中1数学 作図の利用と円の接線—複数の距離条件を満たす点と直線を探し直す｜武蔵野個別指導塾

2つの円周の共通点から距離の条件を満たす点を選び、接点で半径に垂線を引く理由と候補の個数を調べます。

よくあるのは、2つの距離の条件を読んで、一方を満たした点をそのまま答えにする場面です。点Aから決められた長さだけ離れた点は、1つに決まりません。コンパスで円を描けば、円周上に候補が並びます。さらに点Bからの距離も指定されたら、その円周上から後の条件に合う点を探します。

作図では、線を描けたことと、条件を満たす答えが見つかったことを分けて考えます。交点が2つあることも、1つもないこともあります。円周上の点に接線を引くときも、接点を通るだけでは足りません。中心から接点へ引いた半径に垂直かどうかが、直線を選ぶ条件です。

どのような候補を重ねるか

距離の作図には、まず条件ごとに候補全体を描く型があります。決まった点から一定の距離にある点は円周上です。2点からそれぞれ決まった距離にある点なら、2つの円周を描いて共通の点を調べます。円の内部や外部は、指定された距離と等しくないので候補に入りません。

次は、直線上にあることと距離の条件を重ねる型です。直線上の点のうち、ある点から一定の距離にある点は、その直線と円周の交点です。直線が円を横切れば2点、ちょうど接すれば1点、離れていれば0点です。問題が線分や半直線上を指定した場合は、直線全体に広げて得た交点のうち、指定範囲の外にある点を除きます。

もう1つは円周上の点を通る接線です。円の中心と指定された点を結び、その半径に接点で垂直な直線を引きます。こちらは点を探す問題とは逆に、点が与えられていて直線の向きを決めます。円の外の点から接線を引く作図はここでは扱いません。

距離の条件を線に置き換える

点Aから3 cm離れた点を考えます。中心A、半径3 cmの円をコンパスで描くと、円周上のどの点もAから3 cmです。反対に、Aから3 cmの点はすべてこの円周上にあります。この両方向が成り立つので、円周は条件を満たす点の集まりを漏れなく表します。円周上の一部だけを見て答えを決めると、別の候補を落としかねません。

図1のように、Aから3 cm、Bから4 cmという2条件は、それぞれ中心Aの円周と中心Bの円周に対応します。両方の円周にある交点が、同時に2条件を満たす点です。この図ではABは5 cmで、交点は直線ABの上下に1点ずつあります。上下の候補を区別する条件がなければ、両方が答えです。

円周を描くときはコンパスの針を中心に置き、指定された長さに開きます。別の円を描くときは中心だけでなく開きも変える必要があるかを読み直します。交わる箇所を見つけた後は、それぞれの円が何を表しているかに戻り、交点からAとBまでの距離を順番に確認します。

円と円の交点はいつも2個とは限りません。中心間の距離が2つの半径の和より長いと、互いに届かず交点はありません。和と等しいと外側で1点だけ接します。中心間の距離が半径の差より短いと、小さい円は大きい円の内側に入り、円周は交わりません。差と等しいと内側で1点だけ接します。2つの中心と半径がそれぞれ同じ場合は円周が重なり、共通の点は1点や2点に限られません。図を見て個数を決める前に、条件の数値も確かめます。

円の接線とは、円とただ1点で接する直線です。中心Oの円周上の点Pで接する直線は、半径OPにPで垂直です。その理由を、Pを通る垂線上のP以外の点Qで考えます。直角三角形OPQでは斜辺OQが辺OPより長いことを使います。したがってQは円の外にあり、この垂線と円の共通点はPだけです。逆にPで半径と垂直でない直線は、中心からその直線へ下ろした垂線の足がP以外にあり、円の内部を通るので、接線にはなりません。

基本例題：2つの円を重ねる

線分ABは5 cmです。Aから3 cm、Bから4 cmの距離にある点をすべて作図し、個数を答えてください。定規とコンパスを使い、補助線を残します。

まず、Aを中心にコンパスを3 cmに開いて円を描きます。続いてBを中心に4 cmの円を描きます。図2のように、上下の交点をP、Qとします。ABの長さ5 cmは半径の和7 cmより短く、半径の差1 cmより長いので、2つの円周は2点で交わります。

PはAを中心とする円周上にあるのでAPは3 cmです。同時にBを中心とする円周上にあるのでBPは4 cmです。QについてもAQは3 cm、BQは4 cmです。求める点はPとQの2点です。これらの条件は交点から元の2つの円をたどることで確認できます。

Aの円周上の点を適当に1つ選ぶだけでは、Bから4 cmという条件が保証されません。また上側のPだけを選ぶ指示もないので、Qを捨てられません。円を1つ描くごとに、その円がどの距離の条件を表すかを言葉で添えると、2つの円の役割を取り違えにくくなります。

標準例題：直線上という制限を残す

直線l上にない点Cからlに垂線を引き、その足をHとします。CHは3 cmです。直線l上で、Cから5 cmの距離にある点をすべて作図し、個数を答えてください。

Cを中心に、半径5 cmの円を描きます。円周と直線lの交点をD、Eとします。HはCから3 cmの位置で円の内側にあります。一方、l上でHから十分離れた点は円の外側にあるため、円周と直線はHの両側で交わります。したがって答えはD、Eの2点です。

DとEはどちらもl上にあり、Cを中心とする半径5 cmの円周上にあるため、CDもCEも5 cmです。これで直線上という条件と距離の条件を元に戻して確認できます。Hは直線上ですがCHは3 cmなので答えではありません。円の内側にあるというだけでは距離が5 cmと等しいとはいえません。

条件を変え、CHが5 cmなら、円と直線はHで接して答えは1点です。CHが6 cmなら、Cからlまでの最短距離が6 cmなので、l上にCから5 cmの点はなく、答えは0点です。垂線の足までの距離が直線への最短距離であることを使っています。交点を無理に描き足さず、条件を同時に満たす点がないと答えることも作図の判断です。

発展例題：候補を限定して接線を引く

ABが6 cmの線分を引きます。Aから5 cm、Bから5 cmの点のうち、直線ABの上側にある点をPとします。中心A、半径5 cmの円のPにおける接線を作図してください。また、条件に合うPの個数を答えてください。

Aを中心とする半径5 cmの円と、Bを中心とする半径5 cmの円を描きます。中心間の距離6 cmは半径の和10 cmより短く、差0 cmより長いので、円周は2点で交わります。上側の交点をPとし、下側の交点は上側という条件に合わないため選びません。Pは1点です。

次にAとPを結んで直線APを引きます。Pを中心に適当な半径の円弧を描き、直線APとの2交点をR、Sとします。R、Sを中心に同じ半径の円弧を描き、その交点を2つ取ります。2交点を結ぶ直線はRSの垂直二等分線であり、RPとSPは等しいのでPを通ります。これがAPにPで垂直な直線、すなわち求める接線です。円弧の半径は2つの円弧が交わるように、RSの半分より大きく取ります。

Pは両方の円周上なのでAPもBPも5 cmです。また指定された上側にあります。引いた直線はPを通り、半径APに垂直なので、Aを中心とする円とPで接します。Bからの距離を決める円はPを探すための円で、接線を引く対象はAを中心とする円です。BとPを結んだ線に垂線を引いてしまうと、別の円の接線を作ることになります。

誤答をたどって直す

図3では、Aから3 cm、Bから4 cmの条件に対し、点XをAの円周上に選んでいます。XはAからの距離だけは合いますが、Bを中心とする円周上にありません。したがってBから4 cmではありません。見た目がBの近くにあることと、距離が指定値に等しいことは別です。

原因は、最初の条件を満たした時点で候補を答えとみなしたことです。修正するときは、Xから線を引き直す前に、Bから4 cmの候補全体を円周として描きます。2つの円周の交点PとQに絞れば、各点は2つの条件を満たします。上側などの追加条件がない場合は、両方を残します。

別の誤りは、2つの円の内側が重なる領域を答えにすることです。内部の点は中心までの距離が半径より短いため、「ちょうど3 cm」「ちょうど4 cm」には合いません。「以下」なら内部も含む場合がありますが、「距離が等しい」という条件とは区別します。条件の言葉を線や領域に直してから、共通部分を探します。

接線では、Pを通る直線を適当に引いて終える誤りがあります。Pを通っても円の内部を横切る直線は円ともう1点で交わり、接線ではありません。半径との直角を作図し、その直角がPにあることを確認します。円の中心を通る別の垂線を描いても、指定された接点を通らなければ条件に合いません。

練習：条件を描いてから選ぶ

次の5問はそれぞれ独立した自作の問題です。個数を問う問題では、条件を満たす点を漏れなく数えてください。作図では定規とコンパスを使い、補助線を残します。

1. ABが7 cmです。Aから4 cm、Bから5 cmの点をすべて作図し、個数を答えてください。
2. CDが10 cmです。Cから2 cm、Dから3 cmの点は何個ありますか。理由も答えてください。
3. 直線m上にない点Eからmまでの距離は4 cmです。m上でEから4 cmの点を作図し、個数を答えてください。
4. 中心Oの円周上に点Tがあります。Tにおける接線を作図し、なぜ接線になるか説明してください。
5. FGが8 cmです。Fから5 cm、Gから3 cmの点をすべて作図し、個数とその位置を答えてください。

解答と確かめ

1. Aを中心に半径4 cm、Bを中心に半径5 cmの円を描きます。半径の和9 cmはABの7 cmより長く、半径の差1 cmは7 cmより短いので、交点は2点です。どちらも2つの円周上にあるため、Aから4 cm、Bから5 cmです。両方を答えにします。

2. CとDをそれぞれ中心とする半径2 cm、3 cmの円を考えます。半径の和は2 + 3 = 5 cmで、中心間の10 cmより短いため円周は届きません。答えは0個です。もし条件を満たす点があれば、その点を経由するCからDまでの道のりは5 cmですが、直線の距離10 cmより短くなり、矛盾します。

3. Eからmに垂線を引き、その足をHとします。Eを中心とする半径4 cmの円は、mにHで接します。答えはHの1点です。Hはm上にあり、EHは4 cmです。H以外のm上の点はEからの距離が4 cmより長くなります。

4. OとTを結び、直線OTにTで垂直な直線を作図します。その直線上のT以外の点はOからの距離が半径OTより長く、円の外にあります。よって円との共通点はTだけであり、引いた直線はTにおける接線です。Tを通ることと半径に垂直であることの両方を確かめます。

5. Fを中心とする半径5 cmの円とGを中心とする半径3 cmの円を描きます。半径の和は5 + 3 = 8 cmでFGに等しいので、円周は線分FG上の1点で外接します。答えは1点です。その点からFまで5 cm、Gまで3 cmで、2つの距離を足すと元のFGの8 cmに戻ります。

手元で残したいこと

• 等しい距離は、指定された中心と半径の円周で表します。
• 複数条件を満たす点は、それぞれの候補の共通部分です。
• 交点の個数と、直線の上側などの範囲を別々に確かめます。
• 円周上の接点で、半径に垂直な直線が接線です。
• 最後に各答えを元の距離と位置の条件へ戻します。

お子さまが円を描けても答えを1点しか選ばないときは、コンパスの操作より先に、もう1つの交点が条件を満たすか言葉で尋ねてみてください。逆に交点を見つけられないときは、2つの円の中心と半径を問題文に指で対応させます。円が交わらない条件を出して、点を無理に作ろうとしないかを見ることもできます。

個別指導で確かめるなら、作図の線の順番だけでなく、それぞれの線がどの条件の候補かを説明してもらいます。接線では「接点を通る」と「半径に垂直」の2つが揃っているかを確認します。候補を残し、条件に戻って選び直すことで、作図の答えの理由が見えてきます。