数検2級 対数の性質—定義と底の変換から計算の条件を整理する｜武蔵野個別指導塾

積と和を取り違える誤答や底の変換を通じて、真数条件から対数の性質を捉え直します。

よくあるのは、受検者が真数の和を見て、それぞれの対数の和に分けてしまう場面です。式が短くなったように見えても、元の値と一致するとは限りません。対数の性質は、真数の積や商を指数の和や差に移すための道具です。どの部分が積なのか、変形前の対数が定義されているかを先に見ます。

対数の計算で問われること

対数は、ある数を何乗すると指定された数になるかを表します。計算の型には、指数に戻して値を求める型、積や商をまとめて値を求める型、底をそろえて別の対数で表す型があります。文字を含む式では、変形が始まる前から真数が正であるという条件も必要です。

たとえば、積の対数を2つに分けられる理由は、同じ底の累乗を掛けると指数が足されることにあります。見た目の記号だけを対応させるのでなく、どの指数法則を使っているかを意識します。一方、真数の和には、そのまま対数の和にする性質はありません。計算結果がもっともらしい整数になっても、元の真数に戻して確認する習慣が役立ちます。

ここでは定義、積・商・累乗、底の変換と真数条件を扱います。対数方程式や不等式の解法、常用対数を用いた桁数の判断には立ち入りません。式を変える前に条件を記録し、変えた後に元の式の意味へ戻る練習をします。

底・真数・指数の関係

底を a、真数を M とすると、logₐ M = p は a の p 乗が M であることを意味します。底は a > 0 かつ a ≠ 1、真数は M > 0 です。底が1なら何乗しても1なので、指数を一意に決められません。底が0以下の場合も、実数の指数を使うこの定義では扱いません。

図1のように、対数の式を指数の式へ戻すと、それぞれの役割が見えます。指数が0なら真数は1なので logₐ 1 = 0、指数が1なら logₐ a = 1 です。真数が1より小さい場合も正であれば対数は定義され、底が1より大きければ値は負になることがあります。対数の値が負であることと、真数が負であることは別です。

図1の対応を使って性質を確かめます。M > 0、N > 0 とし、logₐ M = p、logₐ N = q とおけば、M は a の p 乗、N は a の q 乗です。積 MN は a の p + q 乗ですから、logₐ(MN) = logₐ M + logₐ N となります。同じ考えから logₐ(M/N) = logₐ M − logₐ N です。累乗については、実数 r に対して logₐ(M の r 乗) = r logₐ M です。M が正という前提のもとで使います。

底の変換は、別の底 b で測った2つの値の比に直す式です。b > 0、b ≠ 1 のとき、logₐ M = logᵦ M / logᵦ a となります。分母は0ではありません。a ≠ 1 なので logᵦ a ≠ 0 だからです。右辺は「新しい底での真数の対数」を「新しい底での元の底の対数」で割る形です。上下を逆にすると別の値になるので、元の底が分母に入ることを確認します。

積と商をまとめる基本例題

次の値を整数で求めます。底は2です。

log₂ 12 + log₂ 8 − log₂ 3

まず3つの真数12、8、3はいずれも正で、底2も正で1ではありません。したがって元の3つの対数は定義されています。図2のように、足し算では真数を掛け、引き算ではその後の真数で割ります。対数の前の符号と、真数の間の演算を対応させます。

まず最初の2項を積の性質でまとめます。

log₂ 12 + log₂ 8 = log₂(12 × 8)

残る項を商の性質でまとめます。

log₂(12 × 8) − log₂ 3 = log₂((12 × 8)/3)

真数を計算すると、12 × 8 = 96、96/3 = 32 です。よって元の式は log₂ 32 です。2 の5乗は32なので、定義により答えは5です。

図2の最後にある32は、求めた指数5を底2に戻した値です。元の真数を掛けて割った値も32なので、両側が対応します。別に、12 = 3 × 4 と見ると、log₂ 12 = log₂ 3 + 2、log₂ 8 = 3 です。元の式に入れると log₂ 3 が消え、2 + 3 = 5 と確かめられます。積を作る順序が違っても同じ値に戻ることが確認できます。

途中で 12 + 8 − 3 を真数に入れるのは別の計算です。対数の和と真数の和は同じ操作ではありません。積と商の性質を適用した行を残すと、どの記号を変えたのか追いかけられます。真数が文字の場合にも、同じ行を書いてから条件と照合します。

文字の条件と底の変換をつなぐ

a = log₂ 3 とします。x > 0 のとき、log₉(27x²) を a と log₂ x を用いて表します。また、その式に x = 2 を入れた結果が元の対数と一致することを確かめます。

最初に条件を調べます。底9は正で1ではありません。x > 0 なら 27x² > 0 なので、元の対数は定義されています。変形先で log₂ x を使うにも x > 0 が必要です。ここで条件を忘れ、元の式の x² だけを見て x ≠ 0 とすると、負の x に対して log₂ x が定義されない問題が残ります。

底を2にそろえると、底の変換により次の式です。

log₉(27x²) = log₂(27x²) / log₂ 9

27 = 3³、9 = 3² です。積と累乗の性質を使うと、分子は 3 log₂ 3 + 2 log₂ x、分母は 2 log₂ 3 です。したがって答えは (3a + 2 log₂ x)/(2a) です。a は log₂ 3 であり0ではないので、分母で割れます。

考え方の分かれ目は、最初に底を変えるか、真数を先に分けるかです。底9のまま log₉ 27 + 2 log₉ x としてから、それぞれを底2に変えても同じ式に至ります。ただしどちらの順序でも、log₉ x を使う段階には x > 0 が必要です。与えられた条件に沿って、一つひとつの式が定義される方法を選びます。

x = 2 とすると、得られた式は (3a + 2)/(2a) です。元の真数は 27 × 2² = 108 で、底2に変えると log₂ 108 / log₂ 9 です。108 = 3³ × 2²、9 = 3² なので同じ (3a + 2)/(2a) に戻ります。数値の置換が、真数の27x²と底9の両方を保っていることまで確認します。

和を分けた誤答を直す

図3のように、log₂(4 + 4) を log₂ 4 + log₂ 4 とするのは誤りです。右辺は2 + 2 = 4ですが、左辺は log₂ 8 = 3 です。同じ底に戻すと、左辺の指数3は真数8、右辺の指数4は真数16を表します。元の和8が積16へ変わってしまったため、一致しません。

図3では、まず括弧の中の和を計算してから定義に戻します。一般に logₐ M + logₐ N は logₐ(MN) であり、logₐ(M + N) ではありません。括弧の中に足し算がある場合、因数分解などで真数全体が積になれば積の性質を使えますが、足し算の記号をそのまま外へ出せません。

もう一つの誤りは、log₂(x²) を無条件で 2 log₂ x とすることです。左辺は x ≠ 0 で定義されますが、右辺は x > 0 でなければ定義されません。x < 0 なら -x > 0 なので、log₂(x²) = 2 log₂(-x) と書けます。両方をまとめると x ≠ 0 のもとで log₂(x²) = 2 log₂|x| です。元の式に許された負の値を消していないか、変形前後の条件を比べます。

練習問題

次の4問を解いてから、後の解答と比べてください。対数の値は整数または指定された文字式で答えます。文字式の問題では、元の式と変形後の式が定義される条件も書きます。

1. log₃ 18 + log₃ 9 − log₃ 2 の値を整数で求めます。
2. log₄ 8 の値を分数で求めます。
3. b = log₅ 2 とするとき、log₂ 25 を b で表します。
4. log₃(x²) を log₃|x| を使って表し、その式が成り立つ x の範囲を求めます。

解答と照合

1. 真数18、9、2は正で、底3は正かつ1ではありません。積と商をまとめると log₃((18 × 9)/2) = log₃ 81 です。81 = 3⁴ なので答えは4です。元の真数の積と商は81で、底3の4乗も81です。途中で18と9を足すと27になり、元の対数の和に対応しません。

2. 底4と真数8はともに正で、4は1ではありません。log₄ 8 = t とおくと、4 の t 乗が8です。4 = 2²、8 = 2³ なので、指数を比べて 2t = 3、t = 3/2 です。底の変換でも log₂ 8 / log₂ 4 = 3/2 です。4 の3/2乗は、4の平方根2の3乗で8に戻るため、元の真数と一致します。

3. 底を5に変えると log₂ 25 = log₅ 25 / log₅ 2 です。分子は2、分母は b なので答えは 2/b です。b は log₅ 2 で0ではありません。元の式の底2と真数25は正で、底も1ではありません。答えを底5の対数に戻すと b × (2/b) = 2 となり、底5の2乗が25で、元の真数と一致します。逆数の b/2 では、この対応が保たれません。

4. 元の真数 x² が正となる条件は x ≠ 0 です。この条件なら |x| > 0 で、右辺の対数も定義されます。x² = |x|² なので、答えは log₃(x²) = 2 log₃|x|、範囲は x ≠ 0 です。x が正なら |x| = x、負なら |x| = -x です。たとえば x = -9 と戻すと真数は81、左辺は4、右辺は 2 log₃ 9 = 4 となります。x = 0 では真数が0なので、どちらの対数も定義されません。

計算を点検するときの順序

解答を見直すときは、まず各対数の底と真数に印をつけます。底が同じなら、和や差を1つの対数にまとめる方法が候補です。底が異なれば、そのまま積の性質でまとめることはできません。底の変換で共通の底に直せるか、あるいはそれぞれの値を定義から求められるかを調べます。共通の底に変える場合、その底も正で1以外に選びます。

次に、対数の外にある係数を見ます。係数を真数の指数へ移す場合、たとえば正の M について 2 logₐ M = logₐ(M²) です。ただし逆向きに使うとき、M² が正でも M 自体が正とは限りません。文字の条件がないまま logₐ(M²) を 2 logₐ M に変えることは避けます。先に M > 0 の範囲かどうかを調べ、負の値も含まれるなら絶対値を使います。

最後に、元の式と答えが同じ範囲で意味を持つかを照合します。変形前に必要な条件より変形後の条件が厳しくなっていれば、元の式で扱えた値が抜ける可能性があります。反対に、変形後の条件が広くなった場合も、元の式で使えなかった値を答えに混ぜないようにします。数を1つ代入する確認は誤りの発見に役立ちますが、すべての値について等しいことの証明にはなりません。性質の条件と指数の関係も合わせてたどります。

計算の途中で条件を見失ったら、元の式へ戻って底と真数を読み直します。元の式が意味を持つ範囲を最初に書き出し、次の各行に新しい対数が現れたときには、その真数も正か点検します。これによって途中の式が使える範囲を追跡できます。

底の変換の分母に0が現れるかどうかも、この順序で判断できます。底 b の対数が0になる真数は1ですから、元の底 a が1ではないという条件が分母を守っています。単に分母があるから0を除くと覚えるのでなく、どの条件から0ではないといえるかを言葉にすると、別の底でも同じ判断ができます。

覚えておくこと

底は正で1以外、真数は正です。 積・商は対数の和・差に移り、真数の和はそのまま分けられません。 累乗を外へ出すときは、変形後の真数も正か確かめます。 底の変換では、元の底の対数を分母に置きます。 答えを指数に戻し、元の真数と条件に照合します。

つまずきを見分けるには

計算の答えが違うときは、まず式の最初の変形を指でたどります。真数の和を分けていれば、具体的な正の数を入れ、左右がそれぞれどの真数に戻るかを比べます。値が合わない理由を積と和の違いとして説明できれば、別の数に変わっても判断しやすくなります。

個別指導では、底の変換を逆に書いた場合、元の底と真数を色分けして、どちらが分母に入るかを定義から確認します。文字の累乗で負の範囲が消えた場合は、変形前の真数と変形後の真数を別々に正とおき、条件を比較します。保護者がお子さまの答案を見るときも、答えの数字だけでなく、最初に条件を書いたか、最後に指数へ戻したかを見ると、次に確かめる箇所が見つかります。対数の性質は、式の意味と条件をそろえて使います。