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中2数学単項式の乗除—係数と文字を分けて割る式全体を逆数に直す｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.14更新 2026.11.14武蔵野個別指導塾の特徴中学数学中2 単元を掘り下げる

負の係数や文字を含む除数を一まとまりで扱い、約分と定義できる条件を追う単項式の乗除です。

よくあるのは、割る単項式の係数だけを逆数にして、文字をそのまま掛けてしまう場面です。たとえば 12a² ÷ 3a を 12a²・(1/3)a とすると、元の式にある「3a で割る」という操作が変わってしまいます。3 だけでなく a も割る対象です。答えを割った数に戻して掛ければ、違いが見えてきます。

単項式の乗除では、数の符号、文字の個数、割る数が 0 でない条件を別々に追い、最後に合わせます。中2の式の計算の範囲で、操作が成り立つ理由から確かめましょう。

要点（結論から）

係数と文字を分け、同じ文字の個数を数えます。
割る単項式全体を逆数にし、除数が 0 でない条件を記します。
累乗は括弧の範囲を見てから計算します。

どこで判断が分かれるか

出方の1つ目は、単項式どうしを掛け、係数と同じ文字を整理する計算です。負の数が混じるときは、符号を先に決めると数の計算と混同しにくくなります。文字の累乗は、同じ文字を何個掛けたかを示しています。

2つ目は、単項式で割る計算です。割る式全体が 0 でないとき、その逆数を掛ける形へ直せます。係数と文字を分けて約分するときも、元の除数に含まれる文字が 0 でない条件を忘れません。

3つ目は、掛け算と割り算が続く計算です。同じ優先順位の乗除は左から順に処理します。途中で割る式を逆数に直した後は、掛ける因数としてまとめられます。括弧や累乗があるときは、どこまでがまとまりかを先に見ます。

必要なのは、正負の数の乗除、分数の約分、文字の積の表し方です。たとえば a・a・a は a³ と書きます。指数の 3 は a を3回掛けることを表し、3a のように a を3倍する意味ではありません。

文字を掛けることと割ること

単項式は、数や文字を掛け合わせてできた式です。-6a²b なら、係数は -6、文字の部分は a²b です。符号も係数に含めます。a²b は a・a・b なので、異なる文字を一つの文字にまとめることはできません。

図1のように、同じ文字の積では、掛けられている文字を並べて数えます。a²・a³ は a が2個と3個で、合わせて5個です。よって a⁵ です。一方、a² と a³ を掛けるときに指数を掛けて a⁶ とするのは、文字の並びと合いません。

図1の矢印の先には、元の2組にあった a がそのまま並んでいます。累乗の底が同じとき、積の指数を足せるのは、掛ける文字の個数を合わせるからです。a²・b³ のように文字が違うときは、a²b³ のまま区別します。

割り算は、割る数が 0 でないとき、その逆数を掛ける操作です。3a の逆数は 1/(3a) であり、(1/3)a ではありません。3a・1/(3a) = 1 となることが逆数の確かめです。この式は a が 0 でないときに使えます。a = 0 なら 3a = 0 なので、元の割り算自体が定義されません。

文字の約分も、同じ 0 でない因数を分子と分母から取り除く操作です。a³/a は a・a・a を a で割るので a² になりますが、a が 0 でないことが前提です。元の式の条件は、約分後に分母の文字が消えても残ります。約分後の式だけを見て、元の割り算に 0 を入れられると判断してはいけません。

基本例題：係数と文字を分ける

12a² ÷ 3a を計算し、単項式で表しなさい。また、元の式が定義される a の条件を示しなさい。

割る数は 3a です。3 は 0 ではないため、除数が 0 でない条件は a ≠ 0 です。この条件の下で、割る式全体を逆数にします。

12a² ÷ 3a
= 12a²・1/(3a)
= (12/3)・(a²/a)
= 4a

図2のように、係数の 12 と 3、文字の a² と a をそれぞれ対応させます。数の部分は 12 ÷ 3 = 4、文字は a が1個残ります。答えは 4a、条件は a ≠ 0 です。

図2の右側の結果に除数 3a を掛けると、4a・3a = 12a² です。割られる式に戻るので、商として整合しています。具体的に a = 2 とすると、元の式は 48 ÷ 6 = 8、答えは 4・2 = 8 です。ただし1つの値が合うだけでは一般の説明にならないので、上の因数の約分も確認します。

標準例題：負の係数と積の順序

(-4a²b)・(3ab²) ÷ (-6ab) を計算し、単項式で表しなさい。元の式が定義される文字の条件も示しなさい。

除数は -6ab です。積が 0 にならないためには a ≠ 0 かつ b ≠ 0 が必要です。乗除は左から処理するので、まず前の2つを掛けます。

(-4a²b)・(3ab²) ÷ (-6ab)
= -12a³b³ ÷ (-6ab)
= (-12a³b³)/(-6ab)
= 2a²b²

係数は負と正の積で負、さらに負の数で割るので正になります。a は3個から1個、b も3個から1個を割り取り、それぞれ2個が残ります。答えは 2a²b² で、条件は a ≠ 0、b ≠ 0 です。

逆数を使う別の道もあります。最初の積の後に 1/(-6ab) を掛け、数と文字を分ければ同じ答えです。答えに除数を掛けると 2a²b²・(-6ab) = -12a³b³ となり、割る直前の積に戻ります。符号と各文字が戻るかを見る検算です。

発展例題：累乗の範囲を見極める

(-2xy)² ÷ (4x)・(-3y) を計算し、単項式で表しなさい。元の式が定義される文字の条件を示しなさい。

まず括弧全体の2乗を計算します。これは (-2xy) を2回掛けることで、係数だけでなく x と y にも2回ずつ掛ける操作が及びます。その後、割り算と掛け算を左から進めます。

(-2xy)² ÷ (4x)・(-3y)
= 4x²y² ÷ (4x)・(-3y)
= xy²・(-3y)
= -3xy³

除数 4x が 0 でない条件は x ≠ 0 です。y には除数による制限はありません。y = 0 でも元の式は 0 ÷ (4x)・0 と計算でき、答えも 0 です。文字が登場するたびに 0 を除くのではなく、実際に割る式を見ることが分かれ目です。

途中の商 xy² に 4x を掛けると 4x²y² に戻ります。さらにその商に -3y を掛けると -3xy³ です。左から計算したことまでたどれます。もし 4x・(-3y) の積全体で割るという別の式なら括弧が必要で、元の問題と同じではありません。

途中の誤りを見つける

図3のように、12a² ÷ 3a で係数だけ逆数にすると、誤って 4a³ になります。割る文字 a を掛ける文字に変えてしまったことが原因です。除数全体の逆数 1/(3a) に直せば、正しく 4a になります。a ≠ 0 の条件も一緒に記します。

図3の2つの結果は a = 2 で比べると 32 と 8 です。元の式は 8 なので、誤りを具体的に発見できます。さらに、正しい式に除数 3a を掛けて元の 12a² に戻る理由を示せば、値を1つ試すだけでは見えない構造も確認できます。

別の誤りは、(-2xy)² を -4xy とすることです。負の符号を含む括弧全体を2回掛けるので、係数は (-2)・(-2) = 4、文字も x・x と y・y になります。したがって 4x²y² です。指数を見たら、まず何を何回掛けるのかを括弧ごと書き出します。

もう1つは、a³ ÷ a を a³ とする誤りです。割る a を消し忘れると、答えに a を掛けたとき a⁴ になり、元の a³ に戻りません。a ≠ 0 の下で1個を取り除けば a² です。逆に指数が同じ場合は a² ÷ a² = 1 であり、文字が消えた後の係数 1 も見落とさないようにします。

条件を残す理由をもう一度たどる

割り算の結果が短くなると、元の式の姿を忘れがちです。たとえば a² ÷ a は、a ≠ 0 の範囲で a になります。右側の a には 0 を入れられますが、左側は a = 0 のとき 0 ÷ 0 となり、割り算が定義されません。等しいと言えるのは、左側が定義される範囲に限られます。短くなった式に新しい値を入れられることと、元の式にも入れられることは別の判断です。

除数が数と文字の積なら、どの因数が 0 になると除数が 0 になるかを調べます。たとえば 5ab で割るなら a ≠ 0 かつ b ≠ 0 です。片方だけが 0 でなくても、もう片方が 0 なら積全体が 0 です。一方、割られる側にしか現れない文字については、その文字が 0 でも割り算ができる場合があります。条件を探す際は、まず除数を囲んでから考えます。

数の分数も同じように扱います。たとえば (2a²) ÷ (3a) は、a ≠ 0 のとき (2/3)a です。2 と 3 はそれ以上整数で約分できません。係数が整数にならなくても、分数のまま正確な答えです。小数に直して丸める必要はありません。商 (2/3)a に 3a を掛けると 2a² に戻ります。

計算順を確かめるための読み方

式に乗除が続くときは、左端から次の操作へ進む道筋を声に出して読めます。標準例題なら「最初の2つを掛け、その結果を最後の単項式で割る」です。途中の積を1行に書くと、どこまでが割られる数になっているかが明確になります。1行目から答えまで暗算で飛ばすより、誤りが起きた行を探しやすくなります。

符号の確認では、各段階の係数だけを取り出します。負に正を掛けると負、負を負で割ると正です。その後で文字の個数を数えます。係数と文字を分けても、元は同じ積の因数なので、最後に合わせて1つの単項式に戻します。計算の順序を守ったうえで因数を整理することが、この分け方の前提です。

括弧があるときは、括弧の外の指数が何に掛かっているかを確認します。(-2xy)² は括弧全体を2回掛ける一方、-2xy² は y が2個で、係数 -2 と x はそれぞれ1回現れます。両者は書き方も意味も異なります。符号の位置まで含めて読み取ると、指数の処理をやり直す範囲がはっきりします。

練習：式と条件を両方書く

各問を計算し、答えを単項式で表しなさい。割り算を含む問題は、元の式が定義される文字の条件も示しなさい。

(5p²)・(-2p³)
18m³n ÷ (-6mn)
(-3uv²)・(8u²v) ÷ (4uv)
(3rs)² ÷ (-3r)・(2s)
(10c²d) ÷ (5c²d)・(-7c)

練習の答えと確かめ

答えは -10p⁵ です。係数は 5・(-2) = -10、文字 p は2個と3個を合わせて5個です。p = -1 のとき、元の2因数は 5 と 2 で積は 10、答えも -10・(-1)⁵ = 10 です。
条件は m ≠ 0、n ≠ 0、答えは -3m² です。18 ÷ (-6) = -3、m³ ÷ m = m²、n ÷ n = 1 です。答えに除数 -6mn を掛けると 18m³n となり、元の割られる式に戻ります。
条件は u ≠ 0、v ≠ 0、答えは -6u²v² です。最初の積は -24u³v³、これを 4uv で割ります。答えに 4uv を掛ければ -24u³v³ となり、割る直前の積と一致します。
条件は r ≠ 0、答えは -6rs³ です。最初に (3rs)² = 9r²s²、次に -3r で割って -3rs²、最後に 2s を掛けます。途中の商に -3r を掛けると 9r²s² に戻り、最後の積も元の順序に合います。s = 0 も許され、そのとき元の式と答えはともに 0 です。
条件は c ≠ 0、d ≠ 0、答えは -14c です。最初の商は 2 で、その後に -7c を掛けます。商 2 に除数 5c²d を掛ければ 10c²d に戻ります。文字が約分で消えても、元の除数から得た条件は消えません。

練習では、条件を先に書いてから約分すると、文字が消えた後も除数の情報を保持できます。答えに除数を掛ける確認は、符号と指数の両方の点検に役立ちます。