が得られます。正の約数をすべて調べているため、ほかの組はありません。

答案の前に残す印

• 二次の係数が0でないか確かめます。
• 整数根があれば判別式は非負の平方です。
• 平方の候補は、必要な数の分子が 2a で割り切れるか調べます。
• 候補を元の式と文字の範囲へ戻します。
• 根の和と積が先に候補を絞る場合もあります。

どこで止まったかを見分ける

判別式の計算で止まったなら、まず平方完成の式と符号を見直します。平方を見つけた後に答えを急いだなら、解の公式の分母に印を付け、各分子を実際に割ってみます。個別指導の場では、求めるのが1つの整数根か2つとも整数かを言葉で確認し、候補を原式へ代入する1行までたどると、必要条件と十分性のどちらが抜けたかを確かめられます。整数根の判定は、根号を外した後の割り算まで続きます。