中学受験の算数 ニュートン算の増加量—二通りの終了日から毎日増える量を求める｜武蔵野個別指導塾

二通りの処理日数を比べ、途中で補給された品物も含めて毎日の増加量を求める道筋からニュートン算の増加量を読み解きます。

よくあるのは、倉庫の品物を毎日運び出す問題で、小学生が最初にあった品物しか減らないと考える場面です。作業中にも品物が補給されるなら、運び出した合計は最初の在庫より大きくなります。二通りの日数を比べると、その違いから毎日の補給量が見えてきます。

どの量を求める問題か

一つ目の型は、毎日一定数を処理する方法が二通りあり、それぞれ何日で在庫がなくなるかが示されるものです。同じ初期在庫から始め、補給の速さも同じとします。処理した合計の差から、日数の差の間に入った品物を求めます。

二つ目の型は、処理する人の数と、1人が1日に扱う個数が示されるものです。先に人数を1日あたりの処理個数に直せば、同じ考え方が使えます。求めるものが補給量なのか初期在庫なのかにも印をつけます。途中で補給量を求めても、初期在庫を聞かれていれば、さらに戻る必要があります。

三つ目は、二つの方法のうち一方が途中までに処理した量を問うものです。終了時の合計と途中の合計を区別し、途中で残っている品物も考えます。どの場合も品物は同じ種類として数え、1日あたりの処理量と補給量は変わらないとします。

在庫の増減を一本につなぐ

ここでいう初期在庫は、作業開始の時点にある品物の数です。補給量は、作業を始めてから1日あたりに入ってくる数です。処理量は、1日あたりに運び出す数です。補給と処理はそれぞれ一定の割合で進み、終了までの端数の日にもその割合で進むと考えます。終了時には在庫がちょうど0になります。

図1のように、終了までに処理した品物を、最初にあった分と、その時間に入った分に分けます。横の長さは数量の比を表す模式図で、初期在庫と補給の比は問題ごとに変わります。二通りとも開始時の在庫は同じなので、長い期間の処理合計と短い期間の処理合計の差には、長い期間に余分に入った補給が対応します。

図1では、同じ色の初期在庫をそろえてあります。長い期間の処理合計から短い期間の処理合計を引くと、初期在庫が消え、補給の期間の差にあたる分が残ります。たとえば日数の差が3日なら、その差は補給3日分です。差を3で割れば1日分になります。

処理合計を求めるときは、1日あたりの処理量に日数をかけます。処理合計から補給合計を引くと初期在庫です。二つの方法でそれぞれ初期在庫を出し、同じ数になるか比べると、差のとり方や単位の誤りを見つけられます。

時間の差と処理量の差は、違う種類の量です。時間の差は日、処理合計の差は個で表し、個を日で割って初めて1日あたりの個数になります。1日あたりの処理量から補給量を引くと、初期在庫が1日あたり何個ずつ減るかも調べられます。終了する設定なら、この減りは正です。

補給の時刻が毎日決まった瞬間である場合には、開始時や終了時に何回届くかが別途必要です。ここでは時間に比例して補給と処理が進むと定めているので、半日にはそれぞれ1日分の半分が対応します。この条件を先に読み取ると、途中の時間でも同じ考えを使えます。

基本例題：二つの合計を比べる

倉庫に同じ数の部品があり、開始後は毎日同じ数が一定の割合で補給されます。毎日18個を一定の割合で運び出すと6日で、毎日24個を同じように運び出すと4日で、ちょうど在庫がなくなります。毎日の補給は何個か、初期在庫は何個か、それぞれ整数で求めてください。

図2のように、先に二通りの処理合計を出します。6日の方法は18個を6日間、4日の方法は24個を4日間扱います。どちらの合計にも同じ初期在庫が含まれます。

6日の処理合計は、18 × 6 = 108個です。4日の処理合計は、24 × 4 = 96個です。差は108 − 96 = 12個、日数の差は6 − 4 = 2日です。

図2の差の12個は、余分な2日間の補給です。したがって、1日の補給は12 ÷ 2 = 6個です。6日間の補給は6 × 6 = 36個なので、初期在庫は108 − 36 = 72個です。

答えは補給が1日6個、初期在庫が72個です。4日側でも補給は6 × 4 = 24個、初期在庫は96 − 24 = 72個です。場面に戻すと、6日側では72 + 36 = 108個を運び出し、4日側では72 + 24 = 96個を運び出します。途中の在庫も1日あたりそれぞれ12個、18個ずつ減り、終了前は正です。

日数の長い方法が処理した合計は、1日あたりの処理量が少なくても大きくなります。余分な期間に入る補給も運び出すためです。1日あたりの18個と24個の差をそのまま補給量にするのではなく、同じ単位の「終了までの合計」を比べます。

標準例題：人数を処理個数に直す

同じ初期在庫のカードを、1人が1日あたり3枚ずつ一定の割合で整理します。作業開始後は毎日同じ数のカードが一定の割合で追加されます。5人なら8日、7人なら5日でちょうど整理を終えます。毎日の追加枚数と初期在庫を整数で求めてください。

5人の1日あたりの処理は3 × 5 = 15枚、8日間では15 × 8 = 120枚です。7人の1日あたりは3 × 7 = 21枚、5日間では21 × 5 = 105枚です。合計の差15枚は、8 − 5 = 3日分の追加にあたります。

追加は15 ÷ 3 = 5枚です。初期在庫は120 − 5 × 8 = 80枚です。もう一方でも105 − 5 × 5 = 80枚になります。答えは1日5枚、初期80枚です。

元の条件では、8日間に80 + 5 × 8 = 120枚、5日間に80 + 5 × 5 = 105枚が扱われます。1日あたりの在庫の減りはそれぞれ10枚、16枚なので、最後まで在庫は途中で尽きません。人数の差2人は1日あたり6枚の処理差を表しますが、それ自体は追加枚数ではありません。

発展例題：分数の日数を使う

同じ初期在庫の封筒を一定の割合で分類し、開始後は1日あたり一定数が同じ割合で届きます。1日28枚の方法では5日、1日36枚の方法では3と1/2日でちょうど終わります。1日あたりの補給枚数と初期在庫を整数で求めてください。

5日の処理合計は28 × 5 = 140枚です。3と1/2日の処理合計は36 × 7/2 = 126枚です。日数の差は5 − 7/2 = 3/2日、処理合計の差は140 − 126 = 14枚です。よって補給は14 ÷ 3/2 = 28/3枚となります。

ここで条件と答えの形が分かれます。補給を整数で求める指定と28/3枚は両立しないため、この問題には指定された整数の答えがありません。初期在庫も140 − 28/3 × 5 = 280/3枚です。計算を丸めて整数にしてしまうと、二つの終了条件を同時に満たせません。

表で戻すと、5日側は280/3 + 140/3 = 140枚、3と1/2日側は280/3 + 98/3 = 126枚です。数量を連続的に扱う計算としては条件を満たしますが、開始時の封筒数が整数という実物の条件とは合いません。問題の設定に不整合がないかを調べることも、答えを出す作業の一部です。

整数の在庫として成立する別の条件も見ます。初期在庫84枚、毎日の補給12枚なら、1日36枚の方法は差し引き24枚ずつ減るため3と1/2日で終了します。終了までの補給は12 × 7/2 = 42枚、処理は36 × 7/2 = 126枚で、84 + 42と一致します。半日を1日と数えず、割合のまま計算することが分かれ目です。

補給を落とした答えを直す

基本例題で「18 × 6 = 108だから、初期在庫は108個」と答えたとします。108個は6日間に運び出した合計であり、開始後に届いた品物も含みます。図3のように、初期在庫と補給分を分けると、108個の全部を初期在庫とは置けません。

原因は、終了時点で在庫が0になることと、作業中の補給が0であることを同じだと考えた点にあります。修正するときは、まず二通りの合計の差から補給を1日6個と求めます。次に6日分の36個を108個から引き、72個に戻します。図3の各部分は72個と36個で、合わせて108個です。

別の誤りは、処理合計の差12個をそのまま1日分とすることです。12個に対応する時間は2日なので、単位を「2日分」と書き添えてから割ります。もし同じ日数で異なる処理量なのに両方が同じ初期在庫からちょうど終わると書かれていれば、この一定条件では両立しません。日数の差が0のまま割り算を進めず、条件を読み直します。

練習問題

いずれも同じ初期在庫から始め、補給と処理はそれぞれ一定の割合で進みます。終了時に在庫はちょうど0です。指定された数を整数で答え、整数の答えが成立しない場合はその理由も述べてください。

1. 同じ数の箱を、毎日17箱なら6日、毎日23箱なら4日で運び終えます。毎日の補給数と初期在庫を求めてください。
2. 同じ数の冊子を、毎日19冊なら8日、毎日29冊なら4日で仕分け終えます。毎日の補給数と初期在庫を求めてください。
3. 1人が1日4個の札を処理します。4人なら9日、6人なら5日で終わります。毎日の補給数と初期在庫を求めてください。
4. 同じ数の袋を、毎日20袋なら6日、毎日28袋なら4日で処理し終えます。毎日の補給数と初期在庫を求めてください。
5. 同じ数の部材を、毎日12個なら6日、毎日18個なら4日で処理し終えます。毎日の補給数と初期在庫を求め、補給がない場合も含めて条件を確かめてください。

練習の答えと道筋

1. 処理合計は17 × 6 = 102箱と23 × 4 = 92箱です。差10箱は2日分なので、補給は1日5箱です。初期は102 − 5 × 6 = 72箱です。72 + 30 = 102、72 + 20 = 92と戻り、在庫はそれぞれ1日12箱、18箱ずつ減って終了します。

2. 処理合計は19 × 8 = 152冊と29 × 4 = 116冊です。差36冊は4日分なので、補給は1日9冊です。初期は152 − 9 × 8 = 80冊です。80 + 72 = 152、80 + 36 = 116です。差し引きの減りはそれぞれ1日10冊、20冊です。

3. 1日の処理は4 × 4 = 16個と4 × 6 = 24個です。合計は16 × 9 = 144個と24 × 5 = 120個です。差24個を日数差4日で割ると、補給は1日6個です。初期は144 − 6 × 9 = 90個です。90 + 54 = 144、90 + 30 = 120となり、途中の減りもそれぞれ1日10個、18個です。

4. 合計は20 × 6 = 120袋と28 × 4 = 112袋です。差8袋は2日分なので、補給は1日4袋です。初期は120 − 4 × 6 = 96袋です。96 + 24 = 120、96 + 16 = 112で、1日あたり16袋、24袋ずつ減ります。

5. 合計は12 × 6 = 72個と18 × 4 = 72個です。差0個を2日で割ると、補給は1日0個です。初期は72個です。72 + 0 × 6 = 72、72 + 0 × 4 = 72で、どちらも終了条件に戻ります。差が0でも、日数の差が正なら補給がない場合として扱えます。

練習5のように合計が等しい場合でも、二通りの1日あたりの処理量は異なります。短い日数で同じ初期在庫を扱うには、1日あたりに多く処理する必要があるためです。差が0という結果を見て計算の失敗と決めず、補給が0という条件を元の場面に戻します。

手元に残す要点

• 処理合計は初期在庫と終了までの補給の和です。
• 二通りの処理合計の差は、日数の差にあたる補給です。
• その差を日数の差で割り、1日分の補給を出します。
• 処理合計から補給合計を引き、初期在庫を求めます。
• 二通りの条件と答えの形に戻して確かめます。

どこで迷ったかを見る

お子さまが合計の差を求められていても、その差が何日分なのか説明できない場合があります。個別指導では、二本の線分に共通の初期在庫を置き、残る部分がどの期間の補給かを指で示してもらいます。反対に差は説明できても初期在庫に戻せない場合は、処理合計から全期間の補給を除く位置を確かめます。

答えが出た後は、各方法で初期在庫と補給の合計が処理合計に戻るかを確認します。日数の差が0、補給が0、指定された整数が成立しない場合も区別できると、数字を当てはめる前に条件を読めます。増えた分の期間をそろえることが、在庫の変化を読む鍵です。