中1数学 座標と変域の読み方—横と縦の順序を決めて点と数量の範囲を結ぶ｜武蔵野個別指導塾

目盛りの幅を読み、点の位置と数の組を往復します。連続する長さと個数を比べ、端の含み方を判断する鍵は座標と変域です。

よくあるのは、点の座標を読む手順は合っているのに、目盛りを数え違える場面です。横へ2目盛り進んだ点を見て、すぐに横の座標を2と書いてしまいます。しかし、1目盛りが2を表す軸なら、その位置は4です。位置を読む前に、隣り合う数字の差と、その間の目盛りの数を確かめる必要があります。

座標は、平面上の位置を順序のある2つの数で表す方法です。さらに、座標を数量に対応させれば、ある条件で取り得る値の範囲も図で考えられます。順序、目盛り、値の範囲を別々に確かめながら、点から数を読む方向と、数から点を置く方向を行き来しましょう。

要点（結論から）

• 座標は横、縦の順で読み、軸ごとに1目盛りの値を確かめます。
• 符号は原点からの向きで決まり、軸上の点は象限に入りません。
• 変域では両端を含むかと、途中の値を取れるかを別に調べます。

どの判断を求められているか

座標の問題には、まず点の位置から数の組を読む型があります。点から横軸に平行な方向と縦軸に平行な方向をたどり、それぞれの軸の数を読みます。点が右上にあることだけでは数値は決まりません。軸の向きと1目盛りの値が必要です。

次に、数の組から点を打つ型があります。最初の数は横、次の数は縦です。最初の数を縦に使うと、たまたま2つの数が等しい場合を除き、別の場所に点を置いてしまいます。打ち終えたら、その点から逆に数を読んで、指定された組に戻るかを確認します。

もう1つは、数量の条件から変域を決め、点の集まりを考える型です。例えば、時間が途中の値も取れるのか、枚数のように整数に限られるのかで、点を線でつなぐかどうかが変わります。範囲の両端を含むかという判断も欠かせません。図の見た目から先に決めず、何を数で表しているかに戻ります。

座標軸と変域を読む準備

横に伸びる数直線をx軸、縦に伸びる数直線をy軸とし、交点を原点Oとします。通常、x軸は右向き、y軸は上向きを正とします。点の座標は、横の値を先、縦の値を後にして(x, y)と表します。原点は(0, 0)です。

図1のように、点Pの横の値は2、縦の値は3です。横に2、縦に3進むのでPは(2, 3)です。逆にこの組を受け取ったら、原点から右に2、上に3の位置を探します。座標は移動の記録ではなく、原点と軸を基準に決まる点の位置です。

図1ではxとyの両方が正なので点は右上にあります。軸を境に平面を4つの領域に分けると、右上は第1象限、左上は第2象限、左下は第3象限、右下は第4象限です。順に符号の組は(正, 正)、(負, 正)、(負, 負)、(正, 負)です。軸上の点はどの象限にも入りません。例えば(0, 3)はy軸上で、横の値が正でも負でもないからです。

目盛りは、数字の差をその間の等しい区間の数で割って読みます。0から6までが3区間なら1区間は6 ÷ 3 = 2です。横と縦で1区間の値が同じとは限りません。縦が1区間5なら、縦に2区間上がった値は10です。見た目の長さをそのまま数値にせず、軸ごとに区間の値を決めます。

変数は、条件に応じていろいろな値を取る文字です。例えば、一定の長さのひもを切るとき、切った長さをxとすると、xは切り方によって変わります。変域はその変数が取り得る値の範囲です。0以上8以下なら、0と8も含めて0 ≦ x ≦ 8と書きます。0より大きく8未満なら、両端を含まず0 < x < 8です。等号があるかを文章に戻して確かめます。

一方の変数xの値を決めると、もう一方の変数yの値がただ1つ決まるとき、yはxの関数といいます。xの異なる値に同じyが対応しても構いません。反対に、同じxに対して条件が複数のyを許すなら、その条件だけではyはxの関数とはいえません。どの値を許すかは場面と変域で決まります。

長さや経過時間は、条件の範囲内で端数も含めて連続的に考えられます。紙の枚数や部品の個数は、場面に合う整数で数えます。0枚を認める条件なら0も含みます。数直線上で端の間に線を引けるかは、記号の形だけでなく、その途中の数が実際に許されるかで決まります。

基本例題：目盛りを決めて点を読む

図2の座標平面で、横軸は0から6までが3区間、縦軸は0から9までが3区間です。点Aは原点から右に2区間、上に2区間の位置にあります。Aの座標を整数の組で求め、さらに(6, 3)の点Bを置いてください。

図2のように、区間の数と数値の差を軸ごとに分けます。横軸の1区間は次のように求めます。

6 ÷ 3 = 2
2 × 2 = 4

縦軸では次のようになります。

9 ÷ 3 = 3
3 × 2 = 6

したがってAの座標は(4, 6)です。区間を2つ数えたという事実は両軸で同じでも、表す数は異なります。目盛りの数をそのまま座標にした(2, 2)は、横の単位と縦の単位を取り落とした答えです。

Bは横が6なので右に3区間、縦が3なので上に1区間です。図2のBの位置から横軸と縦軸へ戻ると、確かに6と3を読み取れます。逆向きに読む確認は、点を置くときに横と縦を入れ替えた誤りにも役立ちます。軸の単位が違うため、図上で同じ長さに見える移動を同じ数と扱わないことも大切です。

標準例題：座標の符号と軸上の点

点Cは原点から左に4、上に2の位置、点Dは原点から右に3、下に5の位置です。CとDの座標を整数の組で表し、それぞれの象限を答えてください。また、点EはCと同じ横の位置にあり、x軸上にあります。Eの座標を求めてください。

左はxの負の向き、上はyの正の向きです。したがってCは(-4, 2)で、第2象限です。右はxの正の向き、下はyの負の向きなのでDは(3, -5)で、第4象限です。符号を先に決めた後、距離に対応する数を入れると、移動方向を取り違えにくくなります。

EはCと同じ横の位置にあるため、x座標は-4です。x軸上の点のy座標は0なので、Eは(-4, 0)です。Eは軸上にあるので象限には入りません。x座標が負であることだけから第2象限や第3象限とは決められません。

確かめると、Cは横が-4で左に4、縦が2で上に2です。Dも右に3、下に5という条件へ戻ります。Eの横の値はCと同じで、縦の値は0です。座標の順序を逆にした(2, -4)では、右に2、下に4となりCの条件を満たしません。位置と符号を結び直すことで誤りを見つけられます。

発展例題：長さと個数では点の集まりが変わる

長さ12 cmのリボンから、x cmを切り取ります。切り取った後の長さをy cmとし、0 cmも12 cmも切り取れるものとします。xとyの関係を式で表し、xとyの変域をそれぞれ不等号で表してください。x = 3.5のときの座標も小数の組で答えてください。

切る前の長さは12 cm、切った長さはx cmなので、残りは12 − x cmです。よってy = 12 − xです。xを決めると残りの長さは1つに決まるので、yはxの関数です。切る長さは負にならず、元の長さを超えないため、0 ≦ x ≦ 12です。

xが0のときyは12、xが12のときyは0です。その間のxでは残りも0以上12以下となるため、yの変域は0 ≦ y ≦ 12です。端を含むのは、問題が0 cmと12 cmも許しているからです。もし「少し切り、少し残す」と条件が変われば、両端は含まず0 < x < 12、0 < y < 12となります。

指定された値を代入すると、次のようになります。

y = 12 - 3.5
y = 8.5

座標は(3.5, 8.5)です。元の場面に戻すと、切った3.5 cmと残りの8.5 cmの和は12 cmです。どちらも負でなく、元の長さを超えません。横と縦を入れ替えた(8.5, 3.5)も別の切り方としては条件を満たしますが、x = 3.5という指定には合いません。

ここで別の条件として、リボンに1 cm間隔の印があり、印の位置でしか切れないとします。両端も許すならxは0、1、2から12までの整数です。対応するyも整数で、先ほどの(3.5, 8.5)は許されません。関係式と両端の値が同じでも、取れる途中の値が変わったため、グラフでは対応する点を1つずつ示します。点の間を線で結ぶと、許されない長さまで表してしまいます。

さらに、切った長さを決めても残りを測らず別のリボンを自由に継ぎ足せるという条件なら、同じxに複数の残りの長さが対応し得ます。その場合は、残りがxによってただ1つに決まるとはいえません。関数かどうかは、文字を使っているかではなく、条件の下で対応が1つに定まるかで判断します。

読み違えた場所を直す

図3では横軸の0から6までが3区間、縦軸の0から8までが2区間です。点Fは右に2区間、上に1区間あります。目盛りの数を直接使って(2, 1)と答える誤りを考えます。

原因は、区間の個数と各区間が表す値を同じものと見たことです。横は6 ÷ 3 = 2で、2区間なら2 × 2 = 4です。縦は8 ÷ 2 = 4で、1区間なら4です。したがってFは(4, 4)です。図3に示した軸へ戻っても、横と縦はそれぞれ4と読めます。

別の誤りとして、点が左上にあるのに、距離だけを見て両方を正にすることがあります。原点から左へ進めば横の値は負、上へ進めば縦の値は正です。まず向きを確定し、その後で目盛りを数えると、符号と大きさを別々に直せます。

変域でも、0より大きいという条件を0以上と書く間違いがあります。0を代入した状態が許されるかを言葉で確認してください。また、個数が0から5までという条件を0 ≦ x ≦ 5と書いただけでは、実数の途中の値も含むように読めます。「xは整数」と添えることで、0.5個などを除けます。範囲の端と途中を別に点検するのが修正の手順です。

自分で試す5問

以下の数や場面は練習のために作ったものです。まず5問をまとめて解き、各問いが求める答えの形を確認してから、後の解答と照らし合わせてください。

1. 横軸では0から10までが5区間、縦軸では0から8までが4区間です。点Gは原点から左へ3区間、上へ2区間にあります。Gの座標を整数の組で表し、象限を答えてください。
2. 点Hは(-5, -2)です。原点からどの向きにいくつ進めばよいかを答え、点Hと同じ縦の値を持つy軸上の点の座標を整数の組で表してください。
3. 20 L入る容器に、はじめ水が7 Lあります。水をx L加えて合計をy Lとします。水をこぼさず、0 Lも加えられるとき、式とxの変域を答え、x = 2.5の点の座標を小数の組で表してください。
4. 1枚のカードの重さを4 gとし、同じカードをx枚集めた重さをy gとします。0枚から6枚まで集められるとき、式とxの取り得る値を答えてください。点をすべて線で結ぶ表し方が適切か、理由も答えてください。
5. ある対応では、xが1のときyは2、xが2のときyは4または6とします。この条件でyはxの関数といえるか答えてください。また、x = 2のときのyを4に限定すると判断がどう変わるか、理由を述べてください。

答えと確かめ方

1. 横の1区間は10 ÷ 5 = 2、縦の1区間は8 ÷ 4 = 2です。左へ3区間は-6、上へ2区間は4なので、Gは(-6, 4)、第2象限です。戻して読むと、横は左へ6で3区間、縦は上へ4で2区間となり、指定された位置と一致します。点の左上という向きだけで数値を決めず、各軸の区間を調べます。

2. Hは左へ5、下へ2です。求める点はy軸上なのでx座標が0、Hと同じ縦の値なのでy座標が-2です。答えは(0, -2)です。元の条件に戻すと、2点はいずれも縦の値が-2で、求めた点の横の値は0です。点H自体は第3象限ですが、求めた点は軸上です。

3. 合計はy = 7 + xです。容器の容量まで加えられるので、加える量の最大は20 − 7 = 13 Lです。よって0 ≦ x ≦ 13です。x = 2.5ならy = 7 + 2.5 = 9.5で、座標は(2.5, 9.5)です。7 Lに2.5 Lを加えると9.5 Lとなり、20 Lを超えません。上端の13 Lでも合計が20 Lとなるので条件に合います。

4. y = 4xです。xは0、1、2、3、4、5、6の整数です。例えば6枚では4 × 6 = 24 gで、式に戻してもy = 24です。1.5枚という値はこの条件で取り得ないので、対応する点をすべて線で結ぶ表し方は適切ではありません。0枚の点を含める理由も問題文にあります。

5. 同じx = 2に対してyが4と6の2通りあるので、この条件ではyはxの関数とはいえません。yを4に限定すると、示されたxの値1と2のそれぞれに対し、yが1つずつ定まります。この対応に限れば関数です。元の条件へ戻して、同じxに複数の値が残っていないかを見ることが判断の要です。

要点と、つまずきの見分け

• 座標は横、縦の順で読み、軸ごとに1目盛りの値を確かめます。
• 符号は原点からの向きで決まり、軸上の点は象限に入りません。
• 変域では両端を含むかと、途中の値を取れるかを別に調べます。
• 関数かどうかは、各xに対してyがただ1つ決まるかで判断します。
• 答えを元の位置や数量へ戻すと、順序や条件の誤りを見つけられます。

お子さまが点を正しい場所に打てても、目盛りの意味を説明できない場合があります。隣の数字との差を指で示し、その間にいくつ区間があるかを数えてもらうと、位置の見当と数値の読み取りを分けて確かめられます。個別指導では、同じ点を「数から置く」「点から読む」の両方向で説明してもらい、つまずいた操作に戻ります。

変域で迷うときは、端の値を実際に場面へ入れ、許されるかを言葉にします。次に端の間の小数を1つ選び、長さなら可能か、個数なら可能かを調べます。座標の位置と数量の条件がつながると、図の点が表す意味まで読み取れます。