中2数学 二等辺三角形の性質と逆—等しい辺と底角を合同の根拠で結び直す｜武蔵野個別指導塾

二等辺三角形の底角が等しい理由とその逆を、頂角の二等分線で作る合同からたどります。正三角形に線を引いた例では、等しい辺があるかを角から判断します。

よくあるのは、底角が等しいことを使って底角が等しいと証明してしまう場面です。図を見て結論が予想できると、その予想を途中の根拠に混ぜてしまうことがあります。証明で使えるのは、仮定として与えられたことと、そこからすでに示したことです。辺の等しさから出発する場合と、角の等しさから出発する場合を分けて、同じ図を読み直しましょう。

何を手がかりにするか

二等辺三角形の問題には、主に3つの型があります。等しい2辺から底角を求める型、等しい2角から辺の等しさを示す型、頂角を二等分してできる2つの三角形を比べる型です。数を求めるだけの問題でも、どの性質を使えるかを先に判断すると、式の意味が明確になります。

必要になる既習事項は、三角形の内角の和が180°であること、角の二等分、三角形の合同条件、合同な図形の対応する辺や角が等しいことです。証明では、図の印を答えの根拠にするのではなく、その印が仮定なのか、すでに導いた事実なのかを区別します。ここで扱うのは二等辺三角形の辺と角の関係、および正三角形への適用です。

頂角から2つに分ける理由

2つの辺が等しい三角形を二等辺三角形といいます。等しい2辺の間の角を頂角、その向かいの辺を底辺、底辺の両端の角を底角といいます。頂角が紙の上で上向きに見える必要はありません。等しい辺を先に見つけてから、それらにはさまれた角を頂角と決めます。

図1のように、AB = ACである三角形ABCを考え、頂角Aの二等分線と辺BCとの交点をDとします。ここでADは角BACを2つの等しい角に分けるように引いた線です。Dが辺BC上にあることも、後で角を読み替えるために必要です。

図1の2つの三角形ABDとACDでは、AB = ACは仮定、AD = ADは共通な辺、角BAD = 角CADは二等分線の引き方から成り立ちます。したがって、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、三角形ABDと三角形ACDは合同です。順番をABDとACDにそろえると、AはA、BはC、DはDに対応します。

合同な三角形の対応する角は等しいので、角ABD = 角ACDです。DはBC上にあるため、これは角ABC = 角BCAを意味します。こうして「二等辺三角形の2つの底角は等しい」という性質が導けます。合同の前には底角の等しさを使っていません。

同じ合同からBD = CD、角ADB = 角ADCも得られます。後者は一直線上で和が180°なので、それぞれ90°です。ただし、頂角を二等分して引いた線であることが前提です。任意の線を頂点から底辺に引いただけでは、その線が底辺を半分に分けたり垂直になったりするとは限りません。

逆の命題は「1つの三角形で2つの角が等しければ、その角に対する辺は等しい」です。角ABC = 角BCAなら、向かい合う辺はそれぞれACとABなので、AC = ABです。こちらは角の等しさを出発点にして辺の等しさへ進みます。図の見た目から辺が等しいと決めず、与えられた角がどの辺に向かい合うかを指で追うと取り違えを防げます。

逆も合同で示せます。角Aの二等分線とBCとの交点をDとすると、角BAD = 角CAD、角ABD = 角ACD、AD = ADです。内角の和から残る角ADBと角ADCも等しいので、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しく、三角形ABDとACDは合同です。よってAB = ACです。ここで最初にAB = ACを使っていないことが、逆の証明の要です。

基本例題：頂角から底角を求める

三角形ABCでAB = AC、角BAC = 44°です。角ABCと角BCAの大きさを、それぞれ度で求めてください。

図2のように等しい辺を確認すると、底角は角Bと角Cです。2つの底角は等しいため、その大きさをそれぞれx°とおきます。三角形の内角の和を使うと、次のようになります。

44 + x + x = 180
2x = 180 - 44
2x = 136
x = 68

したがって、角ABC = 68°、角BCA = 68°です。図2に戻すと、44 + 68 + 68 = 180で内角の和を満たし、2つの底角も等しくなります。引き算をして得た136°は底角1つではなく、底角2つの和です。最後に2で割る理由は、等しい大きさの角が2つあるからです。

もし等しい辺がABとBCなら頂角はBで、底角はAとCです。同じ図の向きでも、等しい辺の指定が変われば頂角と底角の役割が変わります。数式を立てる前に、等しい辺の交わる頂点を確かめてください。

標準例題：角から辺へ戻る

三角形PQRで角P = 52°、角Q = 52°です。等しい2辺を記号で答え、その理由を説明してください。

角Pと角Qが等しいので、二等辺三角形の性質の逆が使えます。角Pに向かい合う辺はQR、角Qに向かい合う辺はPRです。よってQR = PRです。角がある頂点から出る辺ではなく、向かい側の辺を対応させます。

確認として残る角を求めると、180 − 52 − 52 = 76°です。等しい角を底角と見れば、残る角が頂角になります。角が2つ等しいという条件から等しい辺が得られ、その辺にはさまれた角が76°になっているので、答えは元の条件と矛盾しません。逆の性質を使う際に、先に二等辺三角形だと仮定する必要はありません。

発展例題：正三角形の中の二等辺三角形

正三角形ABCの辺BC上に、B、D、Cの順になる点Dをとり、ADを結びます。角BAD = 20°のとき、角ADCと角CADを度で求め、三角形ACDに等しい辺があれば記号で答えてください。

正三角形は3辺が等しい三角形です。2辺ずつに注目して二等辺三角形の性質を使うと、3つの角が等しいとわかります。その和は180°なので、それぞれ60°です。したがって角BAC = 60°、角ACD = 60°です。DはBC上にあるので、角ACDは正三角形の角ACBと同じです。

角BADと角CADは合わせて角BACですから、角CAD = 60 − 20 = 40°です。三角形ACDの内角の和から、角ADC = 180 − 60 − 40 = 80°となります。3つの角は40°、60°、80°で、等しい角はありません。よって三角形ACDに等しい辺はありません。もし2辺が等しければその向かいの2角が等しくなるはずなので、この判断を裏からも確かめられます。

ここが分かれ目です。ADが角BACの二等分線と指定されていれば角BADと角CADは等しいですが、この問題では20°と40°であり、二等分線ではありません。正三角形の頂点から辺に引いた線なら何でも二等分線になるわけではないのです。一方、角BADが30°だったなら角CADも30°となり、そのとき初めて二等分線として扱えます。与えられた角を戻して、条件を確かめてから使います。

誤った根拠を入れ替える

図3のように、AB = ACから底角の等しさを証明したいとします。「角ABC = 角BCAだから底角は等しい」という答案は、示すべき結論をそのまま根拠にしています。答え自体が正しくても、仮定から結論へ進んでいないため証明にはなりません。

修正するときは、図3の右側の順に、仮定AB = AC、二等分による角の等しさ、共通な辺ADを集めます。2辺とその間の角で合同を示した後、対応する角として底角の等しさを取り出します。仮定と結論に印を付けると、結論を先に使っていないか見直せます。

もう1つの誤りは「角B = 角CだからAB = BC」と対応を取り違えることです。角Bの向かいはAC、角Cの向かいはABなので、正しくはAC = ABです。角と辺を同じ文字だけで対応させず、三角形の反対側をたどります。辺AB = BCなら頂角はBで、底角はAとCです。この違いを別の図で確認すれば、誤った対応のまま計算を進めるのを防げます。

条件不足にも注意します。例えば頂角が同じでも、等しい2辺を持つという条件がなければ、残る2角が等しいとは限りません。頂角に見える角の大きさだけから、図の左右が対称だと判断しないようにします。線を追加した場合も、その線が二等分線なのか、単に頂点と辺上の点を結んだ線なのかを問題文に戻って確認します。

練習：条件を読み替える5問

次の5問を先に考え、等しい辺や角とその理由を記してから、後の解答と比べてください。

1. 三角形DEFでDE = DF、角D = 36°です。角Eと角Fをそれぞれ度で求めてください。
2. 三角形GHIでGH = HI、角G = 47°です。角Hと角Iをそれぞれ度で求めてください。
3. 三角形JKLで角J = 71°、角K = 71°です。等しい2辺を記号で答え、残る角を度で求めてください。
4. 正三角形MNPの辺NP上にN、S、Pの順で点Sをとり、MSを結びます。角NMS = 15°のとき、角MSPを度で求めてください。
5. 三角形XYZでXY = XZ、点Tは辺YZ上にあり、XTは角YXZを二等分します。YT = ZTを合同を使って証明してください。

練習の答えと道筋

1. 底角EとFは等しいので、それぞれをa°とすると36 + 2a = 180です。2a = 144、a = 72より、角E = 72°、角F = 72°です。36 + 72 + 72 = 180であり、等しい辺DE、DFに対する底角も等しく、元の条件に合います。

2. 等しい辺はGHとHIで、それらが交わるHが頂角です。底角GとIが等しいので角I = 47°、角H = 180 − 47 − 47 = 86°です。47 + 86 + 47 = 180で、GHとHIの向かいの角IとGが等しくなります。図の上側にあるかどうかで頂角を決めないことが要点です。

3. 角Jに向かい合うKLと角Kに向かい合うJLが等しく、KL = JLです。角L = 180 − 71 − 71 = 38°です。KLとJLを等しい辺と見たとき、底角はJとKで、ともに71°です。残る角を含めた和も180°になり、与えられた条件に戻ります。

4. 正三角形の各角は60°です。角SMP = 60 − 15 = 45°で、SはNP上にあるので角MPS = 60°です。三角形MSPの内角の和から角MSP = 180 − 45 − 60 = 75°です。15 + 45 = 60、45 + 60 + 75 = 180となり、元の頂角と三角形の条件を満たします。MSを二等分線と決めつけないことが必要です。

5. 三角形XYTとXZTにおいて、仮定からXY = XZ、二等分線より角YXT = 角ZXT、共通な辺なのでXT = XTです。2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいため、三角形XYTとXZTは合同です。合同な三角形の対応する辺は等しいので、YT = ZTです。対応順をXYTとXZTにすると、YとZ、TとTが対応します。結論のYT = ZTを合同の根拠に使っていないことも確認してください。

手元に残す要点

• 等しい2辺にはさまれた角が頂角で、その向かいが底辺です。
• 二等辺三角形の2つの底角は等しく、逆に2角が等しければその向かいの2辺が等しくなります。
• 頂角の二等分線で作る合同では、仮定、二等分、共通辺を根拠にします。
• 証明する結論を、合同を示す前の条件として使わないようにします。

つまずいた場所を見つけるには

お子さまが角の計算を間違えたときは、答えの数だけでなく、最初に頂角と底角をどこに書いたかを確かめます。等しい辺が交わる点を指せれば、残りの2つの角を選び直せます。角が等しい条件から辺を選ぶ場合は、それぞれの角の向かい側をたどってもらうと、対応の誤りが見えます。

個別に説明を確かめる場面では、合同の3つの根拠に「仮定」「引き方」「共通」と書き添え、どの時点で底角が等しいと言えるかを尋ねます。式が合っていても、二等分が与えられていない線を使っていないか、図に戻して点検します。辺から角へ進む道と角から辺へ戻る道は、出発点を明示すると区別できます。

証明を読み返すときは、合同の名前の並びも声に出して確認します。例えばABDとACDなら、最初の文字同士、次の文字同士、最後の文字同士が対応します。この並びから取り出せるのはABとAC、BDとCDのような組です。対応しない辺を選ぶと、合同までは正しくても結論がずれます。

また、逆の性質を使えるか迷ったら、条件と結論を短く書き分けてください。「辺が等しい」から「角が等しい」へ進むのが性質、「角が等しい」から「辺が等しい」へ進むのが逆です。等しい角がどこか不明なときには逆を使えません。根拠となる等しさが仮定にあるか、すでに証明済みかを確認してから、矢印を進めます。