中学受験の算数 過不足算の余りどうし—同じ側にある残りの差から人数と総量を出す｜武蔵野個別指導塾

2通りの配り方から人数と総量を求め、条件が合わない場合まで考える鍵は余りどうしです。

よくあるのは、同じ人数に品物を配る2通りの方法を読んで、2つの余りをそのまま足してしまう場面です。どちらも「余る」と書いてあるので、2つを集めれば何かが求まりそうに見えます。しかし、それぞれは別々の配り方を試した結果です。同時に残った品物ではありません。

同じ品物の総量を基準にして、配った量の端をそろえてみましょう。余りどうしなら、2つの端の隔たりは余りの差です。不足どうしでも、必要な量の端の隔たりは不足の差になります。その隔たりを一人あたりの増加分で分けると、何人分が集まっていたかが見えてきます。

同じ総量を使う2通りの問い

1つ目の型は、どちらの配り方でも余る問題です。一人に少なく配ると余りが多く、一人に多く配ると余りが少なくなります。求めるものは人数と、初めにあった品物の総数です。与えられた2つの余りからまずわかるのは総数そのものではなく、2通りの総配布量の差です。

2つ目の型は、どちらの配り方でも不足する問題です。少なく配る方法でも足りず、多く配る方法ではさらに不足します。今度は実際の総量よりも、配るために必要な総量のほうが大きくなります。2つの不足は同じ総量から先に伸びているので、必要な総量どうしの差は不足の差です。

3つ目は、与えられた条件を満たす人数があるかを確かめる問いです。差を割って人数らしい数が出ても、人数は正の整数でなければなりません。さらに、求めた総数をそれぞれの配り方に戻して、指定された余りや不足が再現する必要があります。割り切れない条件を見たら、途中で丸めずに、条件に合う人数はないと判断します。

いずれも、2通りで配る人数と、配る前の総量が同じであることが土台です。途中で品物を足したり人数が変わったりする設定なら、その変化を別に考えなければなりません。ここでは同じ人数、同じ総量で試す問題に限ります。

端をそろえると差が見える

余りは、配った後に手元に残る量です。図1の上段と下段では右端を共通の総量にそろえています。青い部分は配った量、うすい橙の部分はそれぞれの余りです。下段の配った量のほうが長く、その分だけ余りは短くなります。

図1のように、同じ右端から左に向かって2つの余りを比べると、余りの長さの差が、配った量の端の隔たりと一致します。これは図に書いた形だけの偶然ではありません。両方の配布量に、それぞれの余りを足すと同じ総量になるからです。大きい余りから小さい余りを取り除いた部分は、少ない配布量から多い配布量までの不足分とちょうど重なります。

一人あたりの配布数を増やすと、どの人にも同じ数ずつ追加します。たとえば一人に2個ずつ増やすなら、総配布量の増加は2個が人数分集まった量です。図の端の隔たりが10個なら、10個を2個ずつに分けて5人とわかります。総配布量の差を人数そのものとするのではなく、一人分の差が何組あるかを調べます。

不足の場合は、実際に存在する品物の総量を同じ位置に置きます。その先に、少ない配り方の不足と多い配り方の不足を伸ばします。両方が同じ位置から始まるので、先端どうしの隔たりは大きい不足から小さい不足を引いた量です。足りない分まで含めた必要数を比べていることに気をつけましょう。

図を描くときは、2本の線の始まりをそろえ、総量の位置を共通にします。余りは配った量の端から総量まで、不足は総量から必要数の端まで記します。線の端の意味を書けば、「足すか引くか」を言葉だけで覚えなくても判断できます。図の線分は量の大小を表し、人数の列を一人ずつ描いたものではありません。

基本例題：余りの差を一人分の差で分ける

同じ数のカードを何人かの子どもに配ります。一人に3枚ずつ配ると14枚余り、一人に5枚ずつ配ると4枚余ります。子どもの人数を整数で、カードの総数を整数と単位つきで求めましょう。

図2ではカード1枚を横の長さ24として、どちらも29枚の総量を同じ右端にそろえています。人数と総数は、これから計算で求めます。上の青い部分に下の青い部分を重ねたとき、下だけに増えた部分が、余りの差に対応します。

一人に配る枚数の増加は、次の2枚です。

5 − 3 = 2（枚）

一方、余りは14枚から4枚に減っています。配布量の増加はその減った分と等しいので、次の10枚です。

14 − 4 = 10（枚）

一人につき2枚の増加が、全員分で10枚です。したがって人数は次のように求まります。

10 ÷ 2 = 5（人）

人数がわかったら、どちらか一方の配り方に戻します。3枚ずつ配った枚数は次のとおりです。

3 × 5 = 15（枚）

これに配り終えた後の余り14枚を加えると、初めの総数になります。

15 + 14 = 29（枚）

もう一方でも確かめます。5人に5枚ずつ配ると25枚で、29 − 25 = 4（枚）が残ります。最初の配り方も29 − 15 = 14（枚）です。どちらの余りも問題文に戻ったので、答えは5人、29枚です。

ここで14と4を足すと18枚になりますが、この18枚は2通りの配布量の差ではありません。14枚余った配り方と4枚余った配り方は別々に試しているため、残りを同時に集めることはできません。図2の共通の右端から見て、2つの配布量の端の間にあるのは10枚です。

また、余りの数は人数より小さくなければならないとは限りません。問題は「決めた数ずつ配った後に何枚残るか」を述べています。基本例題の14枚は5人にもう1枚ずつ配れる量ですが、3枚ずつ配るという操作はすでに終わっています。「これ以上1枚ずつ配れないように配る」という別の条件は加えていません。

標準例題：不足どうしも同じ側から比べる

同じ数の折り紙を何人かに配ります。一人に6枚ずつ配ろうとすると3枚不足し、一人に9枚ずつ配ろうとすると21枚不足します。人数を整数で、折り紙の総数を整数と単位つきで求めましょう。実際には不足するため、どちらも必要な枚数をそろえられません。

総量を表す線の右端から、6枚ずつ配るための不足3枚と、9枚ずつ配るための不足21枚を伸ばして考えます。必要数の端どうしの隔たりは、同じ位置から伸びた2つの不足の差です。

21 − 3 = 18（枚）

一人あたりの必要数は次のように増えます。

9 − 6 = 3（枚）

18枚の増加は、一人あたり3枚の増加が全員分集まったものです。人数は次のとおりです。

18 ÷ 3 = 6（人）

6枚ずつ6人に渡すには36枚必要ですが、実際には3枚不足します。したがって、持っている折り紙は次の枚数です。

6 × 6 = 36（枚）

36 − 3 = 33（枚）

9枚ずつなら6人分で54枚必要です。54 − 33 = 21（枚）となり、もう一方の不足も再現します。6枚ずつでは36 − 33 = 3（枚）の不足なので、答えは6人、33枚です。

不足を求める場面で、必要数に不足を足して総量とする間違いがあります。不足は持っている量から必要数までの足りない部分です。必要数から不足を引いて持っている総量を出す、と向きを確かめてください。余りの場合は配った量に残りを足し、不足の場合は必要な量から足りない量を引きます。

発展例題：余りが大きいときも関係を保つ

同じ数のシールを何人かに配ります。一人に4枚ずつ配ると26枚余り、一人に7枚ずつ配ると5枚余ります。人数を整数で、シールの総数を整数と単位つきで求めましょう。

配る枚数を一人につき3枚増やすと、余りは21枚減ります。よって人数と総数は次の順に求まります。

7 − 4 = 3（枚）

26 − 5 = 21（枚）

21 ÷ 3 = 7（人）

4 × 7 + 26 = 54（枚）

別の見方として、配り方ごとの内訳を表にします。余りの差と配布量の差が反対向きに同じだけ変わり、横の合計はどちらも54枚です。

表の両行を元の条件と照らすと、54 − 28 = 26、54 − 49 = 5です。人数は正の整数で、総数も整数です。答えは7人、54枚です。26枚が人数より多くても、指定どおり4枚ずつ配った後の残りとして矛盾しません。

条件の分かれ目は、人数を求める割り算と、その後の場面への戻し方にあります。差が割り切れなければ、正の整数の人数は作れません。割り切れた場合も、それだけで答えにせず、2通りの総量が一致するか、残りや不足が指定された側にあるかを確かめます。問題文が「余りは人数より少ない」といった追加条件を置く場合は、その条件も最後に調べます。

たとえば一人分の差が2個なのに、総配布量の差が9個という条件では、9 ÷ 2 = 4.5です。半人を加えて配ることはできないので、人数を4人や5人に丸めてはいけません。4人なら増加は8個、5人なら10個で、どちらも9個に一致しないからです。計算を続けて総量を出す前に、条件に合う正の整数の人数がないとわかります。

余りを足した答えを図で直す

基本例題で14 + 4 = 18とし、18 ÷ 2 = 9人と答えたとします。図3のように14枚と4枚は同じ総量の右端から測った2つの残りです。色のついた隔たりは14枚から4枚を除いた10枚であり、18枚ではありません。

9人と仮定して場面に戻すと、3枚ずつ配る方法では3 × 9 + 14 = 41枚です。5枚ずつ配る方法では5 × 9 + 4 = 49枚です。同じカードを使うはずなのに総数が一致しません。この食い違いが、2つの余りを足した計算の誤りを示します。

直すには、まず図3の右端を同じ総量にそろえ、配布量の端の間を指でたどります。そこは大きい余りのうち小さい余りと重ならない部分です。14 − 4 = 10枚を一人分の増加2枚で分け直すと5人になります。最後に、両方の配り方が29枚から始まることを確認します。

不足どうしでも、大きい不足と小さい不足の始まりは同じ総量の位置です。2つを足した長さは必要数の端の隔たりになりません。余りと不足が別々の側にある問いでは図の配置が変わりますが、ここで扱う同じ側の2本は、共通の端からの差を見ます。

自分で確かめる5問

いずれも同じ人数に同じ総量の品物を配る2通りの試みです。人数と総数は整数で、総数には単位をつけて答えてください。条件を満たす正の整数の人数がない場合は、その理由を答えます。

1. ビーズを一人に5個ずつ配ると13個余り、6個ずつ配ると5個余ります。人数とビーズの総数を求めましょう。
2. 花の種を一人に7粒ずつ配ろうとすると4粒不足し、10粒ずつ配ろうとすると25粒不足します。人数と種の総数を求めましょう。
3. しおりを一人に2枚ずつ配ると19枚余り、5枚ずつ配ると1枚余ります。人数としおりの総数を求めましょう。
4. 箱を一人に8個ずつ配ろうとすると7個不足し、12個ずつ配ろうとすると35個不足します。人数と箱の総数を求めましょう。
5. 石を一人に3個ずつ配ると12個余り、5個ずつ配ると3個余ります。この条件を満たす人数と石の総数があるか調べましょう。

5問の答えと戻し方

1. 一人分の差は6 − 5 = 1個、余りの差は13 − 5 = 8個です。8 ÷ 1 = 8人、5 × 8 + 13 = 53個です。53 − 5 × 8 = 13個、53 − 6 × 8 = 5個となり、両方の余りに戻ります。

2. 一人分の差は10 − 7 = 3粒、不足の差は25 − 4 = 21粒です。21 ÷ 3 = 7人です。7粒ずつに必要な49粒から不足4粒を引き、49 − 4 = 45粒です。7 × 7 − 45 = 4粒、10 × 7 − 45 = 25粒で、両方の不足を確かめられます。

3. 一人分の差は5 − 2 = 3枚、余りの差は19 − 1 = 18枚です。18 ÷ 3 = 6人、2 × 6 + 19 = 31枚です。31 − 2 × 6 = 19枚、31 − 5 × 6 = 1枚なので条件に合います。19枚は6人より多い残りですが、2枚ずつ配る条件には反しません。

4. 一人分の差は12 − 8 = 4個、不足の差は35 − 7 = 28個です。28 ÷ 4 = 7人です。8個ずつに必要な56個から7個を引いて49個です。8 × 7 − 49 = 7個、12 × 7 − 49 = 35個となります。

5. 一人分の差は5 − 3 = 2個、余りの差は12 − 3 = 9個です。9 ÷ 2 = 4.5となり、人数を正の整数にできません。4人なら配布量の差は8個、5人なら10個で、求める9個にはなりません。したがって条件を満たす人数と総数はありません。

手元に残す要点

余りどうしは、同じ総量から見た余りの差が配布量の差です。
不足どうしは、同じ総量から見た不足の差が必要数の差です。
その差を一人分の配布数の差で割り、人数を求めます。
人数が正の整数かを調べ、総量と2通りの残りを元の場面に戻します。

つまずきを見分けるには

お子さまが2つの残りを足したときは、すぐに計算だけを直す前に、それぞれがどの配り方の結果かを尋ねてみてください。同時に残る2つの山として見ているなら、別々の試みを2本の線に分け、総量の端をそろえるところから確かめます。差を出せても人数にできないときは、その差の中に一人分の増加が何組あるかを、単位をつけて言葉にします。

個別指導で確かめるなら、余りどうしと不足どうしを交互に示し、総量の位置と必要数の位置を自分で指せるかを見ると、計算の前の判断が見えます。さらに割り切れない条件を渡し、近い整数に丸めたとき元の差が再現するかを調べます。答えの数字を出した後も、2通りの配り方へ戻せば、同じ総量から始まっているかを自分で判定できます。