高校地学基礎 地球の形と測定—中心角と弧の長さから大きさを求める｜武蔵野個別指導塾

中心角と弧の対応を図で整理し、比例式と誤答の直し方から地球の形を測る。

よくあるのは、地球を球とみなす問題で、高校生が中心角を円周の割合に直せない場面です。図に小さな角と地表の長さが示されても、どの長さを何と比べればよいか迷うことがあります。まず学校の範囲表と授業ノートを開き、球の近似や角度の求め方がどこまで扱われたかを確かめましょう。ワークや小テストの該当箇所も見て、答えに必要な単位や式の書き方を確認してから取り組みます。

図や数値から何を読むか

地球は完全な球ではありませんが、大きさを考えるときに球に近似できます。ここでは球の中心を通る平面で切った円を使い、その円周と地表に沿う弧を比べます。実際の地球の半径や扁平率の数値を覚えて代入する話ではありません。問題ごとに与えられる条件を、対応する図に移して考えます。

出方には次のような型があります。1つ目は、中心角と弧の長さから円周を求める型です。部分の角と円全体の角の比が、部分の弧と円周の比に等しいと使います。2つ目は、円周と中心角から弧の長さを求める型です。同じ比例を逆向きに使います。3つ目は、太陽の方向と鉛直方向の図から中心角に当たる角を読み、長さの比例につなぐ型です。角を読み取る条件が足りるかも大事です。

計算に入る前に、問題が求めるのは円周、弧、中心角のどれかに線を引きます。円周と直径、半径は別の量です。球の中心を通る切り口の円周が求まっても、その数値をそのまま半径と答えてはいけません。半径まで求める問題では、円周と半径の関係と円周率の扱いが条件として必要です。

中心角と弧を対応させる

図1のように、球を中心を通る平面で切ると円になります。円の中心から表面の2地点へ引いた半径がつくる角が中心角です。その2地点の間で、問題が指定した円周上の部分が弧です。弧は表面に沿った曲線であり、2地点を球の内部でまっすぐ結んだ線分とは異なります。

図1のように、中心角が円全体の何分のいくつかを見ます。円全体の角は360°なので、中心角がθ°ならその割合は θ/360 です。同じ円では弧の長さも円周の θ/360 です。これは円を同じ角度ずつ分けると、対応する弧も同じ長さずつに分かれることによります。角の割合の分母を360°、長さの割合の分母を円周とそろえるのが要点です。

式にすると、中心角/360° = 弧の長さ/円周です。角度どうし、長さどうしを割るため、両辺は割合になります。左右で同じ部分と全体を比べているかを読み直せば、式の向きを検査できます。大きい方の弧を使うのか小さい方の弧を使うのかは問題の条件で決まり、その弧に対応する角を選びます。

太陽の光の方向を使う図では、離れた地点へ届く光を平行とみなすなどの条件を確認します。各地点の鉛直方向を球の中心を通る半径の方向とみなせば、光と鉛直方向の角から中心角を考えられます。ただし影の角を見つけただけで、いつでもその値が中心角になるわけではありません。地点の並び方や一方で太陽が真上にあるという条件を図に書き、平行線の角の関係を確かめます。

資料を読むときの順序

図に角度が複数書かれている場合は、数値の近さだけで弧に対応する角を選ばないようにします。角の頂点が球の中心かを確かめ、中心から弧の両端へ伸びる半径に沿ってたどります。中心以外を頂点とする角は、与えられた条件から中心角へ変換できるかを考えます。変換の根拠がなければ、比例式に直接入れられません。

また、資料の距離に付いた単位を読みます。弧と円周を比べる前に、両方の長さの単位をそろえる必要があります。求めた値が部分より大きいか小さいかという見積もりも役立ちます。弧が円周の一部なら、円周はその弧より長くなります。ただし見積もりが合うだけでは正解とは限らないので、最後に求めた値から元の条件へ戻します。

図が模式図の場合、見た目の角や線の長さを定規で測って数値を決めることはできません。図は対応関係を整理するために使い、計算には問題文に示された値を使います。太陽の方向が描かれていても、平行とみなす条件や地点の配置が欠けていれば、角の関係を決められるとは限りません。

基本例題：部分から全体へ戻す

練習用の球形モデルで、中心を通る円上の地点AとBを考えます。AからBへの指定された弧に対応する中心角は12°、弧の長さは800 kmです。この円の円周を整数で、単位を付けて求めてください。与えた角と長さは計算用の条件で、実際の観測値ではありません。

図2のように、12°と800 kmは同じ弧に対応します。全体の角360°と未知の円周も対応させます。小さな弧が全周の一部なので、答えは800 kmより大きくなるはずです。

円周をC kmと置くと、比例式は次のようになります。

12/360 = 800/C

左辺を約分すると12/360 = 1/30です。したがって弧800 kmは円周の1/30です。全体はその30倍なので、

C = 800 × 30 = 24000

答えは24000 kmです。比例式から直接求めるなら、12 × C = 360 × 800、C = 360 × 800 ÷ 12としても同じです。角を360で割った割合と、弧を円周で割った割合が等しいことを、式の各項に戻して確認します。

検算では、求めた円周24000 kmの1/30を取ります。24000 ÷ 30 = 800 kmとなり、与えられた弧に戻ります。また、円全体の1/30は360 ÷ 30 = 12°なので、角の条件にも戻ります。単に計算を逆にするだけでなく、角と弧がそれぞれ同じ割合になっていることを確かめてください。

もし800 kmを直線距離として与えられていた場合、この式にそのまま代入することはできません。必要なのは指定された円周上の弧の長さだからです。また、AとBがどの円上にあるか不明なまま、中心を通る切り口の円周を求めることもできません。図に線が引かれていても、その線が弧を表すという条件まで読みます。

条件を選ぶ例題：角度差から弧へ

別の球形モデルで、中心を通る同じ円周上に地点P、Qがあります。この円周は30000 kmです。Pでは太陽が真上にあり、Qでは太陽光と地表から外向きの鉛直方向のなす角が18°です。2地点に届く太陽光は平行で、QはPから円周に沿って18°分だけ離れています。PとQの間のその弧の長さを整数のkmで求め、角度の根拠も説明してください。数値は練習用の条件です。

Pで太陽が真上にあるので、Pの外向きの鉛直方向は太陽光の方向と平行です。2地点の太陽光も平行とみなすため、Qの鉛直方向とPの鉛直方向のなす角は18°です。鉛直方向をそれぞれ中心まで延ばせば、指定された弧に対する中心角も18°と読めます。ここでは地点の配置と、どちらの弧を求めるかが問題文で指定されています。

求める弧をL kmと置きます。18/360 = L/30000です。18/360 = 1/20なので、L = 30000 ÷ 20 = 1500 kmです。答えを戻すと1500/30000 = 1/20、360°の1/20は18°です。長さと角が同じ割合で、与えた円周と角度に合います。

分かれ目は、角の資料が示すのが何と何の間かを決めるところです。もしPでも太陽が真上でないなら、Qの角をそのまま中心角にはできません。それぞれの鉛直方向と光の関係に加え、地点がどちら側に並ぶかを使って角を求めます。角の大きさだけが与えられ、配置が決まらなければ、差を取るのか和を取るのかを一意に決められません。

同様に、2地点の間の長さが道路に沿う距離なら、円周上の弧の長さと等しいとは限りません。球と平行光の近似に加え、距離がどの経路を指すかを確認する必要があります。モデルから得た答えは、その条件のもとでの値です。条件を外した実際の地球の測定値と取り違えないようにしましょう。

誤答の原因を図に戻す

基本例題で「円周は800 × 12/360 km」とした答案を考えます。計算結果は80/3 kmで、800 kmより小さくなります。これは全体を求めたいのに、部分にさらに部分の割合を掛けた誤りです。図3のように、800 kmを全体ではなく部分の箱に入れ直すと、何を割るべきか見えます。

修正は、800 km = 円周 × 12/360と書くことです。円周は800 ÷ (12/360)で求めます。掛けるか割るかを暗記する代わりに、部分 = 全体 × 割合という関係に数値を置いてから、未知の量について解きます。図3のように矢印を逆にたどる際は、同じ割合で割ると確認できます。

別の誤りは、12/360 = 円周/800とすることです。左辺は部分/全体ですが、右辺は全体/部分なので向きが逆です。両方を部分/全体にそろえれば12/360 = 800/円周となります。答案の分子にどちらも部分が来ているか、分母にどちらも全体が来ているかを言葉で確認します。

角を求めるときに、弧の長さだけで決めようとする間違いもあります。同じ長さの弧でも、円周が異なれば全体に占める割合は異なります。弧と円周の両方を使い、その割合に360°を掛けます。答えが与えられた弧に対応する角か、残りの弧に対応する角かも最後に見直します。

自分で解く問題

次の数値はいずれも球形の練習用モデルの条件です。各円は球の中心を通り、弧は問題で指定した円周上の部分です。計算では答えの形と単位を守り、式も書いてください。

1. 中心角15°に対応する弧が1250 kmです。円周を整数のkmで求めてください。
2. 円周が28800 kmの円で、中心角25°に対応する弧の長さを整数のkmで求めてください。
3. 円周が36000 kmの円で、指定された弧の長さが3000 kmです。この弧に対応する中心角を整数の度で求めてください。
4. 地点XとYは球の中心を通る同じ円周上にあります。Xでは太陽が真上にあり、Yで太陽光と外向きの鉛直方向のなす角は9°です。光は平行で、2地点は円周に沿って9°分離れ、その間の弧は900 kmです。円周を整数のkmで求め、中心角を9°とする根拠を「鉛直方向」「平行」の語を使って説明してください。

解答と確かめ

1. 15/360 = 1/24です。円周をC kmとすると1/24 = 1250/Cなので、C = 1250 × 24 = 30000 kmです。戻すと30000 ÷ 24 = 1250 km、360 ÷ 24 = 15°です。弧と角がどちらも全体の1/24です。

2. 弧をL kmとすると25/360 = L/28800です。25/360 = 5/72なので、L = 28800 × 5/72 = 2000 kmです。逆に2000/28800 = 5/72であり、360 × 5/72 = 25°です。円周に対する割合を角へ戻して条件を満たします。

3. 中心角をθ°とするとθ/360 = 3000/36000 = 1/12です。θ = 360 ÷ 12 = 30°です。戻して36000 × 30/360 = 3000 kmとなります。30°は求める弧に対応し、残りの弧の角ではありません。

4. Xの鉛直方向は真上の太陽への方向に沿い、Yに届く光と平行です。Yの鉛直方向とその光のなす角が9°なので、指定された配置では中心角も9°です。9/360 = 1/40より、円周は900 × 40 = 36000 kmです。36000 ÷ 40 = 900 km、360 ÷ 40 = 9°と、長さと角をそれぞれ元の条件に戻せます。

解く前に残す4行

部分の角/360° = 対応する弧/円周です。
円周を求めるときは弧を角の割合で割ります。
弧を求めるときは円周に角の割合を掛けます。
角と距離の条件を図に戻し、答えの単位を確認します。

答案のどこで止まったか

式を書けないときは、図に部分の角と弧を同じ印で結べるかを見ます。式は書けても答えが小さすぎるときは、円周と弧のどちらを未知数にしたか、分子と分母の向きがそろっているかを見直します。数値だけ合っていても、距離の単位や弧の指定が抜けていれば、条件に答えたことにはなりません。

個別指導で確かめるなら、最初に生徒自身が図のどの線を地表の弧と読んだかを指して説明し、次に比例式の各数が部分と全体のどちらかを言葉にする場面が手掛かりになります。太陽光の図で止まる場合は、平行と真上の条件から角をたどれるかを確認します。計算後は元の角と弧に戻して、式の立て方も含めて点検します。中心角と弧を対応させれば、球の大きさは比例でたどれます。