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数検2級空間ベクトル—座標と内積を使い空間の長さや垂直を確かめる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.13更新 2026.11.13武蔵野個別指導塾の特徴数検2級単元と出題の型別

3成分の内積で直角を判定し、垂線の足が線分内にあるかまで追うのが空間ベクトルです。

よくあるのは、立体図に引かれた2本の線が直角に見え、そのまま垂直だと決めてしまう場面です。紙に描いた立体は奥行きを縮めて表すため、見た目の角度は空間内の角度と一致するとは限りません。座標が与えられたら、線の向きを3つの成分に直し、内積で確かめます。足が線分の外に出る場合まで追うと、計算結果を図形の条件に戻せます。

空間の点から何を読み取るか

空間ベクトルの問題では、例えば2点の座標から距離を求める型、2つの線分が垂直か判定する型、線分上の点を文字で表して垂直になる位置を探す型があります。図を眺める前に、どの点からどの点へ向かうベクトルを使うかを決めると、式の意味を保てます。

長さは成分の2乗の和から求め、垂直かどうかは内積が0か調べます。線分上の点には、直線上にあるという条件に加えて、両端の間にあるという条件が必要です。計算で求めた点が延長上にあれば、直線に垂線を下ろせても、指定された線分上には条件に合う点がないことがあります。

ここで扱うベクトルは依頼された学習範囲です。座標と内積を使い、平面の方程式には進みません。空間の図は位置関係をつかむ手がかりとして使い、角度の判定は数値で行います。

3つの成分と内積の意味

空間の点 P の座標を P(x, y, z) と書きます。原点 O から P への位置ベクトルを OP と表すと、その成分も (x, y, z) です。以下では AB を点 A から点 B へのベクトルの意味で用います。始点と終点を逆にすれば、各成分の符号が逆になります。

図1のように、A から B への移動は、それぞれの座標について「終点から始点を引く」と求まります。たとえば A(1, 2, 1)、B(4, 4, 3) なら、AB = (4 − 1, 4 − 2, 3 − 1) = (3, 2, 2) です。図の斜めの線を実際の角度として測る必要はありません。成分は各軸方向の移動量を表しています。

図1では始点の座標を引く順番に注目します。長さについては、平面内で2成分に使った三平方の関係を、残る1成分へもう一度使います。u = (a, b, c) の長さは √(a² + b² + c²) です。上の AB の長さなら √(9 + 4 + 4) = √17 となります。

u = (a, b, c)、v = (d, e, f) の内積は u・v = ad + be + cf という1つの数です。0でない2つのベクトルのなす角を θ とすると、u・v = |u||v|cos θ でもあります。したがって、両方が0でなければ、内積が0であることと垂直であることは同じです。成分ごとの積を足した結果を座標の組として書かないようにします。

零ベクトルは長さが0で、どのベクトルとの内積も0です。しかし向きがないため、零ベクトルとのなす角を定めて垂直と結論することはできません。内積を計算する前に、2つの矢印がそれぞれ長さを持つかを確認します。点が一致して線分がつぶれる場合には、この確認が特に重要です。

線分上の点を表すときは、点 A から B へ向かう量を何倍するか考えます。P の位置ベクトルは OA + t AB です。t が0から1まで動くと P は A から B まで動き、t が負なら A の反対側、1より大きければ B の先にあります。端点を含まないという条件なら、不等号から等号を外します。A と B が同じ点なら AB は零ベクトルとなり、係数を動かしても点は動きません。直線の向きとして使う前に、端点が異なるか確認する必要があります。

距離を出す式と内積を混同すると、数は出ても問いに答えられません。距離では座標差をそれぞれ2乗するので負の移動も正の寄与になります。内積では2本の対応する成分を掛けるので、向きによって正負が残ります。2つの点の距離を問われたらまず1本のベクトルを作り、2線分の角を問われたら2本を作る、と問題文から本数を決めてください。

基本例題：長さと直角を同じ点から調べる

点 A(1, 1, 1)、B(3, 2, 2)、C(2, 0, 0) について、線分 AB の長さを根号を用いて求め、AB と AC が垂直か判定してください。長さの単位は座標の1目盛りを1とします。

まず A を共通の始点にして2本のベクトルを作ります。図2のように、終点の座標から A の座標を成分ごとに引きます。図は点と矢印の対応を示すもので、紙面上の角度を測る図ではありません。

AB = (3 − 1, 2 − 1, 2 − 1)

AB = (2, 1, 1)

AC = (2 − 1, 0 − 1, 0 − 1)

AC = (1, -1, -1)

AB の長さは各成分を2乗して足し、その平方根を取ります。

|AB| = √(2² + 1² + 1²)

|AB| = √6

次に内積を求めます。同じ位置にある成分どうしを掛け、3つの積を足します。

AB・AC = 2 × 1 + 1 × (-1) + 1 × (-1)

AB・AC = 2 − 1 − 1 = 0

AB、AC はどちらも零ベクトルではありません。よって、答えは長さ √6、AB と AC は垂直です。図2の2本の成分からも内積が0になることを読み直せます。

答えを元の点へ戻して確かめます。A に AB の成分を加えると (1 + 2, 1 + 1, 1 + 1) = B です。同様に A に AC を加えると C になります。始点を取り違えていないので、この内積は問題の2線分のなす角に対応します。長さの2乗も 6 で、3方向の移動量の2乗の和と一致します。

もし内積が0でなければ、その値が正でも負でも直角ではありません。また、ベクトルを両方とも逆向きにしても内積は変わらず、片方だけ逆向きにすると符号が逆になります。どちらの場合も0かどうかは変わらないので、同じ2直線の垂直判定は一致します。ただし、途中で別の線分を作ってしまえば別の判定になるため、始点と終点の記録は省かないようにします。

線分上に垂線の足があるか

点 A(0, 0, 0)、B(2, 0, 0)、C(1, 2, 2) があるとします。線分 AB 上の点 P で、CP と AB が垂直になるものの座標を、整数または分数で求めてください。P が端点でも条件を満たすなら含めます。

点 P が線分 AB 上にあることを、実数 t を使って OP = OA + t AB、0 ≤ t ≤ 1 と表します。t = 0 は A、t = 1 は B で、間の値は両端の間を表します。ここでは AB = (2, 0, 0) なので P = (2t, 0, 0) です。

C から P へのベクトルは CP = (2t − 1, -2, -2) です。AB は零ベクトルではなく、CP は第2成分が -2 なので、どの t でも零ベクトルになりません。垂直条件を内積で表すと次のようになります。

CP・AB = 2(2t − 1) + (-2) × 0 + (-2) × 0 = 0

4t − 2 = 0

t = 1/2

この値は 0 ≤ t ≤ 1 に入るので、求める点は P(1, 0, 0) です。実際に AP = (1, 0, 0) は AB の半分で、P は線分の中点です。CP = (0, -2, -2) と AB の内積は0なので、座標を元の垂直条件に戻しても合います。

方法の分かれ目は t の範囲です。内積の式は直線 AB 上の候補を出しますが、線分の条件は別に判定します。例えば C の第1座標が3で他の座標が同じなら、直線上の候補は t = 3/2 です。B の先にあるため、線分上には条件を満たす点がありません。方程式が解けたことと、指定された場所に答えがあることは別の確認です。

また、C 自身が AB 上にあり P = C となる場合、CP は零ベクトルです。内積が0という式を満たしても、CP の向きは定まらず、2本の線分が垂直とは判定できません。問題で零ベクトルを許す方程式を解くのか、線分のなす角を問うのかを読み分けます。

誤答を直す：見た目と内積を分ける

基本例題の点で、AB = (2, 1, 1)、AC = (1, -1, -1) です。立体図では紙に描く向きによって、この2本が直角に見えないことがあります。そこで「図が斜めに見えるから垂直ではない」と答えるのは誤りです。図3のように3組の積を合計すると、2 − 1 − 1 = 0 となり、実際には垂直です。

逆に、紙面で直角に見えても内積が0とは限りません。例えば (1, 0, 1) と (0, 1, 1) の内積は1です。2つとも零ベクトルではなく、0でないので垂直ではありません。奥行きをどの向きに描いたかで見た目が変わることと、空間の内積が変わらないことを区別します。

別の誤りは、3つの成分のうち1組でも積が0なら垂直と決めることです。垂直の判定に使うのは積の合計です。図3では負の積が正の積を打ち消します。計算の途中で符号を落としたときは、終点から始点を引くところへ戻り、それぞれの積と合計を順に書き直します。

線分上の点の計算でも、範囲を確かめる前に答えとして書いてしまう誤りがあります。係数がちょうど0や1なら、端点を含む問題では候補になります。端点を含まない問題では候補から外します。求めた値を元の内積の式へ代入するだけでは、この違いは見つかりません。問題文の「線分」「端点を除く」という言葉にも戻って確かめます。

計算結果が0なのに垂直といえない例として、同じ点を両端に選んだ矢印を考えます。P と Q が一致すれば PQ = (0, 0, 0) で、他のどのベクトルとの内積も0です。それでも PQ には方向がありません。0でないことを調べる手順は、見た目に矢印が描ける図でも、点の一致が起こりうる文字の問題では欠かせません。

練習問題

次の4問は、先に自分で図と式を用意してから解答を見てください。点の座標の1目盛りを長さ1とし、長さは根号を用い、座標は整数または分数で表します。垂直かどうかを問うときは、零ベクトルでないことも確認してください。

A(1, -1, 2)、B(4, 1, 0) のとき、線分 AB の長さを求めてください。
D(0, 1, 2)、E(1, 3, 2)、F(2, 0, 5) のとき、DE と DF は垂直ですか。
G(0, 0, 0)、H(0, 4, 0)、J(2, 1, 3) のとき、線分 GH 上で JP と GH が垂直になる点 P の座標を求めてください。端点も含めます。
K(0, 0, 0)、L(2, 0, 0)、M(3, 1, 0) のとき、線分 KL 上で MQ と KL が垂直になる点 Q はありますか。あれば座標を求め、なければ理由を示してください。

練習問題の答えと解き方

AB = (4 − 1, 1 − (-1), 0 − 2) = (3, 2, -2) です。長さは √(3² + 2² + (-2)²) = √17 です。A に (3, 2, -2) を加えると B になり、長さの2乗は与えられた座標差の2乗の和 17 と一致します。
DE = (1, 2, 0)、DF = (2, -1, 3) です。内積は 1 × 2 + 2 × (-1) + 0 × 3 = 0 です。両方とも零ベクトルではないので垂直です。D にそれぞれの成分を加えると E、F に戻り、調べた矢印が指定された2線分と一致します。
P を (0, 4t, 0)、0 ≤ t ≤ 1 と置きます。JP = (-2, 4t − 1, -3)、GH = (0, 4, 0) はともに零ベクトルではありません。内積が0という条件は 4(4t − 1) = 0 なので t = 1/4、P(0, 1, 0) です。t は指定範囲に入り、GP は GH の1/4です。JP = (-2, 0, -3) と GH の内積も0なので、線分上と垂直の両条件を満たします。
Q を (2t, 0, 0)、0 ≤ t ≤ 1 と置きます。MQ = (2t − 3, -1, 0)、KL = (2, 0, 0) はともに零ベクトルではありません。内積を0とすると 2(2t − 3) = 0、t = 3/2 です。この値は1より大きいので、線分 KL 上に条件を満たす点はありません。直線上の候補 (3, 0, 0) は K から L を越えた位置です。候補と M を結ぶベクトル (0, -1, 0) は KL と垂直ですが、候補が線分外であることが不成立の理由です。