中2数学 連立方程式の割合—増減の基準量を明記して前後の数量を式で結ぶ｜武蔵野個別指導塾

栽培鉢の増減を式にし、前後の個数へ戻して確かめるとき、割合を掛ける相手は増減前の基準量です。

よくあるのは、増えた割合を増えた後の鉢の個数に掛けてしまう場面です。増えた後の数が見えていると、それを基準にしたくなります。しかし「元の個数の25%増」なら、25%を掛ける相手は増える前の個数です。二種類の栽培鉢について、前後の個数を分けて書き、連立方程式の答えを元の条件に戻して調べます。鉢は移し替えず、それぞれの種類で増減したと考えます。

どの時点の合計かを読む

問題の形には、増減前の合計と増減後の合計を比べるもの、前の合計と後の二種類の差を使うもの、増えた数や減った数の関係を使うものがあります。どれも、各種類の増減前の個数を文字で置けば、前後を同じ表で追えます。合計と差のどちらを使うかは、問題文が結んでいる数量で決まります。

使う準備は、百分率を100を分母とする数に直すこと、等式の両辺に同じ操作をすること、二つの式を同時に満たす組を求めることです。25%は25/100、つまり1/4です。増減の式を作ってから連立方程式を解き、最後に鉢の個数として成り立つかまで確かめます。ここで扱うのは鉢の個数の割合で、濃度は扱いません。

「何を100%とするか」を決める

割合は、比べる量が基準量の何倍かを表します。「元の個数の25%が増えた」なら、増えた数は元の個数の25/100倍です。増えた後は元の100%に増分の25%を足した125%、つまり元の5/4倍になります。反対に、元の20%が減れば、残りは100%から20%を引いた80%、すなわち元の4/5倍です。

図1のように、元の個数を1本の帯として見れば、増分を元の帯に足し、減分を元の帯から取り除けます。帯の長さは同じ元の量を基準にした割合を表します。増えた後全体に25%を掛けると、元の量と増分の両方に掛けることになり、問題の増分より大きくなります。

図1の増加では、元の100%と増分25%を合わせて125%です。減少では100%から20%を除いた80%が残ります。たとえば元が20鉢なら、25%増の増分は5鉢、増加後は25鉢です。後の25鉢の25%を求めると25/4鉢となり、元の20鉢に対する増分5鉢とは一致しません。後の数が基準だと明記される別の条件なら掛ける相手は変わりますが、文に書かれていない基準を勝手に変えてはいけません。

元のAの鉢数をx鉢、Bをy鉢とすると、Aが25%増えた後はx + (1/4)x = (5/4)x鉢です。Bが20%減った後はy − (1/5)y = (4/5)y鉢です。増えた数の式と増えた後の式は、元のxを足すかどうかで違います。減った数と減った後も同様です。どの欄が増減した分で、どの欄が残った数なのか、単位の「鉢」と一緒に書くと区別できます。

個数は0以上の整数です。連立方程式が求めた数の組が分数や負の数なら、式の計算が正しくても鉢の条件を満たしません。また、元の数が整数でも、指定の割合による増分や減分が整数になるとは限りません。求めた後には、元と増減分と後の数をそれぞれ確かめます。

基本例題：前後の合計を使う

栽培鉢AとBが合わせて40鉢あります。Aは元の個数の25%だけ増え、Bは元の個数の25%だけ減りました。増減後の合計は42鉢です。増減前のAとBの個数を、それぞれ整数で求めてください。

図2のように、前のAをx鉢、前のBをy鉢と置きます。前の合計からx + y = 40です。後のAは元の125%で(5/4)x鉢、後のBは元の75%で(3/4)y鉢なので、後の合計から(5/4)x + (3/4)y = 42です。二つの式はそれぞれ異なる時点の合計を表しています。

図2の後の欄は、増減分ではなく増減後の個数です。第2式の両辺を4倍して分母を払うと、各項を同じ倍率で変えられます。第1式を3倍し、yの係数をそろえて引きます。

x + y = 40
(5/4)x + (3/4)y = 42
5x + 3y = 168
3x + 3y = 120
2x = 48
x = 24
y = 40 - 24
y = 16

答えはAが24鉢、Bが16鉢です。元の合計は24 + 16 = 40鉢です。Aの増分は24の1/4で6鉢、Bの減分は16の1/4で4鉢ですから、後の数はそれぞれ30鉢、12鉢です。後の合計も30 + 12 = 42鉢となります。元の数と増減分はいずれも整数で、問題の条件に合います。

別の見方では、後の合計が前より2鉢多いことに注目します。増分と減分の差が2鉢なので、(1/4)x − (1/4)y = 2です。両辺を4倍してx − y = 8とし、前の合計の式と合わせても同じ答えが得られます。ただし、2鉢はAの増分そのものではありません。Bの減分を差し引いた全体の変化です。

標準例題：増える割合と減る割合が違う

ハーブの鉢AとBが増減前に合わせて70鉢あります。Aが元の20%増え、Bが元の10%減ったところ、合わせて75鉢になりました。増減前のAとBをそれぞれ整数の鉢数で求めてください。

Aをx鉢、Bをy鉢とします。Aの増分は(1/5)x鉢、Bの減分は(1/10)y鉢です。元の合計が70鉢、後の合計が75鉢という二つの条件から次の式を立てます。

x + y = 70
(6/5)x + (9/10)y = 75
12x + 9y = 750
9x + 9y = 630
3x = 120
x = 40
y = 70 - 40
y = 30

第2式を10倍し、第1式を9倍して引きました。答えはAが40鉢、Bが30鉢です。Aは8鉢増えて48鉢、Bは3鉢減って27鉢です。元の40 + 30 = 70鉢、後の48 + 27 = 75鉢がともに合い、増減分も整数です。

前後の合計の差5鉢を使う方法なら、(1/5)x − (1/10)y = 5と置けます。この式は元の合計に増分を足し減分を引いた結果から、元の合計を引いて得られます。増えた割合20%と減った割合10%を引いて「全体が10%増」とすることはできません。二つの割合が掛かる元の数が別だからです。実際には全体の5鉢増を元の70鉢と比べると1/14であり、各種類の割合とは違います。

発展例題：後の差に向きを付ける

花の鉢AとBが増減前に合わせて90鉢あります。Aは元の25%増え、Bは元の20%減りました。増減後はAがBより10鉢多くなりました。増減前のAとBの鉢数をそれぞれ整数で求めてください。

元のAをx鉢、Bをy鉢とすると、前の合計はx + y = 90です。後のAは(5/4)x鉢、後のBは(4/5)y鉢です。「AがBより10鉢多い」ので、後のAから後のBを引くと10鉢です。前の数の差を10と置かないようにします。

x + y = 90
(5/4)x - (4/5)y = 10
25x - 16y = 200
16x + 16y = 1440
41x = 1640
x = 40
y = 90 - 40
y = 50

後の差の式を20倍し、前の合計の式を16倍して加えました。答えはAが40鉢、Bが50鉢です。Aは10鉢増えて50鉢、Bは10鉢減って40鉢です。前は40 + 50 = 90鉢、後は50 − 40 = 10鉢で、Aの方が多い向きまで条件と一致します。元の数も増減分も整数です。

「後のBがAより10鉢多い」という条件なら、差の式は(4/5)y − (5/4)x = 10に変わります。数字が同じでも引く順序が逆です。もし「後の差が10鉢」とだけあり、どちらが多いか書かれていなければ、両方の向きを調べなければなりません。計算の組が出ても鉢数や増減分が整数かをそれぞれ判定します。この例の条件ではAが多いと指定されているため、逆向きは採用しません。

間違いから基準と時点を探す

図3のように、元が20鉢で25%増えた場合を使って、増えた分の掛け算を点検できます。元の20鉢に1/4を掛けると5鉢で、後は25鉢です。後の25鉢に1/4を掛けた25/4鉢を増分にしてしまう誤答では、割合の基準が元から後へ移っています。

図3では右側の誤りから左側の修正へ進み、割合を掛ける相手を元の20鉢に戻します。文字式でも同じで、元がx鉢なら増分は(1/4)x鉢、後は(5/4)x鉢です。問題文の「元の」に線を引き、割合の式の横に「元」と書くと、代入する時点を見失いにくくなります。

別の誤答は、25%減った後を(1/4)y鉢とするものです。(1/4)yは減った数であり、残りではありません。元のy鉢から減分を引き、y − (1/4)y = (3/4)y鉢と直します。100%から25%を引いて75%が残ると考えても同じです。元より後の数が小さくなっているかを見れば、増減後の式を選ぶ手掛かりになります。

さらに、増加後の合計が前より多いとき、その差を増加した種類の増分だけにする誤りもあります。もう一方が減っていれば、全体の変化は増分から減分を引いたものです。各種類の増減を先に書いてから合計すると、符号の理由を説明できます。計算結果が分数なら、すぐに四捨五入して鉢数にせず、元の条件に整数の解があるかを確かめます。立式の誤りか、条件そのものが整数の鉢数と両立しないかを分けるためです。

練習：鉢の前後を式にする

次の5問はそれぞれ独立した場面です。増減は指定した種類の元の鉢数を基準とします。いずれも増減前のAとBを整数の鉢数で求め、増減後の数を使って条件を確かめてください。

1. 観葉植物のAとBは前に合わせて50鉢です。Aは元の10%増え、Bは元の20%減り、後の合計は46鉢です。
2. 球根を植えたAとBは前に合わせて80鉢です。Aは元の20%減り、Bは元の10%増え、後の合計は79鉢です。
3. 苗を育てるAとBは前に合わせて75鉢です。Aは元の20%増え、Bは元の10%減りました。後のAは後のBより27鉢多くなりました。
4. 庭に並べるAとBは前に合わせて55鉢です。Aは元の20%増え、Bも元の10%増え、後の合計は63鉢です。
5. 温室のAとBは前に合わせて45鉢です。Aは元の20%増え、Bは元の20%減り、後の合計は44鉢です。

練習の答えと道筋

どの問も前のAをx鉢、前のBをy鉢と置きます。合計の式と、後の合計または差の式を別々に作って解きます。

1. 前と後からx + y = 50、(11/10)x + (4/5)y = 46です。後の式を10倍して11x + 8y = 460、前の式を8倍して8x + 8y = 400とします。引くと3x = 60なのでx = 20、y = 30です。Aは2鉢増えて22鉢、Bは6鉢減って24鉢です。前の合計は50鉢、後の合計は22 + 24 = 46鉢です。

2. x + y = 80、(4/5)x + (11/10)y = 79です。後の式を10倍して8x + 11y = 790、前の式を8倍して8x + 8y = 640とします。引くと3y = 150なのでy = 50、x = 30です。Aは6鉢減って24鉢、Bは5鉢増えて55鉢です。前は80鉢、後は24 + 55 = 79鉢です。

3. x + y = 75、(6/5)x − (9/10)y = 27です。後の式を10倍して12x − 9y = 270、前の式を9倍して9x + 9y = 675とします。加えると21x = 945なのでx = 45、y = 30です。Aは9鉢増えて54鉢、Bは3鉢減って27鉢です。前の合計は75鉢、後の差は54 − 27 = 27鉢で、Aが多い向きも合います。

4. x + y = 55、(6/5)x + (11/10)y = 63です。後の式を10倍して12x + 11y = 630、前の式を11倍して11x + 11y = 605とします。引くとx = 25、y = 30です。Aは5鉢増えて30鉢、Bは3鉢増えて33鉢です。前は55鉢、後は30 + 33 = 63鉢になります。両方が増える場合、後の合計の式では両方を足します。

5. x + y = 45、(6/5)x + (4/5)y = 44です。後の式を5倍して6x + 4y = 220、前の式を4倍して4x + 4y = 180とします。引くと2x = 40なのでx = 20、y = 25です。Aは4鉢増えて24鉢、Bは5鉢減って20鉢です。前は45鉢、後は24 + 20 = 44鉢で、増分より減分が1鉢多いことも合います。

5問とも、元の数と増減分は0以上の整数です。答えが式に合うことに加え、各増減分を元の鉢数から計算して後の条件を再現できました。合計だけ合っても、割合の掛け先が違えば元の条件を満たすとは限りません。

手元に残す要点

• 割合を掛ける基準の個数と、その時点を決めます。
• 増減後は元に増分を足すか、元から減分を引いて表します。
• 合計や差は、問題文が指定した時点と順序で式にします。
• 解を元の鉢数、増減分、後の数に戻し、整数性と条件を調べます。

どこで止まったかを見分ける

お子さまが式を立てられないときは、まず二種類について「前」「増減分」「後」を別々に書けるかを見ると、割合と連立のどちらで迷っているかを切り分けられます。増分は書けるのに後の欄が埋まらないなら、元を足すか引くかを具体的な鉢数で確かめます。後の欄まで正しく、合計の式が違うなら、問題文の時点に印を付け、前の合計と後の合計を読み直します。

個別指導で確かめるときは、完成した答えだけでなく、各係数が元の何%を表すかを言葉にしてもらいます。差の問題では、どちらからどちらを引いたかも図や式で示します。計算が合っていても増減分に端数が出た場合は、その数を鉢として扱えるかを尋ね、条件へ戻る習慣につなげます。基準と時点を示す一言が、割合の式の意味を支えます。